И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Протоны, имеющие одинаковую скорость v,образуют пучок круглого сечения с током /. Найти направлениеи модуль вектора Пойнтинга П вне пучка на расстоянии г от егооси.Решение. Из рис. 10.19 видно, чтоП t t v. Найдем модуль вектора П:П = ЕН, где Е и Н зависят от г. Потеореме Гаусса2пгЕ = Х/е0,где X — заряд на единицу д.линыпучка. Кроме того, по теореме о циркуляции вектора Нс*10#192пгН = /.Определяя Е и Я из последних двух уравнений и учитывая, что/ = Xv, получаемП = ЕН = I2/4n2e0vr2.10.8. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через егобоковую поверхность.Решение.
При возрастании тока увеличивается магнитное поле всоленоиде, а значит, появляется вихревое электрическое поле.Пусть радиус сечения соленоида равен а. Тогда напряженностьвихревого электрического поля у боковой поверхности соленоида можно определить с помощью уравнения Максвелла, выражающего закон электромагнитной индукции:22паЕ = па —,dt#=-— .2 dtПоток энергии через боковую поверхность соленоида можнопредставить в таком виде:Ф =где / — длина соленоида, na2l — его объем.286Глава 10Таким образом, мы видим, что поток энергии через боковую поверхность соленоида (поток вектора Пойнтинга) равен скоростиизменения магнитной энергии внутри соленоида:Ф = П • 2nal = dW/dt.10.9.
Энергия от источника постоянного напряжения U передается кпотребителю по длинному коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым сопротивлением. Ток в кабеле /. Найти поток энергиичерез поперечное сечение кабеля. Внешняя проводящая оболочка кабеля тонкостенная.Решение. Искомый поток энергии определяется формулойьФ = Ji7-27irdr,(1)агде П = ЕН — плотность потока,2nrdr — площадь кольца шириной dr, в пределах которого Подинаково, а и Ь — радиусывнутреннего провода и внешнейРис 10 20оболочки кабеля (рис. 10.20).Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависимость Щг), или Е(г) и #(г).
С помощью теоремы Гаусса получим2пгЕ = Х/Е0,(2)где X — заряд провода на единицу длины. Далее, по теореме оциркуляции2ягЯ = /.(3)После подстановки Е и Н из формул (2) и (3) в выражение (1) иинтегрирования получим(4)2яе 0В условии задачи X, а и Ъ не заданы, вместо них дано U. Найдемсвязь между этими величинами:ъуh12яе 0аU = (Edr = - ^ - l n - .(5)Уравнения Максвелла. Энергия электромагнитного поля287Из сопоставления (4) и (5) следует, чтоЭто совпадает со значением мощности, выделяемой на нагрузке.10.10. Плоский воздушный конденсатор, пластины которого имеютформу дисков радиусом а, подключен к источнику переменногогармонического напряжения частоты со.
Найти отношение максимальных значений магнитной и электрической энергии внутри конденсатора.Решение. Пусть напряжение на конденсаторе меняется по закону U = Um cos at и расстояние между пластинами конденсатораравно Л. Тогда электрическая энергия конденсатора22ЛcoB2*t.(1)Магнитную энергию определим по формуле(2)Необходимую для вычисления этого интеграла величину В найдем из теоремы о циркуляции вектора Н: 2nrH = nr2dD/dt. Отсюда, имея в виду, что Я = В/р0 и dD/dt = - е 0 (Um/h)(o siiuot, получимi^^(3)Остается подставить (3) в (2), где в качестве dV надо взять элементарный объем в виде кольца, для которого 6V = 2nr dr • h. Врезультате интегрирования найдемWffs i n m t(4)16hОтношение максимальных значений магнитной энергии (4) иэлектрической энергии (1) таково:Например, при а = 6 см и со = 1000 с" 1 это отношение равно5-Ю" 1 5 .===== Глава 11= —Электрические колебания§ 11.1.
Уравнение колебательного контураУсловие квазистационарности. Когда происходят электрические колебания, ток в цепи изменяется во времени и, вообщеговоря, в каждый момент ток оказывается не одинаковым наразных участках цепи (из-за того что электромагнитные возмущения распространяются хотя и с очень большой, но конечнойскоростью). Однако имеется много случаев, когда мгновенныезначения тока оказываются практически одинаковыми на всехучастках цепи (такой ток называютквазистационарным).Для этого все изменения во времени должны происходить настолько медленно, чтобы распространение электромагнитныхвозмущений можно было считать мгновенным.
Если I — длинацепи, то на прохождение длины I электромагнитное возмущение затрачивает время порядка т = 1/с. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, еслит = 1/с « Т,где Т — период изменений.Например, для цепи длиной I = 3 м время т = 10~8 с, и токиможно считать квазистационарными вплоть до частот 10 6 Гц(это соответствует Т - 10~6 с).В этой главе мы всюду будем предполагать, что в рассматриваемых нами случаях условие квазистационарности выполняется, и токи будем считать квазистационарными. Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В частности, мы будем использовать тот факт, чтомгновенные значения квазистационарных токов подчиняютсязакону Ома.Электрические колебания289Колебательный контур. В цепи, содержащей катушку индуктивности L и конденсатор емкости С, могут возникнутьэлектрические колебания.
Поэтому такую цепь называют колебательным контуром. Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрическиеколебания.Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. 11.1, а). Приэтом вся энергия колебательного контура сосредоточена вконденсаторе. Замкнем ключК. Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку L потечет ток.
Электрическая энерр ис# ц.хгия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процессзакончится, когда конденсатор полностью разрядится, а ток вцепи достигнет максимума (рис. 11.1, б). С этого момента ток,не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратитсяне сразу — его будет поддерживать э.д.с. самоиндукции. Токбудет перезаряжать конденсатор, возникнет электрическоеполе, стремящееся ослабить ток. Наконец, ток прекратится, азаряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого моментаконденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обратномнаправлении и т. д. — процесс будет повторяться.В контуре при отсутствии сопротивления проводников будутсовершаться строго периодические колебания.
В ходе процессапериодически изменяются заряд на обкладках конденсатора,напряжение на нем и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического имагнитного полей.Если же сопротивление проводников R Ф О, то помимо описанного процесса будет происходить преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту.Сопротивление проводников цепи R принято называть активным сопротивлением.10—3947290Глава 11Уравнение колебательного контура.Найдем уравнение колебаний в контуре,содержащем последовательно соединенные конденсатор С, катушку индуктивности L, активное сопротивление R и внешнюю переменную э.д.с.
£ (рис. 11.2).Рис. 11.2Прежде всего выберем положительноенаправление обхода контура, например по часовой стрелке.Рассмотрим ситуацию в момент времени, когда нижняя обкладка 2 в процессе перезарядки конденсатора имеет некоторый заряд q > О и ток / течет в положительным направлении.Тогда за промежуток времени dt заряд q получит приращениеdq > О, и ток в контуре определяется какI = dg/d*.(11.1)Следовательно, если / > 0 , то и dg > 0, и наоборот (знак / совпадает со знаком dq).Согласно закону Ома для участка цепи 1RL2где $8 — э.д.с.
самоиндукции. В нашем случае& = - L dl/dt,Ф2 - Ф1 = q/C(знак q должен совпадать со знаком разности Ф2 ~ Фх> ибо С > 0).Поэтому уравнение (11.2) можно переписать в виде— + RI + ^-=^(11.3)или с учетом (11.1) какd*С4(11.4)Это и есть уравнение колебательного контура — линейноедифференциальное неоднородное уравнение второго порядка спостоянными коэффициентами. Найдя с помощью этого уравнения q(t)y мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе как Uc= ф2 ~ ф2 = q/C и силу тока / — по формуле (11.1).Электрические колебания291Уравнению колебательного контура можно придать инойвид:(11.5)где введены обозначения4(11.6)Величину о)о называют собственной частотой контура,Р — коэффициентом затухания.
Смысл этих названий мывыясним ниже.Уравнение (11.5) можно получить и из энергетических соображений, имея в виду, что приращение энергии W контура в единицу вре2мени, то есть dW/dt = Щ - RI . Здесь £/ — мощность внешней э.д.с, а2RI — тепловая мощность (ясно, что она должна быть со знаком ми22нус). Учитывая, что W = Ы /2 + + q /2C, получим после дифференцирования W по t:где q = I. После сокращения всех слагаемых на J и переноса последнего слагаемого в левую часть равенства находимОстается учесть, что / = q и J = g , и мы приходим после деления всехслагаемых на L к уравнению (11.5).Бели £ = 0, то колебания принято называть свободными.При R = 0 они будут незатухающими, при R * 0 — затухающими. Рассмотрим последовательно все эти случаи.§ 11.2. Свободные электрические колебанияСвободные незатухающие колебания.
Если в контуре нетвнешней э.д.с. £ и активное сопротивление R = 0, то колебания втаком контуре являются свободными незатухающими. Их уравнение __ частный случай уравнения (11.5), когда £= 0 и R = О,О.(11.7)Решением этого уравнения является функцияq = gmcos(<o0* + a),(11.8)292Глава 11где qm — амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора, соо — собственная частота контура, а — начальная фаза.Значение соо определяется только свойствами самого контура,значения же qm и а — начальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, значения заряда q и тока I =q вмомент t = 0.Согласно (11.6) соо = 1/ylLC, поэтому период свободных незатухающих колебанийТо =2TT/VZC(11.9)(формула Томсона).Найдя ток / (дифференцированием (11.8) по времени) иимея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазес зарядом q, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток / опережает по фазе напряжение на конденсаторе на я/2.Свободные затухающие колебания.
Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасеннаяв контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободныеколебания будут затухающими.Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в (11.5) £ = 0 . Тогдаg + 2pg+coog= °-(11.10)Можно показать (но мы не будем этого делать, поскольку насинтересует другая сторона вопроса), что при р < соо решениеэтого однородного дифференциального уравнения имеет видЯ = qme~^cos((ot + a ) ,где о — частота затухающих колебаний:Рис. 11.3(11.11)a qm и а — произвольные постоянные,определяемые из начальных условий.График функции (11.11) показан нарис.
11.3. Видно, что эта функция непериодическая, она определяет затухающие колебания.Электрические колебания293Величину Т = 2я/ю называют тем не менее периодом, затухающих колебаний:где !Г0 — период свободных незатухающих колебаний.Множитель <?те~Р' в (11.11) называют амплитудой затухающих колебаний. Зависимость ее от времени показана штриховой линией на рис. 11.3.Напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Зная q(t),можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Напряжение на конденсатореpТок в контуреdoUc = 1 = ^ L e " ' cos(co* + a).С С(11.14)-QtJ = — = qme p [-Pcos((D* + a ) - CD sin(co£ + a ) ] .dtПреобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
