И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Однакоданную трудность можно преодолеть, воспользовавшись теоремой взаимности. Заменим мысленно магнит на небольшой витокс током, создающий в окружающем пространстве то же магнитное поле, что и магнит. Если площадь витка S и ток в нем /, тоих произведение должно быть равно магнитному моменту ртмагнита: рт = IS. По теореме взаимности L12I = Ь2\1, и вопрос262Глава 9сводится к нахождению магнитного потока через площадь 5 витка, который создает тот же ток /, но текущий в катушке. Считая, что в пределах витка поле однородное, получимФ = В5=ЦоМГЗ/2а.(2)Остается подставить (2) в (1) и вспомнить, что IS = рт. Тогда q —= VoNpm/2aR ирт = 2aRq/n0N.= Глава 1 0-=Уравнения Максвелла.Энергия электромагнитного поля§ 10.1. Ток смещенияОткрытие Максвелла.
Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарад ей, математически была завершена Максвеллом. При этом одной из важнейших новых идей,выдвинутых Максвеллом, была мысль о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей. А именно,поскольку меняющееся во времени магнитное поле (dB/dt) создает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся вовремени электрическое поле (dE/dt) создает магнитное поле.К этой идее о необходимости существования по сути новогоявления индукции можно прийти путем, например, следующих рассуждений. Мы знаем, что согласно теореме о циркуляции вектора Н= JjdS.(10.1)Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некотороевнешнеесопротивление(рис. 10.1, а).
В качествеконтура Г возьмем кривую,охватывающую провод. Наконтур Г можно натянутьразные поверхности, наа,б^пример S и S\ Обе поверхности имеют «равные праРис. 10.1ва», однако через поверхность S течет ток /, а через поверхность S' не течет никакого тока!Получается, что циркуляция вектора Н зависит от того, какую поверхность мы натягиваем на данный контур (?!), чегоявно не может быть (в случае постоянных токов этого и не происходило).264Глава 10А нельзя ли как-то изменить правую часть (10.1), чтобы избежать этой неприятности? Оказывается, можно, и вот как.Первое, что мы замечаем, это то, что поверхность S' «пронизывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса потоквектора D сквозь замкнутую поверхность q)D dS = q, откуда^ d S = ^ .dtdt(10.2)С другой стороны, согласно уравнению непрерывности (5.4)-^.dt(10.3)Сложив отдельно левые и правые части уравнений (10.2) и(10.3), получимf^L dS=O.dt J(10.4)Это уравнение аналогично уравнению непрерывности дляпостоянного тока.
Из него видно, что кроме плотности токапроводимости j имеется еще одно слагаемое dD/dt, размерностькоторого равна размерности плотности тока. Максвелл назвалэто слагаемое плотностью тока смещения:j C M = dD/dt.(10.5)Сумму же тока проводимости и тока смещения называютполным током. Его плотностьКо„п=} + ™-(Ю.6)Согласно (10.4) линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости,если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.Сейчас мы убедимся в том, что введение полного тока устраняет трудность, связанную с зависимостью циркуляции вектора Н от выбора поверхности, натягиваемой на контур Г. Оказывается, для этого достаточно в правой части уравнения (10.1)Уравнения Максвелла.
Энергия электромагнитного поля265вместо тока проводимости ввести полный ток, т. е. величинуS.(10.7)В самом деле, правая часть (10.7) представляет собой суммутока проводимости I и тока смещения / с м : / п о л н = / + / с м . Покажем, что полный ток / п о л н будет одинаков и для поверхности S,и для поверхности S', натянутых на один и тот же контур Г.Для этого применим (10.4) к замкнутой поверхности, составленной из поверхностей S и S' (рис. 10.1, б). Учитывая, что длязамкнутой поверхности нормаль п направлена наружу, запишем/полн(Я') + /Полк(£) = 0.Теперь, если обернуть нормаль п' для поверхности S' в ту жесторону, что и для S, то первое слагаемое в последнем уравнении изменит знак, и мы получимчто и требовалось доказать. Итак, теорему о циркуляции вектора Н, которая была установлена для постоянных токов, можнообобщить для произвольного случая и записать(10.8)В таком виде теорема о циркуляции вектора Н справедливавсегда у свидетельством чему является согласие этого уравненияс результатами опыта во всех без исключения случаях.Дифференциальная форма уравнения (10.8):(10.9)т.
е. ротор вектора Н определяется плотностью тока проводимости j итока смещения dD/dt в той же точке.Несколько замечаний о токе смещения. Следует иметь ввиду, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле.266Глава 10Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. В диэлектриках ток смещения состоит из двух существенно различных слагаемых. Так как вектор D = 6ОЕ + Р, то отсюда видно, что плотность тока смещенияdD/dt складывается из «истинного» тока смещения dE/dt итока поляризации dP/dt — величины, обусловленной движением связанных зарядов.
В том, что токи поляризации возбуждают магнитное поле, нет ничего неожиданного, ибо эти токипо природе своей: не отличаются от токов проводимости. Принципиально новое содержится в утверждении, что и другаячасть тока смещения (БодЕ/д£), которая не связана ни с какимдвижением зарядов, а обусловлена только изменением электрического поля, также возбуждает магнитное поле. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле.Открытие этого явления — наиболее существенный и решающий шаг, сделанный Максвеллом при построении теорииэлектромагнитного поля. Это открытие вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическоеполе.
Следует также отметить, что открытие Максвеллом токасмещения — чисто теоретическое открытие, причем первостепенной важности.Рассмотрим пример, в котором проявляют себя токи смещения.Пример. В неограниченной однородной проводящей среде находитсяметаллический шар, которому сообщен положительный электрическийзаряд (рис.
10.2). Электрическиетоки, текущие в радиальных направлениях, должны возбуждать магнитное поле. Выясним, куда направленвектор В в произвольной точке Р.Прежде всего ясно, что вектор В неможет иметь радиальной составляюРис- 10.2щей. Если бы это было не так, потоквектора В через поверхность сферы S(рис. 10.2) был бы отличен от нуля, что противоречит уравнению (7.2). Значит, вектор В должен быть перпендикуляренУравнения Максвелла.
Энергия электромагнитного поля267радиальному направлению в точке Р. Но это также невозможно, так как все направления, перпендикулярные радиальному, совершенно равноправны, они ничем не выделены. Остается единственное — магнитное поле всюду равно нулю.Отсутствие магнитного поля при наличии электрическоготока плотностью j означает, что кроме тока проводимости j всистеме имеется и ток смещения j C M , причем такой, что полный ток всюду равен нулю, т.
е. в каждой точке j C M = -j. ИлиqdDгде принято во внимание, что D — q/4nr согласно теореме Гаусса.§ 10.2. Система уравнений МаксвеллаУравнения Максвелла в интегральной форме. С введениемтока смещения макроскопическая теория электромагнитногополя была блестяще завершена. Открытие тока смещения(dD/dt) позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма(причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.До сих пор мы рассматривали отдельные части этой теории.Теперь можно представить всю картину в виде системы фундаментальных уравнений электродинамики, называемых уравнениями Максвелла в неподвижных средах. Этих уравнений четыре (мы уже познакомились с каждым из них в отдельности впредшествующих разделах, а сейчас просто соберем их все вместе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
