И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е. в резонансе.Резонанс. Явление резонанса в нашем случае — это возбуждение сильных колебаний при частоте внешней э.д.с. или напряжения, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс используют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. На этом основана всятехника радиоприема. Для того чтобы радиоприемник принимал интересующую нас радиостанцию, его необходимо настроить, т. е.
изменением С и L колебательного контура добитьсясовпадения его собственной частоты с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией.Электрические колебания301С явлением резонанса связана и опасность: внешняя э.д.с.или напряжение могут быть малы, однако при этом напряжения на отдельных элементах контура (на емкости или индуктивности) могут достигать опасного для жизни значения. Обэтом необходимо всегда помнить!§ 11.4.
Переменный токПолное сопротивление (импеданс). Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать какпротекание в цепи, обладающей емкостью, индуктивностью иактивным сопротивлением R, переменного тока. Под действиемвнешнего напряжения (оно играет роль внешней э.д.с. $)(11.43)U = Umcosa>tток в цепи изменяется по законуI = Imcos((ot - ф),(11.44)где+(OL-1/G)C)2RЗадача сводится к определению амплитуды силы тока исдвига тока по фазе относительно U.Полученное выражение для амплитуды силы тока / т ( о )можно формально толковать как закон Ома для амплитудныхзначений тока и напряжения.
Стоящую в знаменателе этоговыражения величину, имеющую размерность сопротивления,обозначают буквой Z и называют полнымсопротивлениемили импедансом:Z = JBF+(<UL - 1/юС)2 .(11.46)Видно, что при (о = о)о = 1/VZC ЭТО сопротивление минимально и равно активному сопротивлению R. Величину, стоящуюв круглых скобках формулы (11.46), обозначают X и называютреактивнымсопротивлением:X = G>L- 1/юС.(11.47)302Глава 11При этом величину oL называют индуктивным сопротивлением, а величину 1/соС — емкостным сопротивлением.
Ихобозначают соответственно XL и Хс. Итак,X L =o)L, X c =l/coC, X = XL-XCyZ=4B*+X2.(11.48)Заметим, что индуктивное сопротивление растет с увеличением частоты со, а емкостное — уменьшается. Когда говорят,что в цепи отсутствует емкость, то это надо понимать в смыслеотсутствия емкостного сопротивления, которое равно 1/ооС и,следовательно, обращается в нуль, если С -> <х> (при замене конденсатора закороченным участком).И последнее. Хотя реактивное сопротивление измеряют втех же единицах, что и активное, между ними существуетпринципиальное различие.
Оно заключается в том, что толькоактивное сопротивление определяет необратимые процессы вцепи, такие, например, как преобразование электромагнитнойэнергии в джоулеву теплоту.Мощность, выделяемая в цепи переменного тока. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:P(t) = UI= UmImcos at cos(co* - ф).(11.49)Поскольку COS(G)£ - ф) = cos со* соэф + sin ш* втф, преобразуем (11.49) к видуP(t) = UmIm(cos2(ot соБф+ sinot cos со* вПрактический интерес имеет среднее за период колебаниязначение мощности.
Учитывая, что (cos2©*) = 1/2 и (sin©* coscof) == 0, получим:(P) = ^ m c o s c p(11.50)Это выражение можно привести к иному виду, если принятьво внимание, что из векторной диаграммы (см. рис. 11.4) следует £/ т соэф = Шт. Поэтому(P) = Rll/2.(11.51)Электрические колебания303Такую же мощность развивает постоянный ток I =1т /л/2.ВеличиныJ=/ m /V2,U = Um/j2(11.52)называют действующими (или эффективными) значениямитока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуированы по действующим значениям тока и напряжения.Выражение средней мощности (11.50) через действующиезначения напряжения и тока имеет вид(Р) = UIcos ф,(11.53)где множитель cos ф принято называть коэффициентом мощности.
Таким образом, выделяемая в цепи мощность зависитне только от напряжения и силы тока, но еще и от сдвига фазмежду током и напряжением.При ф = я/2 значение (Р) = 0, каковы бы ни были величиныU и J. В этом случае энергия, передаваемая за четверть периодаот генератора во внешнюю цепь, в точности равна энергии, передаваемой из внешней цепи в генератор в течение следующейчетверти периода, и вся энергия бесполезно «колеблется» между генератором и внешней цепью.Зависимость мощности от cos ф необходимо учитывать припроектировании линий электропередачи на переменном токе.Если питаемые нагрузки имеют большое реактивное сопротивление X, то cos ф может быть заметно меньше единицы. В этихслучаях для передачи потребителю нужной мощности (при данном напряжении генератора) необходимо увеличить ток /, а этоприводит к возрастанию бесполезных потерь энергии в подводящих проводах.
Поэтому всегда нужно стремиться распределять нагрузки, индуктивности и емкости так, чтобы cos ф былпо возможности близок к единице. Для этого достаточно сделать реактивное сопротивление X как можно меньше, т. е.обеспечить равенство индуктивного и емкостного сопротивлений (XL = Хс).В заключение заметим, что понятие активного сопротивления шире, чем понятие электрического сопротивления проводников, образующих цепь. Последнее обусловливает переход304Глава 11энергии тока только в джоулеву теплоту, но возможны и другие превращения этой энергии, например в механическую работу (электромоторы). Активное сопротивление тогда уже не сводится к электрическому сопротивлению, а обычно значительнопревышает его.Задачи11.1.
Собственные незатухающие колебания. В контуре, состоящемиз конденсатора емкости С и катушки с индуктивностью L, происходят свободные незатухающие колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе Um. Найти э.д.с. самоиндукции в катушке в моменты, когда ее магнитная энергия оказывается равной электрической энергии конденсатора.Решение. Согласно закону ОмаRI=U + ft,где U — напряжение на конденсаторе (U = фх - ф 2 ).
В нашем случае R = 0, поэтому ft = - U.Остается найти напряжение U в моменты, когда электрическаяэнергия конденсатора равна магнитной энергии катушки. Приэтом условии можно записать:CUJ2откуда \U\ =CU22++Ы2 _2CU22 'UjfoВ результате имеем | f t | = £/т/л/2.11.2. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью Lи незаряженного конденсатора емкости С. Активное сопротивление контура R = 0. Катушка находится в постоянном магнитномполе так, что полный магнитный поток, пронизывающий все еевитки, равен Ф. В момент t = 0 магнитное поле резко выключили. Найти ток в контуре как функцию времени f.Решение.
При резком выключении внешнего магнитного поля вмомент t = 0 появится индукционный ток, но конденсатор будетеще не заряженным. Поэтому согласно закону Омаd*dtВ данном случае R = 0 и, значит, Ф + LI =0. Отсюда Ф = L/o, где/ 0 — начальный ток (непосредственно после выключения поля).Электрические колебания305После выключения внешнего поля процесс будет описыватьсяуравнением--§-**•Продифференцировав это уравнение по времени, получим/+ —/=0.LCЭто уравнение гармонических колебаний, его решение ищем ввиде/ = /mcos(o>o + a).Постоянные 1т и а находим из начальных условий7(0) = / 0 ,^(0)=0at(второе условие следует из уравнения (1), ибо в начальный момент t = 0 конденсатор был не заряжен).
Из этих условий найдема = 0, 1т = / 0 . В результате/ = / 0 cos G)0* = (Ф/£) cos ©о*,где ю0 = 1/VZc.11.3. В колебательном контуре происходят свободные незатухающиеколебания с энергией W. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в г| раз. Какуюработу совершили при этом против электрических сил?Решение. Будем исходить из того, что приращение энергии Wколебаний контура происходит за счет работы против электрических сил. Определим эту работу сначала за малый промежутоквремени 6t, в течение которого расстояние между пластинамиувеличилось на dh:6А = (F)dh = (qE)dh,(1)где (F) — среднее за dt значение модуля силы электрическоговзаимодействия между пластинами. Так как Е - q/2s0S и, согласно формуле С = zQS/h, dh = E0S d(l/C), тоdA = <gV2>d(l/C).(2)В данном случае (процесс медленный) возьмем промежуток времени dt таким, чтобы Т <*: 6t <z t, где Т — период колебаний, t —306Глава 11время всего процесса.
При этом условии колебания за время Ыможно считать практически гармоническими и (q2) = q^/2 = WC>поскольку W = q^ /2C. С учетом этого перепишем (2) и приравняем полученное выражение кdWdC2C.(3)Проинтегрировав последнее уравнение, найдем 1п(И^7с) = const.Остается учесть, что юсо1Д/С, и мы получимW/G> = const.(4)Это важное соотношение и справедливо оно только при медленном процессе.Искомую работу можно представить как приращение колебательной энергии контура: А = W - W. Воспользовавшись формулой (4), получим:А = Щш'/ш - 1) = Щ л " 1).11.4. Добротность контура. Колебательный контур с малым затуханием имеет емкость С и индуктивность L. На поддержание в немнезатухающих гармонических колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе Um необходимо подводить среднюю мощность (Р).
Найти добротность контура.Решение. Вследствие малости затухания воспользуемся формулой (11.23):Q = 2nW/W,(1)где W « Си^ /2 и 6W = (Р)Т, Т — период затухающих колебаний.В нашем случае Т « То = 2n^LC. После подстановки этих выражений в (1) получим2{P)\L11.5. Затухающие колебания. В колебательном контуре имеется конденсатор емкости С, катушка с индуктивностью L, активное сопротивление R и ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, а затем ключ замкнули. Найти отношение напряженияна конденсаторе к его амплитудному значению в начальный момент (сразу после замыкания ключа).Электрические колебания307Решение.
Напряжение на конденсаторе будет зависеть от времени так же, как и заряд, поэтому запишемВ начальный момент t = 0 напряжение (7(0) = Um cos а, где Um —амплитуда в этот момент. Нам надо найти U(0)/Um, т. e. cos a.Для этого воспользуемся другим начальным условием: в моментt = 0 ток / = q = 0. Так как q = CU, то достаточно продифференцировать (1) по времени и полученное выражение при t = 0 приравнять к нулю. Получим - р cos а - о sin а = 0, откуда tg a = —р/со.Поэтому искомое отношениеU(0)(2)= cos а =Величины 1/(0) и Um показаны на рис.11.8.Принимая во внимание, что G)2 = G)Q-P2,преобразуем (2) к видуU(0)/Um = Vl - (Р/со)2 = Vl-* 2 C/4L,где учтено, что р = R/2L и щ = 1/LC.11.6.
В колебательном контуре с емкостью С ирис. 11.8индуктивностью L совершаются затухающие колебания, при которых ток меняется со временем по закону I(t) = Im e^'sinof. Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени.Решение. Выберем положительное направление обхода контурапо часовой стрелке (рис. 11.9). Согласнозакону Ома для участка контура 1RL2имеем RI = (pi - <р2 + £s. В нашем случаеgs = - LI и ф2 - Фх = q/C = Uc, где q — за- Сряд на обкладке 2, поэтому первую формулу можно переписать так:Uс = -RI - Ы .Рис- п-9После подстановки сюда выражения для /(0 и его производнойполучим2р- (~Р sin cot - to cos Ш).308Глава 11Преобразуем выражение в скобках к синусу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
