И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 41
Текст из файла (страница 41)
индукции в катушке, если в момент t = 0 ось катушки совпадала с осью соленоида.Решение. В момент t полный магнитный поток сквозь катушкуФ = NBS cos со* = NBQS sin со* • cos со* = V2 NB0S sin2co*.Согласно закону электромагнитной индукцииft = - dФ/dt = - V2 NB0S • 2co cos2cot = - NBQS® cos2cot.9.5. Бетатронное условие. Показать, что электроны в бетатроне будутдвигаться по орбите постоянного радиуса г0 при условии, что магнитное поле на орбите Во равно половине среднего по площадивнутри орбиты значения магнитного поля сВ>, т. е. Во = <Б>/2.Решение. Представим релятивистское уравнение движения электронаdp/d* = е Е + е [vB 0 ],(1)где Е — вихревое электрическое поле, в проекциях на касательную т и нормаль п к траектории. Для этого запишем импульсэлектрона как р — рх и найдем его производную по времени:Глава 9256где учтено, что р = mv, m — релятивистская масса, и dr/dt =(t>/ro)n,в чем нетрудно убедиться с помощью рис.
9.20. Действительно,dx = dip • n = (v dt/r0) n, дальнейшее очевидно.Кроме того, согласно закону электромагнитной индукции 2пГоЕ =2= |d<I>/df|, где Ф = яго <В>. Отсюдаx+dxdcpd(pРис. 9.20(3)2 dtТеперь запишем уравнение (1) с учетом формул (2) и (3) в проекциях на касательную и нормаль к траектории:dtе < В2 dtr0 = evB0.(4)Последнее уравнение можно переписать после сокращения на v ввидер = егоВо.Продифференцируем это уравнение по времени, приняв во внимание, что г0 = const:d£cLBodt = enu dt(5)Из сравнения выражений (5) и (4) получаемВ частности, последнее условие будет выполнено, еслиВ о = <В>/2.Практически это достигается путем изготовления полюсных наконечников специального вида (в форме усеченных конусов).9.6.
Индукционный ток. Квадратная проволочная рамка со стороной аи прямой длинный проводник с постоянным током / 0 лежат в одной плоскости (рис. 9.21). Индуктивность рамки L, ее сопротивле-Электромагнитная индукция257ние R. Рамку повернули на 180° вокруг осиОО' и остановили. Найти количество электричества, протекшее в рамке.
Расстояние bмежду осью ОО' и прямым проводникомпредполагается известным.Решение. Согласно закону Ома в процессеповорота рамки ток / в ней определяется поформуле-*-0—iI2a 1iaj0'Рис. 9.21RI = -— -L— .dtdtПоэтому искомое количество электричестваq = J/ dt = - — J(dO + Ldl) = - — (АФ + LAI).Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней прекратился и, следовательно, А/ = 0. Остается выяснить, чему равноприращение потока АФ сквозь рамку (АФ = Ф 2 - Фг)тВыберем нормаль п к плоскости рамки, например, так, чтобыв конечном положении п было направлено за плоскость рисунка(в сторону В). Тогда нетрудно видеть, что в конечном положенииФ 2 > 0, а в начальном Ф х < 0 (нормаль направлена против В), иАФ оказывается равным просто потоку через площадь, ограниченную конечным и начальным положениями рамки:Ъ-агде В является функцией г, вид которой можно легко найти с помощью теоремы о циркуляции.Окончательно получим, опуская знак минус:АФ4= R\A.Q(IIQ~ 2nRb + aЪ-а'Найденная величина, как видим, от индуктивности контура не зависит (в случае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло иначе).9.7.
Перемычка 12 массы т скользит без трения по двум длиннымпроводящим рельсам, расположенным на расстоянии I друг отдруга (рис. 9.22). Система находится в однородном магнитномполе, перпендикулярном плоскости контура. Левые концы рель9—3947258Глава 9JгXVVXРис. 9.22сов замкнуты через сопротивление КВ момент t = О перемычке i 2 сообщили вправо начальную скорость v0.Пренебрегая сопротивлением рельсови перемычки, а также самоиндукциейконтура, найти скорость перемычки взависимости от времени t.Решение. Выберем положительное направление нормали к плоскости контура за рисунок (от нас). Это значит, что положительноенаправление обхода контура (для э.д.с. индукции и тока) мы взяли по часовой стрелке — в соответствии с правилом правого винта. Из закона Ома следует:= - * * _ & _dtdtгде учтено, что при движении перемычки вправо ЫФ > 0.ШИндукционный ток / согласно правилу Ленца вызывает противодействующую движению силу Ампера — она будет направленавлево.Выбрав ось X вправо, запишем уравнение движения перемычкит dv/dt = IIB,(2)где справа записана проекция силы Ампера на ось X (эта величина является отрицательной, но знак минус мы не пишем, ибо, каквидно из (1), ток I < 0).
Исключив I из уравнений (1) и (2), получимa = B2l2/mR.dv/v = -adt,Интегрирование этого выражения с учетом начальных условийдает\n(v/v0) = - at,и = voe~at.9.8. Роль переходных процессов. В схеме (рис. 9.23) известны э.д.с. £источника, его внутреннее сопротивление R и1индуктивности сверхпроводящих катушек Ьг иL 2 . Найти установившиеся токи в катушках после замыкания ключа К.кРис. 9.23Решение.
Воспользуемся правилами Кирхгофадля контуров &LX и £L2:Р"'"dT'™=Р~^1ГЭлектромагнитная индукция259Из сравнения этих выражений видно, что Lx dlx = L2 d/2, а дляустановившихся токов(1)Кроме того,(2)ho + ho = /о =Из уравнений (1) и (2) найдем:еin9.9. Вычисление индуктивности. Коаксиальный кабель состоит извнутреннего сплошного проводника радиусом а и наружной проводящей тонкостенной трубки радиусом Ь, Найти индуктивностьединицы длины кабеля, считая распределение тока по сечениювнутреннего проводника равномерным. Магнитная проницаемость всюду равна единице.Решение. В данном случае внутренний проводник не являетсятонким, поэтому определять индуктивность надо не через магнитный поток, а энергетически.
Согласно (9.33)= Аг\ — 27trdr,(1)где г — расстояние от оси кабеля. Для вычисления этого интеграла надо найти зависимость В(г). С помощью теоремы о циркуляции имеем:(2)Br<a =Графический вид этих зависимостей показан на рис 9.24. С учетом (2) интеграл (1)разбивается на две части, и в результатеинтегрирования мы получимТ— ^0Вj . 1т1Заметим, что определение этой величинычерез магнитный поток по формуле LeA == Ф е д Д приводит к другому — неверномуРис. 9,24Глава 9260результату, а именно вместо 1/4 в круглых скобках получается1/2.
Чем тоньше центральный провод, т. е. больше отношениеb/а, тем меньше относительное различие результатов подсчетаобоими способами: энергетически и из потока..10. Взаимная индукция. Имеется тороидальная катушка и проходящий по ее оси симметрии длинныйпрямой провод. Сечение катушки прямоугольное, его размеры указаны нарис. 9.25. Число витков катушки JV,магнитная проницаемость окружающей среды равна единице. Найти амплитуду э.д.с, индуцируемой в этой катушке, если по прямому проводу течетпеременный ток //mcostof.Рис.
9.25Решение. Искомая э.д.с. ft = - d<X>/cU, где Ф =нитный поток сквозь поперечное сечение катушки:— маг-где Вп определяется с помощью теоремы о циркуляции вектораВ. Взяв производную Фг по времени и умножив полученный результат на N, найдем следующее выражение для амплитудыэ.д.с. индукции:2тга9.11. Вычисление взаимной индуктивности. Два соленоида одинаковой длины и практически одинакового сечения вставлены полностью один в другой. Индуктивность соленоидов Ьг и L 2 Пренебрегая краевыми эффектами, найти их взаимную индуктивность(по модулю).Решение. По определению взаимная индуктивностьФ^ 1 2 = 1Л*2>(!)где Фг — полный магнитный поток через все витки соленоида 2,если в соленоиде 2 течет ток / 2 . Поток Ф х = NiB2S, где Nx — числовитков в соленоиде 2, S — сечение соленоида, В2 = №оП212.
Поэтому формулу (1) можно переписать так (после сокращения на / 2 ) :(2)Электромагнитная индукция261где учтено, что JVX = пг1, I — длина соленоида и IS = V — его объем. Выражение (2) можно представить через Ьг и L 2 следующимобразом:Заметим, что это выражение определяет предельное (максимальное) значение |L12|, вообще же |L12| < д/Ха^г9.12. Теорема взаимности. В центре тонкой катушки радиусом а, содержащей N витков, находится небольшой цилиндрический магнит М (рис. 9.26).Катушка подключена к баллистическому гальванометру Г.Рис. 9.26Сопротивление цепи R.
Послетого как магнит быстро удалили из катушки, через гальванометр прошел заряд q. Найти магнитный момент магнита.Решение. В процессе удаления магнита полный магнитный поток через катушку изменялся, и в ней возник индукционныйток, определяемый уравнениемdtdtУмножим обе части этого уравнения на dt и учтем, что I dt = dq,тогдаR dq = - d<X> - Ldl.Проинтегрировав последнее выражение, получим Rq = -ЛФ - LAI.Теперь примем во внимание, что А/ = 0 (ток был равен нулю как вначале, так и в конце процесса), поэтомуд = ДФ/Д = Ф/Д,(1)где Ф — магнитный поток через катушку в начале процесса(знак минус мы опустили — он не существен).Итак, задача свелась к определению потока Ф через катушку.Непосредственно определить эту величину мы не можем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
