И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 49
Текст из файла (страница 49)
д. с. самоиндукции. В нашем случае и,= — Е61У81 Ч,— Ч, = ЕГ'С (знак д должен совпадать со знаком разности гр,— фи ибо С ) 0). Поэтому уравнение (11.2) можно переписать в виде С вЂ” +Л!+ — = 1Г, д/ д щ с (11.з) или с учетом (!1.1) как (!1л) Это и есть уравнение колебательного к о н т у р а — линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя с помощью этого уравнения о (1), мы можем легко вычислить напряжение на конденсаторе как с!с= = гр, — ~р, = д/Си силу тока( по формуле (! 1.! ).
Уравнению колебательного контура можно придать иной вид: (11.6) где введены обозначения 2Р=ДД., -~= !уЕС. (11.6) Величину ы, называют собственной частотой контура, (1 — коэффициентом затухания. Смысл этих названий мы выясним ниже. Если И'= О, то колебания принято называть с в о б о дными, При )с=О они будут незатухающими, при А' эь 0 — затухающими. Рассмотрим последовательно все эти случаи, 1 11Д.
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Свободные незатухающие колебания. Если в контуре нет внешней э. д, с, И' и активное сопротивление 1с = О, то колебания в таком контуре являются с в о б о д н ы м и н е з а т у х а ю щ и м и. Их уравнение — частный случай уравнения (1!.5), когда И'= 0 и )с = 0; э+ от=О. Решением этого уравнения является функция д = д соэ (мег+ а), (11.8) где а — амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора; ыо — собственная частота контура; а — начальная фаза. Значение ото определяется ~олька свойствами самого контура, значения же с/ и а — начальными условиями.
В качестве таковых можно взять, например, значения заряда д и тока / = д в момент / = О. Согласно (11,6) ооо — — 1/ЛС, поэтому период свободных незатухающих колебаний Т о — — 2ичйС (! !.О) (формула Томсона). Найдя ток / (дифференцированием (1!.8) по времени) и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом с/, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток /опережает по фазе напряжение на конденсаторе иа и/2. При решении некоторых вопросов можно использовать н энергетический подход.
Пример. В колебательном контуре ироисходят свободные незатухающие колебания с энергией !ч'. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в и раз. Какую работу совер~иили лри этом против электрических сил? Искомую работу можно представить как приращение энергии контура: ,т „,~с Ф С другой стороны, ыо оо 1/чгС, поэтому П = ыо/о1о — — ч/С/С' и, значит, Свободные затухающие колебания. Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими. Уравнение данного колебателы<ого контура мы получим, положив в (11.5) э = О. Тогда (! 1.10) д+ 2!3д+ мод = 0 Можно показать (но мы ие будем этого делать, поскольку иас интересует другая сторона вопроса), что при (з'(ы„' решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид р = р е и соз (о!+ а), ( ! ! .
1 1 ) где (! 1.12) а д и а — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. График функции (1!.11) показан на рис. !!.3. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания. Величину Т = 2л/еи называют тем не менее п е р и одом затухающих колебаний: т, т («лз) /:,:-р -Д („„) ' где ҄— период свободных незатухающих колебаний. Множитель д„,е и в (11.11) называют а м п л и т уд о й з а т у х а ю щ и х к о л е б а н и й. Зависимость ее от времени показана штриховой линией иа рис. 11.3. Напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Зная е) (!), можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Напряжение на конденсаторе р р у„= — =.
— е и еае(а! + а). * С С (11.14) Ток в контуре др ! — = р е ( — (! еее (и! + а) — Оз яи (а! + а)!. ш После этого выражение для / примет вид )=ар е 'соз(!е!+а+6). (11.16) Из (11.!5) следует, что угол б лежит во второй четверти (и/2 < 6 < и). Это означает, Рис. ! О. ! 3 Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножнм и разделим это выражение на '1/еи + Р = о!а а затем введем угол б по формулам — р/ми=соил, а/еео=з!пб. (11.15) что при наличии активного сопротивления /7 ток в контуре о п е р е ж а е т по фазе напряжение (11.! 4) на конденсаторе более чем на и/2. Заметим, что при ес = 0 опережение 6 = и/2. Графики зависимостей (/с(Е) и /(Е) имеют вид, аналогичный показанному на рис.
11.3 для е) (Е). Пример. /(олебательньей контур содержит конденсатор емкости С и катушку с активным сопротивлением )7 и индуктивностью Л. Найти отношение энергии магнитного поля к энергии электриэеского поля в контуре в момент максимума тока. Согласно уравнению колебательного контура (! !.3) Е. — + РЕ + — = О. ш Ч ш С В момент максимума тока д//е!Е = 0 и й/= — д/С. Поэтому искомое отношение (Уе„/Ж', = Л/Сйт. Величины, характеризующие затухание. 1. Коэффициент затухания (э и время р е л а к с а ц и и т —. время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.
Из формулы (1!.! 1) нетрудно видеть, что т = 1/р. (1 !.17) 2. Логарифмический декремент затух а н и я Л. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания Т; Л= !и а (Е) = рг, (!1.!в) а(Е+ Г) где а — амплитуда соответствуюшей величины (е/, (/, /). Или иначе: (11.19) Л= !/М„ где еэ', — число колебаний за время т, т. е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Это легко получить из формул (!1.17) и (11.!8). Если затухание мало (~э ~ аешь), то еэ шэ= 1/ЙС и согласно (11.18) е.
Р 2п/ьээ — — пР тЕ С/Л. (! !.20) 3. До б р от н о с т ь Е,) колебательного контура, По определению е7 = л/Л = лН„ (1!.2!) 2бв где Х вЂ” логарифмический декремент затухания. Чем меньше затухание, тем больше 9. При слабом затухании (й' « « ьо~) согласно (1!.20) добротность (11.22) И еще одна полезная формула для Я в случае слабого затухания Яез2я —, ИЮ' ' 111.гз) где Ф' — энергия, запасенная в контуре, б(17 — уменьшение этой энергии за период колебания Т.
В самом деле, Энергия Ф' пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т. е. В'ео е т"~. Отсюда относительное уменьшение энергии за период бВ'/У = 2()Т = 24.. Остается учесть согласно (!1.21), что Х= и/С/. В заключение отметим, что при р' ь тое' вместо колебаний будет происходить а п е р н о д и ч е с к и й разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют к р итическим: (11.24) 12 „р = 2 ъ Е/С. Рассмотрим два примера. Пример 1. Колебательный контур имеет емкость С, индуктивность Е и активное сопротивление 41.
Найти, через сколько колебаний амплитуда тока в этол~ контуре уменьшится в е раз. Амплитуда тока (! аь е М) уменьшится в е раз за время т = = 1/Р. За это время совершится Ф, колебаний. Если Т вЂ” период затухающих колебаний, то Имея ввиду,что ьь~~= 1/ЕС и Р= )т/2Е,получим 41. Ф = — — — 1. гя Ср' Пример 2. Найти время, за которое амялитуда колебаний тока в контуре с добротностью Я уменьшится в и раз, если частота затухаюи1их колебаний равна ьь Так как амплитуда тока / я е "', то время ть, за которое 270 амплитуда уменьшится в Ч раз, определяется уравнением мо Ч = е .
Отсюда ( = ()п Ч)/р. С другой стороны, добротность (',> также связана с Р: О = и/Х = и/Р7' = ы/2Р. Исключив В нз последних двух уравнений, получим 2О = — (п ч. о 4 11.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Этот закон занимает особое положение благодаря свойствам самого колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при действии внешней гармонической э. д.
с. В данном случае уравнение колебательного контура записывается как 7.— +)г(+ — = В с05м1, д! 9 щ С (11.26) или д+ 2РЧ+ м04 =(0„/Е) соз ы(. (11.27) Решение этого уравнения, как известно из математики, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения. Нас будут интересовать только установившиеся колебания, т. е. частное решение этого уравнения (общее решение однородного уравнения экспоненцнально затухает, и по прошествии некоторого времени оно практически исчезает, обращается в нуль).
Нетрудно убедиться, что это решение имеет вид д = д соз (ы( — В), (11,28) где д — амплитуда заряда на конденсаторе; ~р — раз. ность фаз между колебаниями заряда и внешней э. д. с. и (11.25). Как мы увидим, д и хр определяются только 271 Установившиеся колебания. Вернемся к уравнениям колебательного контура (11.3) и (11.4) и рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная э. д, с. и, зависящая от времени по гармоническому закону: В= 9 созм1. (11.25) свойствами самого контура и вынуждающей э.
д. с, Ф, причем оказывается, что ф ) О, поэтому д всегда о т с т ает по фазе от К Чтобы определить постоянные 77 и ф, надо подставить (11.28) в исходное уравнение (11.27) н преобразовать полученное выражение. Мы же поступим несколько иначе (в целях достижения большей простоты): сначала найдем ток ! и затем его выражение подставим в исходное уравнение (11.26) . Попутно будет решен и вопрос с постоянными с) н ф Продифференцировав (!!.28) по 1, найдем I = — онг„з|п (Ы вЂ” ф) = мд,„соз (м1 — ~Р + л/2). Запишем это выражение так: ! = /о Соз (Ы вЂ” ср), (11.29) где! — амплитуда тока; ср — сдвиг по фазе между током н внешней э. д.
с. и, 7 = очг, ср = сР— л72. (11.30) Наша задача пай~и г,„и ср. С этой целью мы поступим следующим образом. Представим исходное уравнение (11.28) в виде (7 + (74 + (7с = 'о соз й (11.31) где слева записана сумма напряжений на индуктивности 7., сопротивлении )с и емкости С, Таким образом, мы видим, что сумма этих напряжений равна в каждый момент внешней э. д.
с. и. Учитывая соотношения (11.30), запишем; (7л 7С! = 7С! соз (со! 43), (11.32) 4 / л~ !7 = — = — сов (м1 — Ч) = — соо о7 — ~р — 1, (11.ЗЗ) с С С ьС 2/' о7 l лт 17 С вЂ” = — чьг Мо (оч — т) = сощ соо ~ о! — т + — ). (11.34) щ 2) Векторная диаграмма. Из последних трех формул видно, что (г„находится в фазе с током 7, (7с отстает по фазе от ! на л/2, а (/с опережает ! на л/2. Все это можно наглядно представить с помощью в е к т о р н о й д и аг р а м м ы, изобразив амплитуды напряжений и,,„= и., и,. = !.7.С, и,„, = ми. и их векторную сумму, равную согласно (11.31) вектору величины 3' (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
