И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Возьмем плоский конденсатор с круглыми обкладкими радиусом а. Пренебрегая краевыми эффектами (рассеянием поля), найдем поток электромагнитной энергии сквозь боковую еповерхность» конденсатора, ибо только там вектор Пойнтинга 8 направлен внутрь конденсатора (рис. 10.9). На этой поверхности имеется меняю- 1 шееси электрическое поле Е и вызванное ?т его изменением магнитное поле Н. По теореме о циркуляции вектора Н следует, что 2паВ = па д1?/дг, где справа стоит 2 Рис. 10 9 ток смещения через контур, показанный на рис. 10.9 пунктиром. Отсюда Н = = '?та д)?)д1. Если расстояние между обкладками й, то поток вектора Ь сквозь боковую поверхность есть а д0 д1? ЕВ2лал = Š— — 2пап = Š— !', 2 д! ' д! где )т = ла 1! — объем конденсатора.
Будем считать, что этот по- т ток идет целиком на увеличение энергии конденсатора. Тогда, умножив (1) на 81, получим приращение энергии конденсатора 254 за время д! д 27 = б 4Р ° и = д ~ — 1' ) = д ~ — У) . 2 / 'х 2 Проинтегрировав зто уравнение, найдем формулу для энергии уг' заряженного конденсатора. Таким образом, и здесь оказывается все в порядке. 4 10.$.
ИМПУЛЬС ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Давление электромагнитной волны. Максвелл теоретически показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые они падают, оказывают на них давление. Это давление возникает в результате воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полем той же волны. Пусть электромагнитная волна распространяется в однородной среде, обладающей поглощением. Наличие поглощения означает, что в среде будет выделяться джоулева теплота с объемной плотностью аЕ ', а поэтому о Ф О, т, е, поглощающая среда обладает проводимостью. Электрическое поле волны в такой среде возбуждает электрический ток с плотностью 1 = аЕ. Вследствие этого на единицу объема среды действует амперова сила Е,л= = ()В) = о(ЕВ), направленная в сторону распространения волны (рис, !0.10), Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны.
При отсутствии поглощения проводимость а = 0 и Г „= = О, т. е. в этом случае электромагнитная волна не оказывает никакого давления на среду. Импульс электромагнитного поля. Поскольку электромагнитная волна оказывает давление на вещество, последнее приобретает определенный импульс. Но в замкнутой системе, состоящей из вещества и электромагнитной волны, возникло бы нарушение закона сохранения импульса, если бы импульсом обладало только вещество.
Импульс такой системы может сохраняться лишь при условии, что электромагнитное поле (волна) также обладает импульсом; вещество приобретает импульс за счет импульса, передаваемого ему электромагнитным полем. Введем понятие плотности импульса С электромагнитного поля как величину, численно равную импульсу поля в единице объема. Расчет, который мы не будем здесь прнводить„показывает, что плотность импульса (10.24) где Б = ( ЕН~ — вектор Пойнтинга. Как и вектор $, плотность импульса 6 является, вообще говоря, функцией времени и координат, Ро Ро В! и.!ОЫ Рос.
!О. !О Для электромагнитной волны в вакууме согласно (10 20) ~/е,Е= у н Н, поэтому плотность энергии щ и модуль 5 вектора Пойнтинга равны соответственно; и =- ооЕ /2+ иоН /2 = ооЕ, 5 = ЕН = /оо/ноЕ Отсюда следует, что 5 = щ/ у е р,. А так как -~/е р „= 1/с, с — скорость света в вакууме, то 5 = пс, и из формулы (10.24) вытекает, что для электромагнитной волны в вакууме С::::1 (!0.25) Такая же связь между энергией и импульсом присуща (как показывается в теории относительности) частицам с нулевой массой покоя, Это и естественно, поскольку согласно квантовым представлениям электромагнитная волна эквивалентна потоку фотонов — частиц с нулевой массой покоя. Еще о давлении электромагнитных волн.
Вычислим с помощью формулы (!0.25) давление электромагнитной волны на тело, когда волна падает нормально на его поверхность и частично отражается в противоположном направлении. Согласно закону сохранения импульса ро= = р'„+ р, где ро, р;, — импульсы падающей и отраженной волн, р — импульс, переданный телу (рис. 10.11). Спроектирован это равенство на направление падающей волны и отнеся все величины к единице времени и к единице площади поперечного сечения, получим Р = Ро+ Ро = (о) о+ (6') с, где (6') и (6') — средние значения плотности импульса в падающей н отраженной волнах.
Остается учесть связь (10.25) между (6) и (ш) и тот факт, что (ш') = р (ш). где р — коэффициент отражения. В результате предыдущее выражение примет вид р=(!+Р) (ш) (10.26) Здесь величина р по своему смыслу есть не что иное, как давление электромагнитной волны на тело. При полном отражении р = 1 и давление р = 2 (ш), при полном поглощении р = 0 и р = (ш). Остается добавить, что давление электромагнитного излучения обычно бывает очень малым (исключение составляет давление мощных пучков лазерного излучения, особенно после фокусировки пучка, а также давление излучения внутри горячих звезд).
Например, давление солнечного излучения на Земле составляет несколько единиц на 1О Па, что в 10~~ раз меньше атмосферного давления. Несмотря на ничтожные значения этих величин, экспериментальное доказательство существования электромагнитных волн — светового давления — было получено П. Н. Лебедевым. Результаты этих опытов оказались в согласии с электромагнитной теорией света. Задачи ° 1О.1.
Ток смещения. Точечный заряд у движется равномерно и прямолинейно с нсрелятивистской скоростью ч. //айти вектор плотности тока смещения в точке Р, находящейся на расстоянии г от заряда на пря.чой: !) совпадающей с его траекторией; 2) перпендикулярной аго траектории и проходящей через заряд. Р е ш е н и е. Плотность тока смешения!,„= д0/дс, поэтому решение задачи сводится к определению вектора 0 в указанных точках и нахождению его производной по времени. В обоих случаях 0 = уе,/4пг, где е, — орт вектора г. Найдем производную 2 д О/д1. !. В точке Р, (рис.!О.!2, где предполагается, что д ) О) йв 2д дг 2еч — = — — — е,= —, дГ чпг' дт ' Ччгз' здесь учтено, что для точки Р, производная дг/д! = — о.
Если бы точка Р, находилась не перед зарядом д (по ходу его движения), а за ним, то вектор!,„был бы направлен в ту же сторону и имел бы тот же модуль. Итак, если у О, вектор),„~) и, и наоборот. 9 — 20 257 2. В точке Р (рнс. 10.12) )00)/О = о дГ/г, поэтому можно записать: д0/дс = — дт/4пг>. Если д» О, то),„1) т, и наоборот, ° 10.2.
Ток, текущий по длинному прямому соленоиду, радиус сечения которого к>, меняет так, что магнитное поле внутри соленоида возрастает со временем по закону В = (11 е, где (! — постоянная. Найти плотность тока смещенил как функцию расстояния г от оси соленоида. 0 к г Рис. 10,12 Рис. 10.13 Р е ш е н и е. Чтобы определить плотность тока смешения, надо согласно (!0.5) сначала найти напряженность электрического поля — здесь оно будет вихревым.
Воспользовавшись уравнением Максвелла для циркуляции вектора Е, запишем; 2нгЕ= пгтдВ/дЕ Е= г(1! (г 'й>); 2лгЕ = и)( дВ/дт, Е = )!~ 01/г (г ) >0). Теперь по формуле 1,„= еедЕ/д! найдем плотность тока смешения: 1,„= еьбг (г ~ й); 1,„= еь!)В /г (г ) В). График зависимости ),„(г) показан на рис. 10.13. ° 10.3. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми нале>дигон однородная слабо проводящая среда, Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевь>ми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.
Р е ш е н и е. Магнитное поле будет отсутствовать, потому что полный ток (ток проводимости плюс ток смещения) равен нулю. Это и надо показать. Обратимси к плотности тока. Пусть в некоторый момент плотность тока проводимости равна ). Ясно, что ) ьь О, причем 0 = ап, где а — поверхностная плотность заряда на положительно заряженной обкладке; и — нормаль (рис. !О.!4). 258 Наличие тока проводимости приводит к уменьшению поверхностной плотности заряда о, а следовательно, и 33 — ток проводимости будет сопровождаться током смещения. Плотность последнего ),„= д0/д| = (до/дг) и = — |и = — ). Отсюда следует, что действительно 3юоо = 3+ 3 ° 10.4. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью и и диэлектрической проницаемостью е.
Пренебрегая краевыми эффектами, найти модуль вектора Н между обкладками на расстоянии г от их оси, если напряженность электрического поля между обкладками меняется со временем по закону Е = Е соз ый т Рис. !0.15 Рис. 10.14 Р е ш е н и е. Из уравнения Максвелла для циркуляции вектора Н следует, что дЕ„Х 2 .Н =( |. + .а — ") д| ) Принимая во внимание закон Ома 1„= оЕ„11), получим г г' дЕ. Т гЕ Н = — (аЕ. + ье — "Г1 = — "1о сьз ыг — се из!л ьп). о д|) 2 о Преобразуем выражение в скобках к косинусу. Для этого умножим н Разделим это выРажение на /= и +1ееоы), а затем г введем угол Ь по формулам о/1= соз Ь, веоьо/1= з|п 5. Тогда и г„г:/.
ои„а |. |.~оо||. ° 10.5. Точечный заряд д движется в вакууме равномерно и прямолинейно с нерелятивистской скоростью т. Воспользовавишсь уравнением Максвелла для циркуляции вектора Н, полу|ать выражение для Н в точке Р, положение которой относительно заряда характеризуется радиус-вектором г (рис. 10.15). Р е ш е и и е. Из соображений симметрии ясно, что в качестве 259 контура, по которому надо брать циркуляцию вектора Н, следует взять окружность с центром 0 (ее след показан на рис. 10.16 штриховой линией). Тогда 2л|2УУ = — ~ 0„<Б, д г д1) (|) где )( — радиус окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
