И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 43
Текст из файла (страница 43)
9.!9). Наружный радиус витков спирало равен а. Магнитное поле изменяется во времени по закону В = Вь з)п ый Найти амплитудное значение з. д. с. индукции, наведенной в спирали. Р е ш е н и е. Ввиду того что каждый виток спирали практически не отличается от окружности, в нем наводится э. д, с. индукции е, = — бФ/д! = — пг Вьы соз ый 2 где г — радиус рассматриваемого витка. На интервал значений радиуса дг приходится число витков ОМ = (М/а) дт, Витки соединены последовательно, поэтому полная э.
д. с. индукции в спирали У, = ~ е,(г) ОМ. Проинтегрировав, получим следующее выражение для амплитудного значения э. д. с. индукции: Рнс. 9д9 = '/зпа МВььь ° 9.4. Внутри длинного соленоида находится катушка из М витков с площадью поперечного сечения 5. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью ы вокруг оси, совпадак~щей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида. При этом магнитное поле в соленоиде меняется во времени как В = В ь з)п ыд Найти э.
д. с. индукции в катушке, если в момент ~ = 0 ось катушки совпадала с осью соленоида. Р е ш е н и е. В момент Г полный магнитный поток сквозь катушку гй = МВ5 соз ыс = МВ,5 гйп ы) ° соз ы) = '/эМВв5 з!и 2ый Согласно закону электромагнитной индукции У, = — дйт/д) = — '/гМВь5 ° 2ы соз 2ыс = — МВь5ы соз 2ый ° 9.5.
Бетатронное условие, Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по орбите постоянного радиуса гь при условии, что магнитное поле на орбите Вь равно половине среднего по площади внутри орбиты значения магнитного поля (В). т.
е. Вь = /э(В) Р е ш е н и е. Представим релятивистское уравнение движения электрона др/Ж = еЕ+ е) чВь), где Š— вихревое электрическое поле, в проекциях на касательную т и нормаль п к траектории. Для этого запишем импульс электрона как р = рт и найдем его производную по времени: йр йр — ат йр - ьэ т+р = — т+т — п, (2) йт йг ш "г го где учтено, что р = гпч, гп — релятивистская масса, и дт/дс = = (о/гь) п, в чем нетрудно убедиться с помощью рис.
9.20. Действительно, дт = д~р п = (одг/г ) и, и дальнейшее очевидно. Кроме того, согласно закону электромагнитной индукции 234 та б Е = — — (В). 2 б! (3) Теперь запишем уравнение (!) с учетом формул (2) и (3) в проекциях на касательную и нормаль к траектории: (4) леднев уравнение можно переписать после сокращения на о иде р = етьВь. Продифференцируем зто уравнение по времени, приняв во внимание, что те = сопз(: бр бВ а — = ег б! О б! зктически зто достигается путем изготовления полюсных наечников специального вида (в форме усеченных конусов). Рис.
9.20 Рнс. 9.2! ° 9.6. Индукционный ток. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой длинныи проводник с постоянным такал! )в лежат в одной плоскости (рис. 9.2! ), Индуктивность рамки 1., ее сопротивление т(. Рамку повернули на 180' вокруг оси 00' 235 2пгьЕ = !с1Ф!'М, где Ф = пть (В) . Отсюда бр ь б — = еЕ = е — — (В), б! = = 2 б! ь' гл — = еоВ,. ть Из сравнения выражений (5) и (4) получаем — В = — — (В>. б! " 2 б! В частности, последнее условие будет выполнено, если В, = 'Ут (В).
! 2 ! ! л и остановили. Найти количество электричества, протекшее рамке. Расстояние Ь между осью 00' и прямым проводникон предполагается известным, Р е ш е н и е. Согласно закону Ома в процессе поворота рам. ки ток ! в ней определяется по формуле йф б! р! = — — — е —. й! Ф Поэтому искомое количество электричества 1 г ! о = ~ ! й! = — — ~ (йф+ !. й!) = — — (Дф+ Ь б!).
В~ В Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней пре- кратился и, следовательно, б! = О. Остается выяснить, чему равно приращение потока ЛФ сквозь рамку(ЛФ = Фт — Ф,). Выберем нормаль п к плоскости рамки, например, так, чтобы а конечном положении и было направлено за плоскость рисунка (в сторону В). Тогда нетрудно видеть, что в конечном положении Ф, ) О, а в начальном Ф, ( О (нормаль направлена против В),и бФ оказывается равным просто потоку через площадь, ограни.
чеиную конечным и начальным положениями рамки: ь-ьа бф = Фт + )Ф,) = ~ Ва г(т, Ь вЂ” а где В является функцией т, вид которой можно легко найти с по. мощью теоремы о циркуляции. Окончательно получим, опуская знак минус: Дф паата Ь+а !и й 2пу Ь вЂ” а' Найденная величина, как видим, от индуктнвности контура не зависит (а случае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло иначе). ° 9.7. Перемычка )2 массы гп скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоннии ! друг от друга (рис, 9.22). Система накодится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. Левые концы рельсов замкнуты через сопротивление Я. В момент ! = О перемычке !2 сообщили вправо начальную скорость ое. Пренебрегая сопротивлением рельсов и перемычки, а также сомоиндукцией контура, найти скорость перемычки в зависимости от времени !.
Р е ш е н и е. Выберем положительное направление нормали к плоскости контура за рисунок (от нас) . Это значит, что положительное направление обхода контура (для э. д. с. индукции и тока) мы взяли по часовой стрелке — а соответствии с правилом правого винта. Из закона Ома следует: йф йб й! = — = —  — = — Вга, Й и! (!) где учтено, что при движении перемычки вправо дФ О. и до/д! = ПВ, (2) где справа записана проекция силы Ампера на ось Х (эта величина является отрицательной, но знак минус мы не пишем, ибо, как видно вз (1), ток ! (О). Исключив ! из уравнений (! ) и (2), получим до/о = — а 6(.
а = В ! /п1В. Интегрирование этого выражения с учетом начальных условий дает )и (оуоо) = — аI, о = оэе ° Роль переходных процессов. В стене (рис. 9.23) известны э. д. с. е источника, его онутреннее сопротивление т! и ондуктив. ности сверхпроводящих катушек В, и В . Найти устиновнвшиесн токи в катуиткак после зи,чыканил клюни К. Рис.
9.22 Рис. 9.23 Р е ш е н и е. Воспользуемся правилами Кирхгофа для кон. туров 97., и 97. э: 6г, 6тт И=У вЂ” б —, У!=У вЂ” б 6! ' 1 6! Из сравнения этих выражений видно, что В установившихся токов )- ~ ! ~о = В э! то. Кроме того, ~ д! ~ —— !.э 6(э, а для ! ~о+ )эа = (о = в!а. Из уравнений (!) и (2) найдем: е г| е ~а !. ! ) ! и (2) Индукционный ток ! согласно правилу Ленца вызывает противодействующую движению силу Ампера — она будет направлена влево.
Выбрав ось Х вправо, запишем уравнение движения перемычки ° 9.9. Вычисление индуктивности. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего сплошного проводника радиусом а и наружной проводящей тонкостенной трубки радиусом Ь. Найти индуктивность единицы длины кабеля, считая распределение тока по сечению внутреннего проводника равномерным. Магнитная проницаемость всюду равна единице. Р е ш е н и е. В данном случае внутренний проводник не является тонким, поэтому определять индуктивность надо не через магнитный поток, а энергетически. Согласно (9.33) !'гВт Е, = — ~ 2ягйг, ч р о где г — расстоиние от оси кабеля.
Для вычисления этого интеграла надо найти зависимость В (г). С помощью теоремы о царкуяяции имеем: иь! и,! В,,= г,В., = — —,В, =О. (2) 2ла' '~'~' 2п г ' ' * Графический вид этих зависимостей показан на рис 9.24. С учетом (2) интеграл (!) разбивается на две части, и в результате интегрирования мы получим 2пХ 4 а)' Заметим, что определение этой величины через магнитный поток по формуле ).,„= Ф„// приводит к другому — неверному — результату, а именно вместо '/, в круглой скобке получается '/т. Чем тоньше центральный провод, т. е. больше отношение Ь/а, тем меныце относительное различие результатов подсчета обоими способами: энергетически и нз потока.
Рис. 9.24 Рис. 9.25 ° 9.10. Взаимная индукции. Имеется тороидальная катушка и проходящий по ее оси симметрии длинный прямой провод. Сечение катушки прямоугольное, его размеры указаны на рис. 9.25. Число витков катушки й!, магнитная проницаемость окружающей 238 среды равна единице. Найти амплитуду э. д.
с., индуцируемой в этой катушке, если по прямому проводу течет переменный ток 1=1 соз ыс. Р е ш е н и е. Искомая э. д. с. 9', = — бФ/б(, где Ф = МФы Ф, — магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки- ь аь но"1 Ь Ф, =1 В„й5=1 — Райт= — 1и —, 2лт 2л а' О где В„определяется с помощью теоремы о циркуляции вектора В. Взяв производную Ф, по времени и умножив полученный результат на М, найдем следующее выражение для амплитуды э. д.
с. индукции: И„унт М У, = 1и —. 2л а' ° 9.11. Вычисление взаимной иидуктивности. Два соленоида одинаковой длины и приктически одинакового сечения вставлены полностью один в другой. Индуктивность соленоидов С1 и В г. Пренебрегая краевсими эффектами, найти их взаимную индуктивность (по модулю). Р е ш е н и е. По определению взаимная индуктивность бг = Ф,Г1г, (1) где Ф, — полный магнитный поток через все витки соленоида 1, если в соленоиде 2 течет ток 1г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
