И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 40
Текст из файла (страница 40)
9.7, б), и в цепи течет ток !э = и/)7 (сопро. тивление источника э. д. с. У считаем пренебрежимо малым). В момент ! = О быстро повернем ключ К по часовой стрелке из нижнего положения в верхнее (рис. 9.7, а). При этом произой. дет следуюшее: на очень короткое время ключ закоротил источник 9" и тут же выключил его из цепи, не нарушая ее замкнутости, !и а) Р .
9.8 Рис. 9.7 Ток через индуктивность Е начнет убывать, а это значит, что возникнет э. д. с. самоиидукции и, = — 1 б!/б(, противодейст. вующая, по Ленцу, убыванию тока. В каждый момент ток в цепи будет определяться законом Ома 1 = 'У,/)7, или !(! = — !. —. о! йг (вл 8) Разделив переменные, получим о! — = — — оп 1. Интегрирование этого уравнения по! (от !о до 1) и ! (от О до !) дает)п(!/1а) = — К!/(., или 1 = !ое (9.19) 217 где т — постоянная, имеющая размерность времени, т = Е/Й. (9.20) Ееиазываютпостоянной времени (временем рел а к с а ц и н). Эта величина характеризует скорость убывания тока: из (9.!9) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Чем больше значение т, тем медленнее спадает ток. На рис. 9.8 показан график зависимости 1(Г) — убывания силы тока со временем (кривая !], Пример 2. Установление тока при замыкании цепи. В момент ! = О быстро повернем ключ К против часовой гтрелки из верхнего положения в нижнее (рис. 9.7, б). Этим самым мы подключили к индуктивности Е источник 9'.
Ток в цепи начнет нарастать и опять возникает э. д. с. самоиндукцни, противодействующая этому нарастанию. Согласно закону Ома й1 = 'е + 9'„или к1= о — ь —. й1 щ' (влт1) Перенесем й в яевую часть уравнения н введем новую переменную и= Й1 — й, йи = )1 й1. После этого полученное уравнение преобразуем к виду би/и = — д(/т, где т = (./Й вЂ” постоянная времени.
Интегрирование по и (от — 9'до й/ — 9) и по 1 (от 9 до 1) дает !и ((й1 — и)/( — 9)) = — 1/т или 1= 1,(! — е м), (9.22) где !ь = й/11 представляет собой установившийся ток (при т — ь оо). Из уравнения (9.22) видно, что быстрота установления тока определяется той же постоянной т. График зависимости 1(1) — возрастания силы тока со временем показан иа рис. 9.9 (кривая 2). О сохранении магнитного потока. Пусть в произвольном внешнем магнитном поле — постоянном или переменном — движется и деформируется контур с током. При этом в контуре индуцируется ток зг'+тт ! йф 1= й )1 Щ' Если сопротивление контура Я = О, то должно быть и ббт/с(1 = О, поскольку сила тока 1 не может быть бесконечно большой.
Отсюда следует, что Ф = сопз!. Таким образом, при движении сверхпроводящего контура в магнитном поле пронизывающий его магнитный по. ток остается постоянным. Такое сохранение потока обеспечивают индукционные токи, которые согласно правилу Ленца препятствуют всякому изменению магнитного потока сквозь контур. Тенденция к сохранению магнитного потока сквозь контур имеется в любом случае, но наиболее полно она проявляется в контурах из сверхпроводников. Пример. Сверхпроводящее круглое кольцо радиусол~ а с индуктивностью С находится в однородном лгагнитном поле В. Н начальном положении плоскость кольца параллельна вектору В и ток в кольце равен нулю. Кольцо повернули в положение, перпендикулярное вектору В, Найти силу тока в кольце после поворота и магнитную индукцию в его центре.
При повороте кольца магнитный поток сквозь него не меняется и остается равным нулю. Это значит, что магнитные потоки 218 через кольцо поля индукционного тока и внешнего поля одинаковы по модулю, ио противоположны по знаку. Поэтому Е! = ла В, откуда ! = ла В/Е.
Этот ток создает в центре кольца согласно (6.13) поле В, = = лараВ/2Е, Тогда результирующая магнитная нндукция в этой точке Вм, — —  — В, = В(! — лнраЕ2Е). $ 9ик ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ Взаимная индуктивность. Рассмотрим два неподвижных контура ! и 2 (рис. 9.9), расположенные достаточно близко друг к другу. Если в контуре ! течет ток ! и он создает через контур 2 полный магнитный поток Ф н пропорциональный (при отсутствии ферромагнетиков) току Е,; Фр = Еэ1ЕР (9.23) Совершенно так же, если в контуре 2 течет ток Е,, он создает через контур ! полный магнитный поток Рис. 9.9 Ф, = Ем(р.
(9.24) Коэффициенты пропорциональности !. „н Е „называют взаимной индуктивностью контуров. Очевидно, взаимная индуктивность численно равна магнитному потоку сквозь один из контуров, создаваемому единичным током в другом контуре. Коэффициенты Е „и Е„ зависят от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Выражаются эти коэффициенты в тех же единицах, что и индуктивность !., Теорема взаимности. Соответствующий расчет дает (и опыт его подтверждает), что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты Е „и Е „одинаковы: '~'=Л Ем — — Ем.
Это замечательное свойство взаимной индуктивности принято называть те о р е м ой аз а и м н о с т и. Благодаря 2!9 этой теореме можно не делать различия между !. дз и !. и и просто говорить о взаимной индуктивности двух контуров. Смысл равенства (9.25) в том, что в любом случае магнитный поток Ф, сквозь контур 1, созданный током 1 в контуре 2, равен магнитному потоку Ф, сквозь контур 2, созданному т а к н м же током 1 в контуре 1. Это обстоятельство нередко позволяет сильно упроцгать решение вопроса о нахождении, например, магнитных потоков. Вот два примера.
Пример 1. В некоторой плоскости лежат два круговых витка 1 и 2, центры которь!х совпадают (рис. 9.10). Радиусы витков а, и аз. В витке 1 течет ток!. Найти магнитный поток Ф г, охватываемый витком 2, если а, <К аз. Ясно, что непосредственно вычислить поток Фз — задача весьма сложная, нбо сложной является конфигурация самого поля. Использование же теоремы взаимности чрезвычайно упрошает решение поставленного вопроса. Действительно, пустим тот же ток 1 по витку 2.
Тогда магнитный поток Ф Р создаваемый этим током через виток 1, при условии а, ~ а, может быть найден очень просто: доста- Рис. 9.!1 Ряс. 9.10 точно умножить магнитную индукцию В а центре витка (В =- 2 = рь1у2аг) на площадь круга па, и учесть, что согласно теореме взаимности Фз = Ф Р Пример 2. Лусгь контур с током 1 имеет форму прлмоугольника.
Как найти магнитный поток Ф через заштрихованную полу- плоскость (рис. 9.!1), граница которой находится на заданном расстоянии от контура? Предполагается, что эта полуплоскость и контур лежат в одной плоскости. Магнитное поле тока 1 здесь также имеет сложную конфигурацию, поэтому непосредственно вычислить интересующий нас поток Ф очень трудно. Однако решение и здесь можно весьма резко упростить, если воспользоваться теоремой взаимности.
Представим себе, что ток 1 течет не по прямоугольному кон- туру, а вдоль границы полуплоскостн, огибая ее на бесконечно- сти. Магнитное поле, создаваемое этим током в области прямоугольного контура, имеет простую конфигурацию — это поле прямого тока. Поэтому найти магнитный поток Ф' сквозь прямо. угольный контур достаточно легко (путем несложного интегрирования).
А по теореме взаимности искомый поток Ф=Ф', и задача решена Однако наличие ферромагнетиков меняет дело, и теорема взаимности перестает выполняться. Убедимся в этом на следующем конкретном примере, Пример. Длинный ферромагнитный цилиндр объемом У имеет две обмотки (одна на другой). Одна обмотка содержит а, витков на единицу длины, другая — аг. Найти их взаимную индуктивность, пренебрегая краевыми эффектами Согласно (9.23) 1.м —— Фэ/1,. Это значит, что мы должны создать ток 1, в обмотке 1 и вычислить полный магнитный поток через все витки обмотки 2.
Если в обмотке 2 содержится Мт витков, то Фт — — НтВ ~5 где 5 — площадь сечения цилиндра. Имея в виду, что Нт — — ат1, 1 — длина цилиндра, В, = а,аэл,1о р, — магнитная проницаемость прп токе 1,, запишем: Ф, = р, аэа,н, У1,, У = 15. Отсюда 1'21 и1рэн1ату. Аналогично находим и В м.. 1-м = Ртроа~атУ.
Ввиду того что значения р, и и, в последних двух выражениях, вообще говоря, разные (в ферромагнетиках оии зависят от токов 1, и 1э), значения 1.т, и В м ие совпадают. Взаимная нндукция. Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении тока в одном из контуров в другом контуре возникает э. д. с. индукции. Это явление и называют в з а и м н о й индукцией. Согласно закону электромагнитной индукции э. д. с., возникающие в контурах 1 и 2, равны соответственно: йф, 61, йФ, 61,  — — = — 1 —, У = — — = — 1. —, (6.26) 61 "а' ' йт "61' Здесь предполагается, что контуры неподвижны и ферромагнетнков поблизости нет.
С учетом явления самоиндукции ток, например, 221 в контуре 1 при изменении токов в обоих контурах опреде- ляется по закону Ома как а1з лг =у 1 ~ ! щ и щ ограниченнои контуром 2 (или от выбора положительного направления обхода этого контура), Положительные направления для токов (и э. д. с.) в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура однозначно — правилом пра- ем тл смс0 а) б) Рис. 9.12 вого винта — связано направление нормали п к поверхности, ограниченной контуром, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
