И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Из характера движения частицы следует, что ее скорость должна удовлетворять условию 'оВ = Е. (1) Согласно формулам преобразования (8.1) Е+ (чВ) Е'= =О, ибо в нашем случае сила Лоренца, а значит, н величина Е + (чВ) равны нулю. Для магнитного поля согласно тем же формулам преобразования  — ( чЕ) /с' Расположение векторов показано на рис. 8.6, откуда видно, что (чЕ) тт В. Поэтому с учетом того, что согласно (1) о = Е/В, можно записать  — Е'/Вс' В (1 — Рт) ~) 1:р* чП:й' ' нли в векторном виде В' = В ~ ~ -~Е! В) . Полезно убедиться, что полученные выражения удовлетворяют обоим инвариантам поля. ° 8.6. Движение заряда в скрещенных Е и В полях.
Нерелятивистская частица с удельным зарядом д/пт движется и области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные Е и В поля (рис. 8 7). В момент Г = О частица находилась в точке 0 и имела нулевую скорость, Найти закон движения частицьь х(7) и у(7). Р е ш е н и е. Движение частицы происходит под действием силы Лоренца, причем, как нетрудно сообразить, все время в плоскости ХУ.
Проще всего ее движение будет выглядеть в такой К'-системе отсчета, где будет наблюдаться только магнитное поле. Найдем зту систему отсчета. Из преобразований (8.4) следует, что Е' = О в такой системе отсчета, которая движется со скоростью чь, удовлетворяющей соотношению Е = — [ ч,В[. Лучше всего взять ту К'-систему, ~У' т Езу а х' Рис. 8.8 Рнс. 8.6 Рис. 8.7 скорость чр которой направлена в положительную сторону оси Х (рис.
8.7), ибо в такой системе отсчета частица будет двигаться перпендикулярно вектору В' и ее движение будет наиболее простым. Итак, в К'-системе отсчета, которая движется вправо со скоростью оь = Е/В, поле Е' = О и будет наблюдаться только поле В . Согласно (8.4) и рис. 8.7 В = В [ чьЕ[/с = В(1 — оьв/с ) Для нерелятивистской частицы оь <( с, и можно считать, что В'= В. В данной К'-системе отсчета частица будет двигаться только в магнитном поле, причем перпендикулярно его направлению. Уравнение движения частицы в этой системе отсчета будет иметь вид шоо/)с = Чоюд. Это уравнение записано для момента 1 = О, когда в К'-системе частица двигалась, как показано на рнс. 8.8. Так как сила Лоренца Г направлена всегда перпендикулярно скорости частицы, то ос = сопз1 и из (!) следует, что частица в К'-системе будет двигаться по окружности радиусом )7 = шоо/чВ.
Таким образом, частица движстси равномерно со скоростью оь по окружности в К'-системе, которая, в свою очередь, перемещается равномерно вправо также со скоростью ое = Е/В. Так ведет себя точка у на ободе колеса (рис. 8.9), катящегося с угловой скоростью ы = о ь/К = дВ/тп. Из рнс. 8.9 сразу видно, что координаты частицы о в момент ! есть х= оь1 — К гйп м1 = а(ыг — з(п ы1), у = й — й соз Ы = а (! — соз ы1), где а = тпЕ/уВ, ы = уВ/гп. ° 8.7.
В инерциаяьной К-системе отсчета имеется только однородное электрическое поле Е. Найти модули и направления векторов Е' и В' в К'-системе отсчета, движущейся по отношению к К-системе с' постояннои релятивистской скоростью чь под углом а к вектору Е. Р . 8.9 Рис. 8.!О Р е ш е н и е. Согласно формулам преобразования (8.!) с учетом того, что в К-системе В = О, получим Е~~ —— Есоз а, Ея = Ез!п а/4 — Рт, () = оь/с. Отсюда найдем модуль вектора Е'. е' /е', .те е ( а»гол а' между векторами Е' и чь по формуле Аналогичным образом найдем модуль и направление вектора В!! — — О, В» = — [чьЕ]/(с Й! — (! ), В'= В~».
Это значит, что вектор В' ! ч ь и его модуль В' = о ьЕ з! и а/( с ~ 'ч' ! — )! ~/. ° 8.8. В К-системе отсчета имеются однородные электрическоее Е и магнитное В поля одного направления. Найти модули векторов Е' и В' и угол между ними в К'-системе отсчета, движущейся с ностоннной релятивистской скоростью чь в направлении, перпендикулярном векторам Е и В. Р е ш е н и е. Согласно формулам (8.1) в К'-системе отсчета оба вектора Е' и В' будут также расположены перпендикулярно вектору чь (рис.
8.10). Модули векторов Е' и В' находим оо формулам: Е'+ (о,))' I В'+ (ь Е/ст) Е' = В'= ' — ("/') у ! — (в /с) Угол между векторами Е' н В' определим через тангенс по формуле 1д а' =- 19 (аг + ан) = (1д ае + 19 ав)/(1 — 1д ас 1д ав). Поскольку 1д аг = о ьВ/Е и 1д ав — — о ьЕ/с В (рис. 8 10), то ь(В + Е /с") (1 — Рт) ЕВ Отсюда видно, что при оь- с(8-«1) угол а'-ни/2. Можно сделать и обратное заключение: если в одной системе отсчета известны Е и В, причем угол между этими векторами меньше 90", то существуют системы отсчета, где оба вектора Е' и В' взаимно параллельны. ° 8.9. Инвариант ЕВ. Показать с помощью формул преобразования (8.!), что величина ЕВ является инвариантом. Р е ш е н и е.
В К'-системе отсчета это произведение Е'В'= (Е1+ Е,) (В„+ В») = Е!Вц+ Е, В . (1) Перепишем последнее слагаемое с помощью формул (8.!): (Е» + [чьВ 1) (В» — [чаЕ ]/с') рт Учитывая, что векторы Е» и В» перпендикулярны вектору чь, преобразуем ~ислитель выражения (2) к виду Е»В» — (оь/с) Е»В» = Е»В» (1 — 8 ), (3) где использован тот факт, что [чьВ х] ° [чьЕх] = оьВхЕхсоза= 2 = озьВ хЕх (рис. 8.11). Остальные два скалярных произведения в (2) равны нулю, поскольку векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом, правая часть равенства (!) приобретает следующий вид: Е1!В!+ ЕхВ„= Е!В!+ + Еэ Вэ —— ЕВ, что и требовалось показать. ° 8.10. Поле Е равномерно движущегося заряда.
Точечньзй заряд д движется Рис. 8.! ! равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью ч. Найти напряженность Е поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен г и составляет угол 0 с вектором ч. Р е щ е н и с. Пусть заряд движется в положительном направлении оси Х К-системы отсчета. Перейдем в К'-систему, в начале координат которой этот заряд покоится (оси Х' и Х обеих систем совпадают, осн У' и У вЂ” параллельны). В К'-системе поле Е' заряда имеет наиболее простой вид 1 ч Е' = — — г', 4ле, г' и в плоскости Х' У' 1 В,, 1 д (1) 4льа г'' ' з 4лез „ з Теперь совершим обратный переход в исходную К-систему, которая движется относительно К'-системы со скоростью — ч.
В момент, когда заряд проходит через начало координат К-системы, проекции х и у вектора г связаны с проекциями х' и у' вектора г' следующими соотношениями; х = г саз 0 = х' и'1 — рз, у = г з1п 0 = у', (2) где 8 = о/с. Здесь учтено, что продольные размеры испытывают лоренцево сокращение, поперечные же не меняются. Кроме того, согласно преобразованиям, обратным (8.2), Е„= Е'„, Е„= Е'„/4 — !)', Подставив сюда выражения (1), а в них вместо х' и у' соответствующие выражения из формул (2), получим ! д х 1 Ч у Е , Е 4лзз г'з [! рз' " 4лзз г'з .ЧТ! рз 204 Заметим, что Е,/Е = х/у, т. е. вектор Е направлен радиально, вдоль вектора г.
Дело обстоит так, как если бы эффект запаздывания вообще отсутствовал. Но это имеет место только в случае ч = сопз1, если же заряд движется с ускорением, поле Е оказывается не радиальным. Остается найти модуль вектора Е: 1 ! 22 х2 + уг 4ле т 3 2»/ 1 — р' Так как х + у = гг и согласно (2) га ге (2 2+у 2) тг 3»2,' 1 — 82 2!и 2ОЧ 1 — Р' ) то напряженность 1 д 1 — рг Е= —— 4ле гг ( „г )322 ' ° 8.11. Взаимодействие двух движущихся зарядов. Две релятивистские частицы с одинаковым зарядом д движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью и, как показано на рис, 8.12.
Расстояние между частицами !. Воспользовавшись выражением (8.7), найти силу взаимодействия между частицами. Р е ш е н и е. В данном случае угол между вектором ч одной из частиц и направлением на другую частицу б = 90', поэтому электрическая часть силы Лоренца в соответствии с формулой (8.7) в 2 гг р,= а=†(1) 4лее 12 т)! Рг и магнитная часть силы Лоренца !3 42 2 Р„= Вту= — ' (2) 4л !г )'! 52 ' Рис. 8.12 где принято во внимание, что в нашем случае В связано с Е формулой (8,5), из которой В = иЕ/с, с = 1/сере.
Заметим, что отношение реи = ( 'с), как н в нерелятивистском случае !65) Видно, чт«гч и с магнитная часть силы Г„-». 7'и Результирующая сила взаимодействия (отталкивання) — — 2 р=р — р = — — )~ — рг 4лее 12 205 Глава 9 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ $9Л. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ. ПРАВИЛО ЛЕНЦА В предыдущей главе мы установили, что существует электромагнитное поле, соотношение между «компонентами» которого — электрическим и магнитным полями — в решающей степени зависит от системы отсчета. Другими словами, обе компоненты эзсктромагнитного поля связаны друг с другом.
В этой главе мы увидим, что существует еше более глубокая связь между Е- и В-полямн и обнаруживается она в явлениях электромагнитной индукции. Открытие Фарадея. В !83! г, Фарадеем было сделано одно из наиболее фундаментальных открытий в электро- динамике — явление э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у кц и и. Оно заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока (т. е.
потока вектора В), охватываемого этим контуром, возникает электрический ток — его назвали и н д у к ц и о н н ы м. Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в контуре возникает э. д. с. и н д у к ц и н Й'и При этом весьма замечателен тот факт, что в, совершенно не зависит от того, каким образом осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяется лишь скоростью его изменения, т. е. величиной бФ/Ж. И еще, изменение знака производной бФ/д! приводит к изменению знака или «направления» К Уг Фарадей обнаружил, что инр дукционный ток можно вызвать двумя различными способами, Дальнейшее поясняет рис. 9.1, где изображены катушка К с током 1 (она создает магнитное поле) и рамка Р с гальванометром à — индикатором инРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
