И.Е. Иродов - Электромагнетизм. Основные законы (7-е издание) (1115518), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Найти индукцию В*магнитного поля на том же расстоянии от пучка в /^'-системе отсчета, перемещающейся со скоростью и0 относительно Jf-системыв направлении движения протонов.Решение. Этот вопрос проще всего решить с помощью формул(8.1). Но предварительно надо найти индукцию В в ИГ-системе натом же расстоянии от пучка, где задана напряженность Е.Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и теоремойГаусса для вектора Е, найдем:В = цо//2тгг,Е = У 2ЛБ 0 Г,где г — расстояние от пучка, / — Xv — сила тока, X — заряд наединицу длины пучка. Из этих формул следует, что2здесь с = 1/еоцо. Подставив выражение для В из этого уравненияв последнюю из формул преобразования (8.1), получим:,_FE\v-vo\При этом, если и0 < v, то линии вектора В' имеют правовинтовоенаправление с вектором v0, если же v0 > v, то — левовинтовое (иботок /' в 7Г-системе в этом случае будет течь в обратную сторону).8.5.
Движение заряда в скрещенных Е и В полях. Релятивистская заряженная частица движется в пространстве, где имеются однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитноеполя Е и В. Частица движется прямолинейно по направлению,перпендикулярному векторам Е и В. Найти Е' и В в системе отсчета, перемещающейся поступательно вместе с частицей.Решение.
Из характера движения частицы следует, что ее скорость должна удовлетворять условиюvB = E.(1)Глава 8218Согласно формулам преобразования (8.1)ибо в нашем случае сила Лоренца, а значит, и величина Е + [vB]равны нулю.Для магнитного поля согласно тем же формулам преобразованияB-[vE]/c 2В'Расположение векторов показано на рис. 8.6,откуда видно, что [vE] TT В. Поэтому с учетомтого, что согласно (1) v = Е/В, можно записатьr[vE]В'Рис. 8.6В-Е2/Вс2-Р 2 )или в векторном видеBf =Byjl-(E/cB)2.Полезно убедиться, что полученные выражения удовлетворяютобоим инвариантам поля.8.6.
Движение заряда в скрещенных Е и В полях. Нерелятивистскаячастица с удельным зарядом q/m движется в области, где созданыоднородные взаимно перпендикулярные Е и ВYiполя (рис. 8.7). В момент t = О частица находилась в точке О и имела нулевую скорость.Найти закон движения частицы, x(t) и y(t).XРешение. Движение частицы происходит поддействием силы Лоренца, причем, как нетрудно сообразить, все время в плоскости XY.
ПроРис. 8.7ще всего ее движение будет выглядеть в такойК'-системе отсчета, где будет наблюдаться только магнитное поле. Найдем эту систему отсчета.>Из преобразований (8.4) следует, что Е' = 0 в такой системе отсчета, которая движется со скоростью v 0 , удовлетворяющей соотношению Е = -[v 0 B].
Лучше всего взять ту ^'-систему, скорость v 0которой направлена в положительную сторону оси X (рис. 8.7),ибо в такой системе отсчета частица будет двигаться перпендикулярно вектору В' и ее движение будет наиболее простым.Относительность электрического и магнитного полей219Итак, в 1Г-системе отсчета, которая движется вправо со скоростью v0 = Е/В, поле Е' = Ои будет наблюдаться только поле В.
Согласно (8.4) и рис. 8.7B ' = B - [ v 0 E ] / c 2 = B(l-u 2 /c 2 ).Для нерелятивистской частицы v0 <z с, и можно считать, чтоВ' = В.В данной К'-системе отсчета частица будет двигаться только вмагнитном поле, причем перпендикулярно его направлению.Уравнение движения частицы в этой системе отсчета будет иметьвидmvl/R = qv0B.(1)Это уравнение записано для момента * = О,когда в ИГ'-системе частица двигалась, как показано на рис. 8.8. Так как сила Лоренца Fнаправлена всегда перпендикулярно скоростичастицы, то v0 = const и из (1) следует, что частица в 1Г-системе будет двигаться по окружности радиусомR = mvo/qB.Таким образом, частица движется равномерно со скоростью v0 поокружности в К'-системе, которая, в свою очередь, перемещаетсяравномерно вправо также со скоростьюК'и0 = Е/В. Так ведет себя точка q на обо- кде колеса (рис. 8.9), катящегося с угловой скоростью со = vo/R = qB/m.Из рис.
8.9 сразу видно, что координаты частицы q в момент * естьх = vot - R sin со* = a(cof - sin со*),у = R - R cos со* = a(l - cos со*),Рис. 8.9где а = mE/qB2, со = qB/m.8.7. В инерциальной ИГ-системе отсчета имеется только однородноеэлектрическое поле Е.
Найти модули и направления векторов Е' иВ' в ИГ'-системе отсчета, движущейся по отношению к JT-системес постоянной релятивистской скоростью v0 под углом а к вектору Е.220Глава 8Решение. Согласно формулам преобразования (8.1) с учетом того,что в ^"-системе В = 0, получим£,; = Е cos а,Е[ = Е sin а/д/l-P 2 ,Р = vo/c.Отсюда найдем модуль вектора Е':Е' = д/я,;2 + Е[2 = Я-Р 2 cos2 а)/(1-р 2 ),а угол а' между векторами Е' и v 0 - по формулеАналогичным образом найдем модуль и направление вектора В':[v 0 E]Это значит, что вектор Bf _L v 0 и его модульв, _У0Еsin a8.8.
В jRT-системе отсчета имеются однородные электрическое Е и магнитное В поля одного направления.Найти модули векторов Е' и В' иугол между ними в 1Г-системе отсчета, движущейся с постояннойрелятивистской скоростью v 0 в направлении, перпендикулярном векторам Е и В.Решение. Согласно формулам (8.1)в ^'-системе отсчета оба вектора Е'Рис. 8.10и В' будут также расположены перпендикулярно вектору v0 (рис.8.10). Модули векторов Е' и В' находим по формулам:(у0ВУ- (vo/cyВ2 + (v0E/c2)21 - (vo/c)2Угол между векторами Е' и В' определим через тангенс по формуле£ + а'в) = (tga'E + tg ад)/(1 - tg a'Etg a'B).Относительность электрического и магнитного полей221Поскольку tga'E =v0B/E и tga'B =v0E/c В (рис.
8.10), тоОтсюда видно, что при v0 -> с (Р -> 1) угол а' -> 7г/2. Можно сделать и обратное заключение: если в одной системе отсчета известны Е и В, причем угол между этими векторами меньше 90°, то существуют системы отсчета, где оба вектора Е' и В' взаимно параллельны.8.9. Инвариант ЕВ. Показать с помощью формул преобразования(8.1), что величина ЕВ является инвариантом.Решение. В К'-системе отсчета это произведениеЕЪ' = (EJ + E1XBJ + В|) = EJBf, + Els!.(1)Перепишем последнее слагаемое с помощью формул (8.1):(2)Учитывая, что векторы Е ± и В ± перпендикулярны вектору v 0 , преобразуем числитель выражения (2) к виду2Р ),где использован тот факт, что[v 0 BJ • [v0E±] = vl BJ^cos a = у^В±Ех(рис.
8.11). Остальные два скалярныхпроизведения в (2) равны нулю, поскольку векторы взаимно перпендикулярны.Таким образом, правая часть равенства (1) приобретает следующий вид:Е|'| В|'|(3)Рис. 8.11= ЕВ,что и требовалось показать.8.10. Поле Е равномерно движущегося заряда. Точечный заряд q движется равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростьюv. Найти напряженность Е поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен г и составляет уголS с вектором v.222Глава 8Решение. Пусть заряд движется в положительном направленииоси X .ЙГ-системы отсчета.
Перейдем в 2Г-систему, в начале координат которой этот заряд покоится (оси X' и X обеих систем совпадают, оси У и У — параллельны). В К'-системе поле Е' зарядаимеет наиболее простой вид4яе 0 Г ' 3и в плоскости X'Y'4леоГ'34я80Г'3УТеперь совершим обратный переход в исходную ^-систему, которая движется относительно ЛГ'-системы со скоростью -v. В момент, когда заряд проходит через начало координат if-системы,проекции х и у вектора г связаны с проекциями хг и у' вектора г'следующими соотношениями:Т'у = г sin 3 = у\(2)где р = и/с.
Здесь учтено, что продольные размеры испытываютлоренцево сокращение, поперечные же не меняются. Крометого, согласно преобразованиям, обратным (8.2),Ех = Е'х,Подставив сюда выражения (1), а в них вместо х' и у' соответствующие выражения из формул (2), получим_1д=уЗаметим, что Ех/Еу = х/у, т. е. вектор Е направлен радиалъно,вдоль вектора г. Дело обстоит так, как если бы эффект запаздывания вообще отсутствовал. Но это имеет место только в случаеv = const, если же заряд движется с ускорением, поле Е оказывается не радиальным.
Остается найти модуль вектора Е:2Так как х22+ у = г и согласно (2)\3/21-P2Относительность электрического и магнитного полей223то напряженность£ =J-4^8.11. Взаимодействие двух ДВИЖУЩИХСЯ зарядов. Две релятивистскиечастицы с одинаковым зарядом q движутсяпараллельно друг другу с одинаковой ско- Кростью v, как показано на рис.
8.12. Расстояние между частицами /. Воспользовавшись выражением (8.7), найти силу взаимодействия между частицами.Решение. В данном случае угол между векрИСш з.12тором у одной из частиц и направлением надругую частицу в = 90°, поэтому электрическая часть силы Лоренца в соответствии с формулой (8.7)„ ,gF, = qE = .
*„(1)и магнитная часть силы Лоренца(2)где принято во внимание, что в нашем случае В связано с Е формулой (8.5), из которой В = vE/c , с — 1/ЕОЦО« Заметим, что отношениеFJF,= EO\XOV2 = (i>/c)2,как и в нерелятивистском случае (6.5). Видно, что при v -> смагнитная часть силы FH -> FrРезультирующая сила взаимодействия (отталкивания)F = F9 - FM =.,~2======== Глава 9 =======Электромагнитная индукция§ 9.1.
Закон электромагнитной индукции.Правило ЛенцаВ предыдущей главе мы установили, что существует электромагнитное поле, соотношение между «компонентами» которого — электрическим и магнитным полями — в решающейстепени зависит от системы отсчета. Другими словами, обекомпоненты электромагнитного поля связаны друг с другом. Вэтой главе мы увидим, что существует еще более глубокаясвязь между Е- и В-полями и обнаруживается она в явленияхэлектромагнитной индукции.Открытие Фарадея. В 1831 г. Фарадеем было сделано одноиз наиболее фундаментальных открытий в электродинамике —явление электромагнитной индукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
