И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 44
Текст из файла (страница 44)
10.4).О электромагнитных волнах. Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально новогофизического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно — без электрических зарядов и токов.При этом изменение его состояния обязательно имеет волновойхарактер. Поля такого рода называют электромагнитнымиволнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости света с.Выяснилось также, что ток смещения (dD/dt) играет в этомявлении первостепенную роль.
Именно его присутствие нарядус величиной dB/dt и означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитногополя возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. Засчет непрерывного взаимопревращения или взаимодействияони и должны сохраняться — электромагнитное возмущениебудет распространяться в пространстве.Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства, а именно: любая электромагнитная волна независимо от ее конкретной формы (это можетбыть гармоническая волна или электромагнитное возмущениепроизвольной формы) характеризуется следующими общимисвойствами:1) ее скорость распространения в непроводящей нейтральной неферромагнитной средеи=с/у[г\х9где с = УД/БОИО ;(10.19)2) векторы Е, В и v (скорость волны) взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис.
10.5). Такое274Глава 10правовинтовое соотношение является внутреннимсвойством электромагнитной волны, не зависящим ни от какой координатной системы;3) в электромагнитной волне векторы Е и В всегдаколеблются в одинаковых фазах (рис. 10.6, гдеВпоказана мгновенная «фотография» волны), приРис. 10.5чем между мгновенными значениями Е и В в любой точке существует определенная связь, а именно Е = vB, или(10.20)Это значит, что Е и Н (или В) одновременно достигают максимума, одновременно обращаются внуль и т.
д.Понимание того, что из дифференциальных уравнений (10.18) вытекала возможность существования электромагнитных волн, позволило Максвеллу с блестящим успехом развитьРис. 10.6электромагнитную теорию света.§ 10.4. Энергия и поток энергии.Вектор ПойнтингаТеорема Пойнтинга. Исходя из представления о локализации энергии в самом поле и руководствуясь принципом сохранения энергии, мы должны заключить, что если в какой-тоопределенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания» через границы рассматриваемой области (среда предполагается неподвижной).В этом отношении существует формальная аналогия с законом сохранения заряда — уравнением (5.4).
Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора j сквозь поверхность, охватывающуюэтот объем.Так и в случае закона сохранения энергии следует признать,что существует не только плотность энергии w в данной области, но и некоторый вектор П, характеризующий плотностьпотока энергии.Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля275Если говорить только об энергии электромагнитного поля,то его полная энергия в данном объеме будет изменяться как засчет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряженным частицам), т. е.
производит работу над веществом. Макроскопически это утверждение можно записать так:dW- — = 9 n d S + P,(10.21)где dS — элемент поверхности.Это уравнение выражает теорему Пойнтинга: убыль энергииза единицу времени в данном, объеме равна потоку энергиисквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюсмощность Р, которую силы поля производят над зарядамивещества внутри данного объема.В уравнении (10.21) W = JwdF, w — плотность энергии поля,Р = f jEdF, j — плотность тока, Е — напряженность электрического поля.
Приведенное выражение для Р можно получить так.За время dt поле Е совершит над точечным зарядом q работудА = дЕ • udt, где и — скорость заряда. Отсюда мощность силы дЕравна Р = guE. Переходя к распределению зарядов, заменим q наpdV, p — объемная плотность заряда. Тогда dP = puE dV = jE dV.Остается проинтегрировать dP по интересующему нас объему.Следует отметить, что мощность Р в (10.21) может быть какположительной, так и отрицательной.
Последнее имеет место втех случаях, когда положительные заряды в веществе движутсяпротив направления поля Е или отрицательные — в противоположном направлении. Например, так обстоит дело в точках среды, где помимо электрического поля Е действует и поле Е* сторонних сил. В этих точках j = а (Е + Е*), и если Е* 4<Т Е и по модулю Е* > Е, то jE в выражении для Р оказывается отрицательным.Пойнтинг получил выражения для плотности энергии w ивектора П, воспользовавшись уравнениями Максвелла (этотвывод мы приводить не будем). Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т.
е. нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поляEDw=BH+22(10.22)276Глава 10Заметим, что отдельные слагаемые этого выражения мы получили ранее [см. (4.10) и (9.32)].Плотность же потока энергии электромагнитного поля — вектор П, называемый вектором Пойнтинга, — определяется какП = [ЕН].(10.23)Строго говоря, для обеих величин, w и П, из уравнений Максвелла нельзя получить однозначных выражений; приведенныевыражения являются простейшими из бесконечного числа возможных.
Мы должны поэтому рассматривать эти выражениякак постулаты, справедливость которых должна быть подтверждена согласием выводимых из них следствий с опытом.На нескольких примерах мы увидим, что хотя результаты,получаемые с помощью последних двух формул, иногда выглядят странными, обнаружить в них чего-то невероятного, какого-либо расхождения с опытом не удается.
А это и являетсясвидетельством тому, что оба выражения правильные.Пример 1. Поток энергии в электромагнитной волне (в вакууме). Вычислим энергию dW, проходящую за время dt через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.Если в месте нахождения этой площадки известны значения Е и В, тоdW = wcdt,где w — плотность энергии, w = EQE /2 + \х^Н /2. Для электромагнитной волны в соответствии с (10.20)Это значит, что в электромагнитной волне плотность электрической энергии в любой момент равна плотности магнитной энергии в той же точке, и можно записать для плотности энергии:А тогдаdW = t0E2cdt =Теперь выясним, что мы получим, если воспользуемся вектором Пойнтинга.
Эту же величину dW можно представитьУравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля277через модуль вектора П так:dW = ndt = EHdt =Jzo/noE2dt.Таким образом, оба выражения ~ для ш и П - приводят кодинаковому результату (последние две формулы).Пример 2. Выделение теплоты в проводнике. Пустьпо прямому проводу круглого сечения радиусом а течет ток / (рис. 10.7). Поскольку провод обладает сопротивлением, товдоль него действует некоторое электрическое поле Б. Такое же значение Е будети у поверхности провода в вакууме.
Кроме того, наличие тока порождает и магнитное поле. По теореме о циркуляциивектора Н вблизи поверхности проводаРис. 10.72паН = /, Я = 1/2па. Векторы Е и Н расположены так, что вектор Пойнтинга направлен внутрь провода нормально к его боковой поверхности (рис. 10.7). Следовательно, электромагнитная энергиявтекает внутрь провода из окружающего пространства! Носогласуется ли это с количеством теплоты, выделяемым впроводнике? Подсчитаем поток электромагнитной энергиисквозь боковую поверхность участка провода длины /:ЕН • 2nal = 2паН • El = / • U = Я/ 2 ,где учтено, что U — это разность потенциалов на концахданного участка, JR — его сопротивление. Таким образом,мы приходим к тому, что поток электромагнитной энергиипоступает в провод извне и целиком превращается в джоулеву теплоту.
Согласимся, что вывод неожиданный.Заметим, что в источнике тока вектор Е направлен противтока /, поэтому в области источника вектор Пойнтинга направлен наружу: там электромагнитная энергия выходит вокружающее пространство, т. е. оказывается, что энергияот источника тока передается не вдоль проводов, а черезокружающее проводник пространство в виде потока электромагнитной энергии — потока вектора П.Пример 3. На рис. 10.8 показан участок двухпроводной линии. Известны направление тока в проводах и тот факт, чтопотенциалы проводов (рх < ср2. Устано-/*Рис.
10.8^2278Глава 10вим с помощью вектора Пойнтинга П, где находится источник тока (генератор), слева или справа?В нашем случае между проводами вектор Е направленвниз, а вектор Н — за плоскость рисунка, поэтому векторП = [ЕН] направлен вправо, т. е. источник тока находитсяслева, потребитель — справа.Пример 4. Зарядка конденсатора. Возьмем плоский конденсатор скруглыми обкладками радиусом а. Пренебрегая краевымиэффектами (рассеянием поля), найдемпотокэлектромагнитнойэнергиисквозь боковую «поверхность» конденсатора, ибо только там вектор Пойнтинга П направлен внутрь конденсатора (рис. 10.9).Рис.
10.9На этой поверхности имеется меняющееся электрическое поле Е и вызванноеего изменением магнитное поле Н. По теореме о циркуляциивектора Н следует, что 2паН = na2dD/dt, где справа стоит токсмещения через контур, показанный на рис. 10.9 пунктиром.Отсюда Н = (a/2)dD/dt. Если расстояние между обкладками Л,то поток вектора П сквозь боковую поверхность естьEH2nah =E- — 2nah = E — V,(1)2 dtdtгде V = na2h — объем конденсатора. Будем считать, что этотпоток идет целиком на увеличение энергии конденсатора.Тогда, умножив (1) на dt, получим приращение энергииконденсатора за время dt:dW =Проинтегрировав это уравнение, найдем формулу для энергии W заряженного конденсатора.
Таким образом, и здесьоказывается все в порядке.§ 10.5. Импульс электромагнитного поляДавление электромагнитной волны. Максвелл теоретическипоказал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате воздействия маг-Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного доля279нитного поля волны на электрические токи, возбуждаемыеэлектрическим полем той же волны.Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
