И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Наличие поглощенияозначает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью ру2 = <JE2, а поэтому а Ф 0, т. е. поглощающая среда обладает проводимостью.Электрическое поле волны в такой средевозбуждает электрический ток с плотностьюj = аЕ. Вследствие этого на единицу объемасреды действует амперова сила плотностиFefl = [jB] = а[ЕВ], направленная в сторонураспространения волны (рис. 10.10). Эта^JfГед^ЧЕВ]сила и вызывает давление электромагнитРис. 10.10НОИ ВОЛНЫ.При отсутствии поглощения проводимость а = 0 и ¥ел = 0,т. е. в этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на среду.Импульс электромагнитного поля.
Поскольку электромагнитная волна оказывает давление на вещество, последнее приобретает определенный импульс. Но в замкнутой системе, состоящей из вещества и электромагнитной волны, возникло бынарушение закона сохранения импульса, если бы импульсомобладало только вещество.Импульс такой системы может сохраняться лишь при условии, что электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом: вещество приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитным полем.Введем понятие плотности импульса G электромагнитногополя как величину, численно равную импульсу поля в единицеобъема. Расчет, который мы не будем здесь приводить, показывает, что плотность импульсаG = П/с 2 ,(10.24)где П = [ЕН] — вектор Пойнтинга.
Как и вектор П, плотностьимпульса G является, вообще говоря, функцией времени и координат.Глава 10280Для электромагнитной волны в вакууме согласно (10.20)Г, поэтому плотность энергии w и модуль Я вектора Пойнтинга равны соответственно:П = ЕНОтсюда следует, что Я = м>/л/£оИо • А так как ^so\io = 1/с, с —скорость света в вакууме, то Я = we, и из формулы (10.24) вытекает, что для электромагнитной волны в вакууме(10.25)G = w/c.Такая же связь между энергией и импульсом присуща (какпоказывается в теории относительности) частицам с нулевоймассой покоя.
Это и естественно, поскольку согласно квантовым представлениям электромагнитная волна эквивалентна потоку фотонов — частиц с нулевой массой покоя.Еще о давлении электромагнитных волн. Вычислим с помощью формулы (10.25) давление электромагнитной волны натело, когда волна падает нормально на его поверхность и частично отражается в противоположном направлении. Согласнозакону сохранения импульса р 0 =р г 0 +р, где р 0 , р ' о — импульсыпадающей и отраженной волн, р — имРопульс, переданный телу (рис.
10.11).Спроектировав это равенство на направление падающей волны и отнеся все величины к единице времени и к единицеРис. 10.11площади поперечного сечения, получимР = Ро + Ро=^> с+ <^'>с,где <G> и <G'> — средние значения плотности импульса в падающей и отраженной волнах. Остается учесть связь (10.25) между<G> и <w> и тот факт, что <w'> = p<w>, где р — коэффициентражения. В результате предыдущее выражение примет видр = (1 + р)<ю>.(10.26)Здесь величина р по своему смыслу есть не что иное, какдавление электромагнитной волны на тело. При полном отра-от-Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля281жении р = 1 и давление р = 2<и», при полном поглощении р = 0 ир = <м».Остается добавить, что давление электромагнитного излучения обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а также давление излучения внутри горячихзвезд).
Например, давление солнечного излучения на Земле составляет несколько единиц на 10~6 Па, что в 10 1 0 раз меньшеатмосферного давления. Несмотря на ничтожные значенияэтих величин, экспериментальное доказательство существования электромагнитных волн — светового давления — было получено П. Н. Лебедевым. Результаты этих опытов оказались всогласии с электромагнитной теорией света.Задачи10.1. Ток смещения. Точечный заряд q движется равномерно и прямолинейно с нерелятивистской скоростью v. Найти вектор плотности тока смещения в точке Р, находящейся на расстоянии г отзаряда на прямой: 1) совпадающей с его траекторией; 2) перпендикулярной его траектории и проходящей через заряд.Решение. Плотность тока смещения j C M = dD/dt, поэтому решениезадачи сводится к определению вектора D в указанных точках инахождению его производной по времени. В обоих случаяхD = дег/4лг2, где е г — орт вектора г. Найдем производную dD/dt.1.
В точке Рх (рис. 10.12, где предполагается, что q > 0)dD _ 2q дг_ 2qvdt " 4яг 3 dt в г " 4тгг3 'здесь учтено, что для точки Рх производная dr/dt = -v. Если бы точкаР1 находилась не перед зарядом q (походу его движения), а за ним, то вектор j C M был бы направлен в ту же сторону и имел бы тот же модуль.D dDv^tРис. 10.12Итак, если q > 0, вектор j CM tTv, и наоборот.2.
В точке Р2 (рис. 10.12) |dD|/D = и dt/r, поэтому:dD/dt = - qv/4nr*.Если q > 0, то j C M 4 t v, и наоборот.Глава 1028210.2. Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечениякоторого R, меняют так, что магнитное поле внутри соленоидавозрастает со временем по закону В = р* 2 , где р — постоянная.Найти плотность тока смещения как функцию расстояния г отоси соленоида.Решение. Чтобы определить плотность тока смещения, надо согласно (10.5) сначала найти напряженность электрическогополя — здесь оно будет вихревым. Воспользовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора Е, запишем:;2nrE = nr2dB/dt, Е = rfit (г < R);™i2nrE = nr2dB/dt, Е = Д2р*/г (г > R).Теперь по формуле усм = zQdE/dt найдем плотность тока смещения:Рис.
10.13График зависимости усм(г) показан на рис. 10.13.10.3. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсаторзарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегаякраевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.Решение. Магнитное поле будет отсутствовать, потому что полный ток (ток проводимости плюс ток смещения) равен нулю. Этои надо показать. Обратимся к плотности тока.
Пусть в некоторый момент плотность тока проводимости равна j . Ясно, что j со D, причем D = an, где a —.* • Iповерхностная плотность заряда на положитеDl n TDльно заряженной обкладке; п — нормаль (рис.Рис. 10.1410.14).Наличие тока проводимости приводит к уменьшению поверхностной плотности заряда а, а следовательно, и D — ток проводимости будет сопровождаться током смещения. Плотность последнегоj C M = dD/dt = (da/dt)n = - ;n = - j .Отсюда следует, что действительноimwiH = J + JCM = 0-Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля28310.4. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью а и диэлектрическойпроницаемостью 8.
Пренебрегая краевыми эффектами, найти модуль вектора Н между обкладками на расстоянии г от их оси,если напряженность электрического поля между обкладками меняется со временем по закону Е = ЕтсоаЫ.Решение. Из уравнения Максвелла для циркуляции вектора Нследует, что2nrH = (jn2£eo^Anr+.Принимая во внимание закон Ома j n = aEn(t), получимН= —2 уаЕп+ Б8 0=dt J2J- ( a COS СО* - 88QQ) SHI (dt).2Преобразуем выражение в скобках к косинусу.
Для этого умножим и разделим это выражение на / = у а 2 + (ее0а))2, а затем введем угол 8 по формулам c/f = cos 8, 889(0// = sin 8. ТогдаH = -(e8o<Q)2|cos(o)*с*10.5. Точечный заряд q движется в вакууме равномерно и прямолинейно с нерелятивистскойскоростью у. Воспользовавшись уравнениемМаксвелла для циркуляции вектора Н, получить выражение для Н в точке Р, положениекоторой относительно заряда характеризуетсярадиусом-вектором г (рис. 10.15).Решение.
Из соображений симметрииясно, что в качестве контура, по которому надо брать циркуляцию вектора Н,следует взять окружность с центром О(ее след показан на рис. 10.16 штриховой линией). Тогдад_2nRH = — JDndt(1)где R — радиус окружности.Найдем поток вектора D сквозь поверхность, ограниченную этой окружно-Рис. 10.16Глава 10284стью. Проще всего, если эту поверхность S взять сферической срадиусом кривизны г (рис.
10.16). Тогда поток вектора D черезэлементарное кольцо, взятое на данной сферической поверхности, естьDdS = —?— 2nrsma'-rda'4пг= -sina'da',га весь поток сквозь выбранную поверхность(2)Теперь согласно (1) продифференцируем (2) по времени:(3)2P При перемещении заряда из точки 2 в точку 2 (рис. 10.17) на расстояние и dt имеемudt • sin a = г da, откудаdad*и sin a(4)После подстановки (4) в (3), а затем (3) в(1) получимРис. 10.17Н = qvr sin a/lnr3,(5)где учтено, что R = г sin а. Соотношение (5) в векторной формеимеет виднИ =9 EZ!•3Мы видим, таким образом, 4ячто гпостулированное нами ранее выражение (6.3) является следствием уравнений Максвелла.10.6. Ротор Е.
В некоторой области инерциальной системы отсчетаимеется вращающееся с угловой скоростью ю магс1Внитное поле, модуль которого В = const. НайтиV х Е в этой области как функцию векторов са и В.В(ТуРис. 10.18Решение. Из уравнения V х Е = - dB/dt видно, чтовектор V х Е направлен противоположно векторуdB, а его модуль можно вычислить с помощью рис.10.18:| dB | = В • со dt, | dB/dt | = Boo.Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля285ПоэтомуV х Е = - [соВ].10.7. Вектор Пойнтинга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
