И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 46
Текст из файла (страница 46)
За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться — электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве. Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства, а именно: любая электромагнитная волна независимо от ее конкретной формы (это может быть гармоническая волна или электромагнитное возмущение произвольной формы) характеризуется следующими общими свойствами: 1) ее скорость распространения в непроводяшей нейтральной неферромагнитной среде и = с/-~ си, где с = 1/~/ сенс, (10.19) 2) векторы Е, В и т (скорость волны) в з а и м н о перпендикулярны и образуют правовинтов у ю с и с те му (рис.
10.5). Такое правовинтовое соотношение является внутренним свойством электромагнитной волны, не зависящим ни от какой координатной системы; 3) в электромагнитной волне векторы Е и В всегда колеблются в одинаковых фазах (рис. 1О.б, где показана мгновенная «фотография» волны), причем между Рис. 1О.б Рис.
Пнб мгновенными значениями Е и В в любой точке существует определенная связь, а именно Е= оВ, или 'т'еецЕ= 1(рреН. (10.20) 250 Это значит, что Е и и (или В) одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д. Понимание того, что из дифференциальных уравнений ((0.)8) вытекала возможность существования электромагнитных волн, позволило Максвеллу с блестящим успехом развить электромагнитную теорию света. 4 104. ЭНЕРГИЯ И ПОТОК ЭНЕРГИИ. ВЕКТОР ПОЙНТИНГА Теорема Пойнтиига. Исходя из представления о локализации энергии в самом поле и рукоиодствуясь принципом сохранения энергии, мы должны заключить, что если в какой-то определенной области энергия уменьшается, то это может происходить только за счет ее «вытекания» через границы рассматриваемой области (среда предполагается неподвижной).
В этом отношении существует формальная аналогия с законом сохранения заряда — уравнением (5.4), Смысл этого закона в том, что убыль заряда в данном объеме за единицу времени равна потоку вектора ! сквозь поверхность, охватывающую этот объем. Так и в случае закона сохранения энергии следует признать, что существует не только плотность энергии ю в данной области, но и некоторый вектор Ь, характеризующий плотность потока энергии. Если говорить только об энергии электромагнитного поля, то его полная энергия в данном объеме будет изменяться как за счет вытекания ее из объема, так и за счет того, что поле передает свою энергию веществу (заряженным частицам), т.
е. производит работу над веществом. Макроскопически это утверждение можно записать так: (10.21) где дА — элемент поверхности. Это уравнение выражает теорему Пойнтинга; убыль энергии за единицу времени в данном объеме равна потоку энергии сквозь поверхность, ограниченную этим объемом, плюс работа в единицу времени (т. е, мощность Р), которую поле производит над зарядами вещества внутри данного объема. В уравнении ((0.2!) (Р' = ~ ю г((т, ю — плотность энергии поля, Р = ~ )Е д(т, ! — плотность тока, Š— напряженность электрического поля, Приведенное выражение для Р 201 еп Ви м = — + —.
2 2 (10.22) Заметим, что отдельные слагаемые этого выражения мы получили ранее [см. (4.10) и (9.32)). Плотность же потока энергии электромагнитного поля — вектор, называемый в е к т о р о м П о й н т и нг а, — определяется как $ =(ЕИ]. (10.23) Строго говоря, для обеих величин, ш и $, нз уравнений Максвелла нельзя получить однозначных выражений; приведенные выражения являются простейшими из бесконечного числа возможных.
Мы должны поэтому рассматривать эти выражения как постулаты, справедливость которых должна быть подтверждена согласием выводимых из них следствий с опытом. На нескольких примерах мы увидим, что хотя результаты„получаемые с помощью последних двух формул, иногда выглядят странными, обнаружить в них чего-то невероятного, какого-либо расхождения с опытом не удается. А это и является свидетельством тому, что оба выражения правильные.
252 можно получить так. За время б( поле Е совершит над точечным зарядом д работу бА = дЕ ° и фй где ц — скорость заряда. Отсюда мощность силы дЕ равна Р = диЕ. Переходя к распределению зарядов, заменим д на р цк', р — объемная плотность заряда. Тогда дР= рцЕ дГ= = )Е дГ. Остается проинтегрировать бР по интересующему нас объему. Следует отметить, что мощность Р в (10.21) может быть как положительной, так и отрицательной. Последнее имеет место в тех случаях, когда положительные заряды в веществе движутся против направления поля Е или отрицательные — в противоположном направлении. Например, так обстоит дело в точках среды, где помимо электрического поля Е действует и поле Е* сторонних сил.
В этих точках 1 = о (Е+ Е*), н если Ек () Е и по модулю Е~ ) Е, то )Е в выражении для Р оказывается отрицательным. Пойнтииг получил выражения для плотности энергии ш и вектора Ь, воспользовавшись уравнениями Максвелла (этот вывод мы приводить не будем). Если среда не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков (т. е. нет явления гистерезиса), то плотность энергии электромагнитного поля Пример !. Поток энергнн в электромагнитной волне (в вакууме).
Вычислим энергию д(уг, проходящую эа время й !ереэ единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Если в месте нахождения этой площадки известны значения ЕнВ,то где ю — плотность энергии, ю = ееЕ /2+ реН /2. Для электро- 2 х магнитной волны в соответствии с (10.20) э аоЕ = ИаН Это значнт, что в электромагнитной волне плотность электрической энергии в любой момент равна плотности магнитной энергии в той же точке, и можно записать для плотности энергии: ю=еОЕ.
А тогда д(Р = ееЕ с й = х(сее/РеЕ й. Теперь выясним, что мы получим, если воспользуемся вектором Пойнтинга. Эту же величину дВ' можно представить через модуль вектора $ так: дуг' = Я й = ЕН й = ч!(е /р~Е й. Таким образом, оба выражения — для ю и $ — приводят к одинаковому результату (последние две формулы). Пример 2. Выделение теплоты в проводнике. Пусть по прямому проводу круглого сечения радиусом а течет ток 7 (рис. 10.7) . Поскольку провод обладает сопротивлением, то вдоль него действует некоторое электрическое поле Е. Такое же значение Е будет и у поверхности провода в вакууме. Кроме того, налнчне тока порождает н магнитное поле. По теореме о циркуляции вектора Н вблизи поверхности провода 2паН = Е Н = 7/2па.
Векторы Е н Н расположены так, что век-. тор Пойнтннга направлен внутрь 7 и Рис. !0.7 Рис. !0.8 провода нормально к его боковой поверхности (рис. !0.7). Следовательно, электромагнитная энергия втекает внутрь провода нз 253 окружающего пространства! Но согласуется ли это с количеством теплоты, выделяемым в проводнике? Подсчитаем поток электромагнитной энергии сквозь боковую поверхность участка провода длины 1: ЕВ ° 2па(= 2паН Е1 = 1 ° У = КУ т, где учтено, что (/ — это разность потенциалов на концах данного участка, )? — его сопротивление.
Таким образом, мы приходим к тому, что поток электромагнитной энергии поступает в провод извне и целиком превращается в джоулеву теплоту. Согласимся, что вывод неожиданный. Заметим, что в источнике тока вектор Е направлен против то. ка 1, поэтому в области источника вектор Пойнтинга направлен наружу: там электромагнитная энергия выходит в окружающее пространство, т. е. оказывается, что энергия от источника тока передается не вдоль проводов, а через окружающее проводник пространство в виде потока электромагнитной энергии — потока вектора $. Пример 3. Ва рис.
10.8 показан участок двухпроводной линии. Известны направление тока в проводах и тот факт, что потенниалы проводов ~?, ( !?э.Можно ли установить, где находится источник тока (генератор), слева или справа? Ответ можно получить, если воспользоваться вектором Пойнтинга. В нашем случае между проводами вектор Е направлен вниз, а вектор Н вЂ” эа плоскость рисунка, поэтому вектор 8 = = ( ЕН) направлен вправо, т. е. источник тока находится слева, потребитель — справа. Пример 4. Зарядка конденсатора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
