И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 51
Текст из файла (страница 51)
° 11.2. Колебательный контур состоит из катушки с индук- 278 тивностью Е и незаряженного конденсатора емкости С. Активное сопротивление контура )2 = О. Катушка находится в постоякном магнитном поле так, что полный магнитньш" поток, пронизывающий все ее витки, равен Ф. В момент 1 = О магнитное поле резко выключили. Найти ток в контуре как функцию времени 1. Р е ш е н и е.
При резком выключении внешнего магнитного поля в момент 1 = О появится индукционный ток, но конденсатор будет еще не заряженным. Поэтому согласно закону Ома вш в! й1 = — — — Š—. Вг Ш' В данном случае 12 = О н, значит, Ф+ ! != О. Отсюда Ф = Е!ы где !е — начальный ток (непосредственно после выключения поля).
После выключения внешнего поля процесс будет описываться уравнением ч й! О = — —, — Š—. С ОС (1) Продифференцировав это уравнение по времени, получим й'1 1 — + — 1= О. йгг 1С Это уравнение гармонических колебаний, его решение ищем в виде 1= !м соз(ыг1+ а). Постоянные ! и а находим из начальных условий !(О)=!, — (О)=О в! ш (второе условие следует из уравнения (!), ибо в начальный момент 1 = О конденсатор был незаряжен) . Из этих условий найдем се= О, ! = !е. В результате ! = !е соз ыв1 = (Ф/Е) соз ггз1, где ь~е — — 1/х/ЕС.
° 11.3. Добротность контура. Колебательный контур с малым затуханием имеет емкость С и индуктивность Е. На поддержание в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудой напрлжения на конденсаторе (/ необходимо подводить среднюю мощность (Р). !1айти добротность контура. Р е ш е н и е. Вследствие малости затухания воспользуемся формулой (!1.23): я = 2лйу/бйт, где (Р' = СУ,ч/2 и ЬФ' = (Р) Т; Т вЂ” период затухающих колебаний. В нашем случае Т кв Тг = 2пх!ЕС. После подстановки этих 279 выражений в (1) получим 2(Р) Ч 1.
° 11.4. Затухающие колебания. В колебательном контуре имеется конденсатор емкости С, катушка с индукгивносгью /., активное сопротивление Я и ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, а затем ключ замкнули. Найти отношение наг!Ряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в начальный момент (сразу после замыкания ключа). Р е ш е н и е. Напряжение на конденсаторе будет зависеть от времени так же, как и заряд, поэтому запишем (/= (/не сов(м/+ а).
(1) Величины (/ (О) и (/ показаны на рис. |1.8. и, у(аа Рис. 11.9 Принимая во внимание, что ы = мь — 8, преобразуем (2) а т 2 к виду Рнс. 118 и (о не. = -~ ~ — ! ~р,! 'г= Ч ~ — и *сль где учтено, что )1= й/2/. и ы~= |/ВС. ° 11.8. В колебательном контуре с емкостью С и индукгианосгью В совершаются затухающие колебания, при которых ток 280 В начальный момент 1= 0 напряжение (/(О) = (/м соз а, где (/ — амплитуда в этот момент, Нам надо найти (/ (О)/(/, т. е. соз я. /(ля этого воспользуемся другим начальным условием: в момент ! = 0 ток! = д = О.
Так как д = С(/, то достаточно продифференцировать (!) по времени и полученное выражение при! = 0 приравнять к нулю. Получим — 8 соз а — ш 5!и и = О, откуда !и а= — 8/ы. Поэтому искомое отношение г/(0) 1 ! = Сьза= (2| меняется со временем ло закону ! (!) = ! е здп ы!.
Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени, Р е ш е н и е. Выберем положительное направление обхода контура по часовой стрелке (рис. ! !.9). Согласно закону Ома для участка контура !К(.2 имеем Р! = (а, — ц~т + в,. В нашем случае в", = — !.! и фт — ср, = д/С = (/с, где д — заряд на обкладке 2, поэтому первую формулу можно переписать так: ис = — Н! — !.!. После подстановки сюда выражения для I(!) и его производной получим к 1„, е Г! = ( — (3 5!п ы! — и соз ы!).
с 26 Преобразуем выражение в скобках к синусу. Зля этого умножим и разделим его на ы + !) = ыш а затем введем угол 6 2 з фру' — 6/ыэ = соз 6, ы/ыю — — здп 6. Тогда Я! О~ = — е 'з(п(ы! — 6) =1 й/Се з1п(ы! — 6), где угол 6 согласно (!) находится во второй четверти, т. е.
принимает значения л/2 . 6 и. Таким образом, напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока. ° 11.6. Установление колебаний. Катушку с индуктивностью 6 и активным сопротивлением Р подключили в момент ! = О к внешнему напрлжению (/ = (/ соз ы!. Найти ток в цепи как функцию времени !. Р е ш е н и с. В данном случае у! = (/ — ь1, или ! + ()с/! ) ! = ( (/,„/!.) соз ы!.
Решение этого уравнения есть общее решение однородного уравпения плюс частное решение неоднородного: !(!) = А е 'мчи+ .. сов (ы! — ф), (к'+ м'Е' где А — произвольная постоянная, а угол ц~ определяется условием (! !.36); !и ср = ы!./К. Постоянную А находим из начального условия !(0) = О. Отсюда А = — ((/ )с + ы 6 / соз ~р. В результате т 3 2 ~ци- ' ~ (~ — т) — -'"""- д Ю' ~- При достаточно большом ! второе слагаемое в квадратных скобках становится пренебрежимо малым, и мы получаем установившееся решение ! (!) сч> соз (ы! — )р). ° 11.7, Вынужденные колебания. Участок цели, состоящий )и последовательно соединенньш конденсатора и окраинного солротивленил И, подкл)очили к внешнему переменному напряжению с амплитудой (! . Нри этом амплитуда установившееося тока оказалась ривной ! . Найти ризность фаз между током а внешним напряжением.
Р е ш е н и е. В данном случае (/ = (! совы), ! = ! сов(ы! — >р), где >р определяется формулой (11 Зб) ) (и >р = — 1/ыСИ. Неизвестное значение емкости С найдем из выражения для .....„...-: с.-ь.> Я'+)и и'. с= ~> Ч)с. »„)'-г'. После подстановки в выражение для !я ср получим >и - — Ч)ь.>чь)' — ~.
В нашем случае )р ( О, а это значит, что ток о и е р е ж а е т по фазе внешнее напряжение (рис. 11.10), ° 11,8. Пепи переменного тока, содержащал последовательно соединенные конденгатор и катушку с активнь)м сопротивлением, подключена к внешнему переиенному напряжени>о, частоВ! которого можно л>енять, не менял его амплитуды.
При частота,т о>, и ыг амплитуды силы тока в чели оказались одинаковы чи. Найти резонансную частоту тока. Р е ш е н и е Согласно [11.35) амплитуды будут очна)аковыми при условии ,~ — — ~ = ~м,т. — —,. (1) Максимуму резонансной кривой тока соответствует частота, равнаа собственной частоте )о„=- 1>сэ СС. Далее, пУсть м) Со>о(мт (можио предположить и иаоборот, от этого окоичательныи е)т тт ь>с тт йс и, Рис. 11.12 Рис. 11.10 282 результат не изменится), тогда равенство (1) можно переписать, снЯв модУли, так: озьгоз ! — м ! = опт — ыьгыт, или 2 2 ! 1 м, +и, м~( — + — ).
После сокращения обеих частей этого равенства на мт+ы! 2 полУчим; 1 = ~ььт'ы !ыт, откУда ыо — — Ъ м !ыв. ° 11.9. Векторная диаграмма. Пель, состояи!ую из последовательно соединенных конденсатора емкости С и катушки с активным сопротивлением )г и с индуктивностью 1., подключили к внешнему напрлжению с амплитудой П и частотой ы. Считая, что ток в Испи опережает по фазе внегинее напряжение, построить соответствующую векторную диаграмму и с помощью нее найти амплитуду напрлжения на катушке.
Р е ш е н н е. Векторная диаграмма для данного случая имеет вид, показанный на рис. 11.! !. Из этой диаграммы сразу видно, что амплитуда напряжения на катушке ьч..-!.те'ь Ч'. где( = У 1' + ( 1' ) .Напряжение на катушке при наличии активного сопротивления опережает ток по фазе менее чем иа и/2. ° 11.10, Мощность а цепи переменного тока. Пень, состоящую из последовательно соединенных безындукиионного сопротивленил й и катушки с некоторым активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением (1. Найти тепловую мощность, вь(деляемую в катушке, если действующие напрлженил на сопротивлении 1( и катушке равны соответствснно (1, и Ут.
Р е ш е н и е. Воспользуемся векторной диаграммой, которая дана на рис. 11.12. Из этой диаграммы согласно теореме косинусов имеем П'= П', + П, '+ 2П,П, (1) Мощность же, выделяемая на катушке: Р =1П соэ ры (2) где 1 = П !1')с. Из уравнений (!), (2) получим Р = (Уэ — О, — П,',)/2рс. ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Обозначения и названия единиц ч— 3— эВ— мин— Мкс— Н— г— Гс— Гц— 2. Десятичные приставки к названиям единиц Т вЂ” тера, 10" à — гига, 10' М вЂ” мега, 10в к — кило, 10' г — гекто, ! О' да — дека, 1О' д — деци, 10 ' с — санти, 1О м — милли, 10 мк — микро, 10 ' н — нано,!О в и — пико, 1О ф — фемто, 10 а — атто, 10' " Примеры: мкКл — микрокулон, 10 ' Кл; пФ вЂ” пикофарад, !О " Ф; мГн — миллигенри, 10 ' Гн; Мэ — мегаэлектронвольт, 1О" эВ.
3. Единицы электрических н магнитных величин в СИ н системе Гаусса Огноые. ние ед. СИ Вдинича величина Обо- зна«ение Величина СИ СГС ел. СГС 10в 1 бе 3 10' Сила Работа, энергия Заряд Н Дж Кл дин эрг ед. СГСЭ 284 А— В— Вб— Вт— Гн— ампер вольт вебер ватт генри грамм гаусс герц дин— Дж— К— Кл— ив дина джоуль кельвин кулон метр минута максвелл ньютон рад— с— См— Тл— Ф— радиан секунда сименс тесла фарад час эрстед электронвольт Продолжение табл В Едааана величали Отношение ед.
СИ ед. СГС Обо- значс- нме Величина СИ СГС 1О' 1 03 1О ' 4 с 10-г )ог Вб А и' А/лс А/м Гн Мкс ед. СГСЭ ед. СГСЭ Э сч 4. Основные формулы электромагнетизма в СИ и системе Гаусса СИ Система Гаусса Ваамсноаааас 1 д г 4нес "г 4яо Е=— в о Е=— егс 1 д 4пе г срг — йгг = ~ Е гИ ! г(тср г)г Еб)=О Напряженность электрического поля Потенциал, напряжение Электрический момент Полярнзованность Вектор О Емкость Сила тона Плотность тока Сопротивление Удельное сопротивление Проводимость Удельная проводимость Магнитная нндуканя Магнитный поток, потокосцепление Магнитный момент Намагниченность Вектор Н Индуктивность Поле Е точечного за- ряда Поле Е в плоском конденсаторе и у поверхности проводника Потенциал поля точечного заряда Связь межлу Е и ср Г(иркуляция вектора Е в электростатическом поле Е ср, (/ Р Р П С ! ! )( Р Е В В/м В Кл и Кл/м' Кл/м' Ф А А/лг' Ом Ом м См См/лг Тл ед.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
