И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Поток Ф, = М,Вг5, где М,— число витков в соленоиде 1; 5 — сечение соленоида; В г = = ррьпг(г. Поэтому формулу (1) можно переписать так (после сокращения на1 ); ~1-4 = Н)ьопгМ~5 = рроп~пг)' (2) где учтено, что М, = и,1; 1 — длина соленоида и 15 = )т — его объем.
Выражение (2) можно представить через С, и бг следующим образом: )1- г! = тг иаьп )т ч ааьпг)т= й,~~. Заметим, что это выражение определяет предельное (максимальное значение)(.,г(, вообще же)(.д((Й. ~( г). ° 9.12. Теорема взаимности. В центре тонкой катушки радиусом а, содержащей М витков, находится небольшой цилиндрический ЦМ магнит М (рнс. 9.26). Катушка подключена к баллистическому гальванометру. Со- Рнс. 9.26 239 противление цепи й. После того как магнит белстро удалили из катушки, через гальванометр прошел заряд Ф //айти магни~ный момент магнита. Р е ш е н и е. В процессе удаления магнита полный магнитный поток через катушку изменялся, и в ней возник индукционный ток, определяемый уравнением йФ ш й! = — — — Š—.
Ж й!' Умножим обе части этого уравнения на б/ и учтем, что 1 ю(/ = бд, тогда // ба = — ЛФ вЂ” /. 61: Проинтегрировав последнее выражение, получим //д = — ЛФ— — ЕЛ/. Теперь примем во внимание, что Л/ = О (ток был равен нулю как в начале, так и в конце процесса), поэтому ц = ЛФ/// = Ф///, (1) где Ф вЂ” магнитный поток через катушку в начале процесса (знак минус мы опустили — он не существен). Итак, задача свелась к определению потока Ф через катушку, Непосредственно определить эту величину мы не можем.
Однако данную трудность можно преодолеть, воспользовавшись теоремой взаимности. Заменим мысленно магнит на небольшой виток с током, создающий в окружающем пространстве то же магнитное поле, что и магнит. Если площадь витка 5 и ток в нем I, то их произведение должно быть равно магнитному моменту р,„магнита; р„= 15. По теореме взаимности /.м/= йм/, и вопрос сводится к нахождению магнитного потока через площадь 5 витка, который создает тот же ток 1, но текущий в катушке.
Считая, что в пределах витка поле однородное, получим Ф = В5 = рюй//5/2а. (2) Остается подставить (2) в (1) и вспомнить, что /5 = р . Тогда д = рюй/р„/2а// и Р = 2а/сЧ/рюй'. Глава 1О УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ $10.1. ТОК СМЕИ\ЕНИЯ Открытие Максвелла. Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом. При этом одной из важнейших новых идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (дВ/д() создает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (дЕ/д1) создает магнитное поле. К этой идее о необходимости существования по сути нового явления индукции можно прийти путем, например, следующих рассуждений.
Мы знаем, что со- 8' Я' гласно теореме о циркуляции вектора Н ф Н д(=~1а5. (1ОП) ~,' ,",Ц " Применим эту тео- а) 6 рему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис, 10.1, а). В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, например 5 и 5'. Обе поверхности имеют «равные права», однако через поверхность 5 течет ток /, а через поверхность 5' не течет никакого тока1 Получается, что циркуляция вектора Н зависит оттого, какую поверхность мы натягиваем на данный контур (?.'), чего явно не может быть (в случае постоянных токов этого и не происходило).
А нельзя ли как-то изменить правую часть (!О.!), чтобы избежать этой неприятности? Оказывается, можно, и вот как. Первое, что мы замечаем, это то, что поверхность 5' «пронизывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора 0 сквозь замкнутую поверхность б? 0 б5 — д, откуда д0 дд — Ж = —. щ щ (10.2) Сложив отдельно левые и правые части уравнений (10.2) и (10.3), получим 241 С другой стороны, согласно уравнению непрерывности (5.4) )аэ = — —. (1о.з) а ф(1+ а )вв=о.
(!ом) Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для постоянного тока, Из него видно, что кроме плотности тока проводимости 1 имеется еще одно слагаемое д!э/дй размерность которого равна размерности плотности тока. Максвелл назвал это слагаемое плотностью т о к а смещения: (10.5) 1,„= д0/дд Сумму же тока проводимости и тока смещения называют пол ным током. Его плотность дп д! ' Согласно (10.4) линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости.
Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения. Сейчас мы убедимся в том, что введение полного тока устраняет трудность, связанную с зависимостью циркуляции вектора Н от выбора поверхности, натягиваемой на контур Г. Оказывается, для этого достаточно в правой части уравнения (10.1) вместо тока проводимости ввести полный ток, т. е. величину т„„,„= ')( 1+ — ) 45.
(!0,7) В самом деле, правая часть (!0.7) представляет собой сумму тока проводимости 7 и тока смещения 1,„: 7„,„,= = 1+ 7„. Покажем, что полный ток („„„будет одинаков и для поверхности 5, и для поверхности 5', натянутых на один и тот же контур Г. Для этого применим (!0.4) к замкнутой поверхности, составленной из поверхностей 5 и 5' (рис.
10.1, б). Учитывая, что для замкнутой поверхности нормаль п направлена наружу, запишем 7„„„(5') +1„„„(5) = О. что и требовалось доказать. Итак, теорему о циркуляции вектора Н, которая была Теперь, если обернуть нормаль и' для поверхности 5' в ту же сторону, что и для 5, то первое слагаемое в последнем уравнении изменит знак, и мы получим 7....
(50=7.... (5), установлена для постоянных токов, можно обобсцить для произвольного случая и записать (10.9) В таком виде теорема о циркуляции вектора Н справедлива всегда, свидетельством чему является согласие этого уравнения с результатами опыта во всех без исключения случаях. Диффереиннальная форма уравнения (10.81: ХтХ Н=1+ —, д1У дс ' (10.9) е. ротор вектора Н онределяется плотностью тока проводимости 1 тока смещения до/дс в той же точке.
Несколько замечаний о токе смещения. Следует иметь виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости олько в отношении способности создавать магнитное оле. Токи смеШения существуют лишь там, где меняется со ременем электрическое поле. В диэлектриках ток смещепя состоит из двух существенно различных слагаемых. ак как вектор 0 = е„Е+ Р, то отсюда видно, что плот- ость тока смешения д0/д( складывается из «истинного» ока смешения еодЕ/д( и тока поляризации Р/д( — величины, обусловленной движением связанных арядов. В том, что токи поляризации возбуждают магнитое поле, нет ничего неожиданного, ибо эти токи по прирое своей не отличаются от токов проводимости. Принцииально новое содержится в утверждении, что и другая асть тока смещения (еодЕттд(), которая не связана ии каким движением зарядов, а обусловлена только изменением электрического поля, также возбуждает магнитное поле.
Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле. Открытие этого явления — наиболее существенный и решающий шаг, сделанный Максвеллом при построении теории электромагнитного поля. Это открытие вполне аналогично открытию электромагнитной индукции, согласно которому переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле. Следует также отметить, что открытие Максвеллом тока смещения — чисто теоретическое открытие, причем первостепенной важности.
Рассмотрим пример, в котором проявляют себя токи смещения. Пример. В неограниченной однор родной проводящей среде находится металлический шар, которому соl г 1 общем положительный электрический ! т заряд (рнс. 10.2) . Электрические токи, текущие в радиальных направлениях, должны возбуждать магнитное поле. Выясним, куда направлен вектор В в произвольной точке Р. Прежде всего ясно, что вектор В не может иметь радиальной составляющей.
Если бы это было не твк, поРнс. !0.2 ток вектора В через поверхность сферы 5 (рис. 10.2) был бы отличен от нуля, что противоречит уравнению (7 2). Значит, вектор В должен быть перпендикулярен радиальному направлению в точке Р. Но это также невозможно, так как все направления, перпендикулярные радиальному, совершенно равноправны, оии ничем не выделены. Остается единственное— магнитное поле всюду равно нулю. Отсутствие магнитного полн при наличии электрического тока плотностью !означает, что кроме тока проводимости 1 в системе имеетсЯ н ток смещениЯ )оо пРичем такой, что полный ток всюду равен нулю, т. е. в каждой точке ),„= — 1. Или ! Ч д11 1„=! = 4пт" 4пт' д! ' где принято во внимание, что 1) = д/4пт согласно теореме Гаусса.
$ !02. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Уравнения Максвелла в интегральной форме. С введением тока смещения макроскопнческая теория электромагнитного поля была блестяще завершена. Открытие тока смещения (д0тгд() позволило Максвеллу создать е д ин у ю теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма (причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии, До сих пор мы рассматривали отдельные части этой теории. Теперь можно представить всю картину в виде системы фундаментальных уравнений электродинамики, называемых ура в не н и я м и Ма кс в елл а в неподвижных средах. Этих уравнений четыре (мы уже познакомились с каждым из них в отдельности в предшествующих разделах, а сейчас просто соберем их все вместе).
94х В интегральной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид: (1о.1о) (1ол1) где р — объемная плотность сторонних зарядов,) — плотность тока проводимости. Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле. Содержание этих уравнений заключается в следующем: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
