И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для этого умножими разделим его на ^ю2 + р 2 = оо0, а затем введем угол 5 по формулам—р/©о =c o s8, й)/соо = s i n 5.(1)Тогдаsin(a>* - 5) = IMjL/Ce**2Рsin(a)t - 6 ) ,где угол 8 согласно (1) находится во второй четверти, т. е. принимает значения я/2 < 5 < я.
Таким образом, напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока.11.7. Установление колебаний. Катушку с индуктивностью L и активным сопротивлением R подключили в момент t = 0 к внешнемунапряжению U = Um cos oof. Найти ток в цепи как функцию времени t.Решение. В данном случае RI =U - Ы , или/ + (R/L)I = QJJL) cos cot.Решение этого уравнения есть общее решение однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:I(t) = Ae~iR/L)tUm+ .24Rcos(a>* - ф),+ O32L2где А — произвольная постоянная, а угол ср определяется условием (11.36): tg<p = (oL/R.Постоянную А находим из начального условия ДО) = 0.Отсюда А = ~(Um /yR2 + co2L2)cos9 .
В результатеI(t) =Um;22[cos(a>t - ф) - e~iR/L)tсозф].2л/Д + o) LПри достаточно большом t второе слагаемое в квадратных скобках становится пренебрежимо малым, и мы получаем установившееся решение I(t) со cos(ot - ф).11.8. Вынужденные колебания. Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных конденсатора и активного сопротивленияR, подключили к внешнему переменному напряжению с амплитудой Um.
При этом амплитуда установившегося тока оказаласьравной 1т. Найти разность фаз между током и внешним напряжением.Электрические колебанияРешение. В данном случаеI = Jmcos(G)f - ф),U - итсоз cat,где ф определяется формулой (11.36): tgq> = -1/coCR.Неизвестное значение емкости С найдем из выражения для амплитуды тока: Im = Um/^R2 + (1/©C)2, откуда1После подстановки в выражение для tg ф получимRim>Im(DCЧЧ7Ф<О11В нашем случае ф < 0, а это вначит, что токопережает по фазе внешнее напряжениеРис. 11.10(рис.
11.10).11.9. Цепь переменного тока, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку с активным сопротивлением, подключена к внешнему переменному напряжению, частоту которого можно менять, не меняя его амплитуды. При частотах (ох и со2амплитуды силы тока в цепи оказались одинаковыми. Найти резонансную частоту тока.Решение. Согласно (11.35) амплитуды будут одинаковыми приусловии1CDiL1o) 2 C(оС(1)Максимуму резонансной кривой тока соответствует частота, равная собственной частоте ю0 = 1/VLC. Пусть ю1 < соо < о)2 (можнопредположить и наоборот, от этого окончательный результат неизменится), тогда равенство (1) можно переписать, сняв модули,2так: Юп/сот - со1 = со9-2&п/(о9,или_1I«2После сокращения обеих частей этого равенства на со2 + ы1 получим: 1 = GOO/G>ICO2, откудаГлава 1131011.10.
Векторная диаграмма. Цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкости С и катушки с активным сопротивлением R и с индуктивностью L, подключили к внешнему гармоническому напряжению с амплитудой Um и частотой со. Считая, что ток вцепи опережает по фазе внешнее напряжение, построить соответствующую векторную диаграмму и с помощью нее найтиамплитуду напряжения на катушке.Решение.
Векторная диаграмма для данного случая имеет вид, показанный нарис. 11.11. Из этой диаграммы сразу видно, что амплитуда напряжения на катушкеитРис. 11.11U LRm2где Im = Um/^RНапряжение на катушке при наличии активного сопротивленияопережает ток по фазе менее чем на я/2.11.11.
Мощность в цепи переменного тока. Цепь, состоящую из последовательно соединенных безындукционного сопротивления R икатушки с некоторым активным сопротивлением, подключилик сети с действующим напряжением U. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если действующие напряженияна сопротивлении R и катушке равны соответственно Ux и U2Решение. Воспользуемся векторной диаграммой, которая данана рис. 11.12. Из этой диаграммы согласнотеореме косинусов имеемU2 = U2 + Xj\ + 2UYU2 cos q>L.(1)Мощность же, выделяемая на катушке:Р2 = IU2 cos (pL,(2)где / = U JR.
Из уравнений (1) и (2) получимРис. 11.12P2 =(U2-U2-U2)/2R.Приложения1. Единицы величин в СИ и системе ГауссаВеличинаСилаРабота, энергияОбозначе-ЕдиницавеличиныОтношениеед. СИнияСИСГСед. СГСFНДин10 5A,WДжэрг10 7ЗарядЧ .Клед. СГСЭ3-Ю9Напряженностьэлектрического поляЕВ/мед. СГСЭ1/(3 10 4 )Ф, UВед.
СГСЭ1/300Клмед. СГСЭ3 10 1 1ПоляризованностьРРКл/м2ед. СГСЭ3105Вектор DDКл/м2ед. СГСЭ12я • 10 5ЕмкостьСФсм9 • 10 1 1Сила токаIАед. СГСЭ3 10 9Плотность токаiА/м2ед. СГСЭ3 - 10 5СопротивлениеRОмУдельное сопротивлениеОм • м ед. СГСЭПроводимостьрIСмед. СГСЭ9 • 10 1 1Удельная проводимостьаСм/мед. СГСЭ9109Магнитная индукцияВТлГс10 4Магнитный поток,потокосцеплениеФ, УВбМкс10Магнитный моментРтА-мед. СГСМ10НамагниченностьJА/мед. СГСМ10~3Вектор ННА/мЭИндуктивностьLГнсмПотенциал, напряжениеЭлектрический момент2ед. СГСЭ 1/(9 • 10 1 1 )1/(9 • 10 9 )834тг • 10~310 9312Приложения2. Основные формулы электромагнетизма в СИи системе ГауссаНаименованиеПоле Е точечного зарядаПоле Е в плоскомконденсаторе иу поверхности проводникаПотенциал поляточечного зарядаСвязь между Е й фГауссова системаСИ4я80 г2Е = —8л81Яф = 4Т18- .....ГОг2Е = - Уф,ф - ф = JEdlt2XЦиркуляция вектора Ев электростатическом полеЭлектрический моментдиполяЭлектрический диполь рв поле ЕСвязь между поляризованностью и напряженностьюСвязь между а', Р и ЕОпределение вектора DСвязь между 8 и иСвязь между D и ЕТеорема Гаусса для вектора Dd>E dl = 0JР = glF -д Еdl 'Полная энергиявзаимодействияЭнергия конденсатораПлотность энергииэлектрического поляУравнение непрерывностиFDEIW = — DEР = ХБ0Еа' = Рп=P=KECT'УЕ0ЕП- Р л = хЕлD = 80Е + РD = E + 4яР8= 1 + К8 = 1 + 4тсхD = eED = 88оЕ<j>D d S = q<J>D d S = 4ядс-Емкость конденсатораЕмкость плоскогоконденсатораЭнергия системы зарядовМ -С=q/Uc_ ee o 54яЛhw =V2W = qU/2 = CC/2/2 = q2/2Cw = ED/2Приложения313Продолжение табл.
2НаименованиеЗакон ОмаЗакон Джоуля-ЛенцаСила ЛоренцаRI = ф ! — ф2 +2Q = RI ,F = qE + q[vB]Поле В движущегося заряда=^Д =ГF = gE + — [ vB]сг3Г <!<•• 1 J T 7471lUT*AVdBHn I j r I ClV^Поле В:а) прямого токавб) в центре виткав) в соленоидег3С~4яТ~с b_ Но 2я/4я Л~"c~R~Б = цол/сdF = /[dl, В]рсМО 2/ х /2ед4тгЦиркуляция намагниченностиОпределение вектора НЦиркуляция вектора Нв стационарном полеСвязь между J и НИи хВ иНE»^"ед-bМагнитный диполь рт в поле ВРабота по перемещениюконтура с токомfl/[dl,r]dF = [jB]dFСила взаимодействияпараллельных токовМагнитный моментконтура с токомг3сd BЗакон Ампера2+Г)_ Но 9 [ у г 1в~ 471Закон Био-СавараГауссова системаСИ.А = /(Ф 2 - Ф1)2/i/2ьN=[p m B]A = —/(Фо — Фч )Сx*(J> J dl - /'H = В - 4я JH = B/jiQ ~" J(j>H dl = /сJц=1+В = ццоН4ЯУПриложения314Продолжение табл.
2НаименованиеСИГауссова системаЗакон преобразованияполей Е и В при и0 « сЕ' = Е + [v 0 B]E' = E + i [ v В]сссИнвариантыэлектромагнитного поляЭ.д.с. индукцииИндуктивностьИндуктивность соленоидаЕВ - invЕ2 - с2В2 = invЕ2 - В2 = inv1г\(ЬU4*г»dtЬ = Ф/12L = \i\iQn VrlfT)с dtЬ = сФ/1L = 4пцп2УЗ.д.с. самоиндукцииЭнергия магнитного полятокаПлотность энергиимагнитного поляПлотность тока смещенияLI2W = —2BHЦ} —JcMУравнения Максвеллав интегральной форме"1L/ 2W =с±2—вн2dDdtJCM-^1 ао~d)Edl - - f f i d SJJi>Ed\ = — JBdS<j>D dS = Jp dV^DdS = 47rJpdF<j)Hdl = J(j+D)dSф Н dm4тг г[ .Уравнения Максвеллав дифференциальнойформеj>B dS = 0V x E = -BV -D = pVxH = j + DПлотность импульсаэлектромагнитного поляE 1— - H IV оV^oHп = [EH]G-lсГЕН1D Iс ^4KJ^В dS = 0VxE = - - ВсV • D = 4ярVXH = —J + -5-]с у 4nJV В=0V B=0Связь между Е и Яв электромагнитной волнеВектор Пойнтинга==Ег __ н гУ1\ХП = —[ЕН1J4nl4ксПриложения3153.
Основные величины и единицы СИВремя t — величина, характеризующая последовательную смену явлений и состояний материи, характеризующая длительность их бытия;единица — секунда (с).Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основногосостояния атома цезия-133.Длина / — величина, характеризующая протяженность, удаленность иперемещение тел или их частей вдоль заданной линии; единица —метр (м).Метр есть длина пути, проходимого светом в вакууме за интервалвремени 1/299 792 458 с.Масса /71 — величина, определяющая инертные и гравитационныесвойства материальных объектов; единица — килограмм (кг).Килограмм равен массе платино-иридиевого эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов (в Севре, близ Парижа).Масса эталона близка к массе 1 дм 3 чистой воды при 4 °С.Сила электрического тока / — скалярная величина, численно равнаяэлектрическому заряду, переносимому сквозь рассматриваемую поверхность за единицу времени; единица — ампер (А).Ампер равен силе постоянного тока, который при прохождении подвум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожномалой площади кругового поперечного сечения, расположенным ввакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждомучастке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную72 • 10~ Н.Термодинамическая температура Т — температура, отсчитываемая потермодинамической шкале температур от абсолютного нуля; единица — кельвин (К).Кельвин равен 1/273,16 части термодинамической температурытройной точки воды.Количество вещества п — величина, равная числу структурных элементов, содержащихся в теле (системе тел); единица — моль.Моль равен количеству вещества системы, содержащей столькоже структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
