И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание, что В'= В„+ Вэ = В,, приходим к формуле (8.5). 2. Если в К-снстсме имеется только магнитное поле В (а электрическое Е = 0), то в К'-системе Е' = [ у В). В самом деле, если Е= О, то В „= В /4 — р' и Е',,= О, Е ~ = [тьВ]/ Ь! — 6'. Заменив в последнем векторном произведении В на Вз и затем В на В', приходим к формуле (8.6). Из формул (8.5) и (8.6) вытекает следующий важный вывод: если в К-системе имеется лишь о д н о иэ полей (Е или В), то в К'-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярньь ( Е' ( В') .
Заметим, что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь прн определенных дополнительных ограничениях, накладываемых на модули векторов Е и В. И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (8.5) и (8.6) входят только величины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда. 198 7* Поле свободно движущегося релятивистского заряда. Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля.
Но, кроме того, они важны н в чисто практическом отношении, позволяя иногда проще решать некоторые вопросы. Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобразования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу 8.10), что линии Е поля свободно движущегося точечного заряда д имеют вид, показанный на рис. 8.3, где ч — скорость заряда. Изображенная здесь картина соответствует мгновенной «фотографии» конфигурации электрического поля.
ВекР»с 8.3 тор Е в произвольной точке Р системы отсчета направлен в д о л ь радиуса-вектора г, проведенного нз точки, !де находится заряд в данный момент, в точку Р. Модуль вектора Е определяется формулой ! д ! — рф (8 т) а»о г (! 62»1,» 6) где (! = о/с; д — угол между радиусом-вектором г и вектором ч — скоростью заряда. Электрическое поле «сплющивается» в направлении движения заряда (см.
рис. 8.3), причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда и к скорости с. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, «перемещается» вместе с зарядом, вследствие чего поле Е в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменяется со временем, Зная поле Е, можно найти и поле В в этой же системе отсчета: В = — (чв( =— Ио ц [чг) ! — 6' (8.8) г~ 4л Р ( .„~ )и' Эта формула является следствием соотношения (8.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно ч на — ч.
196 При о « с (() « 1) выражения (8,7) н (8.8) переходят соответственно в (1.2) и (6.3). 4 8.4. ИНВАРИАНТЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Поскольку векторы Е и В, характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета (в той же самой пространствснно-временной точке), возникает естественный вопрос об инвариантах, т. е.
не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля. Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой комбинации векторов Е и В, это (8.9) Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей (8.! ) или (8.2). Более подробно этот вопрос рассмотрен в задаче 8.9. Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания.
Приведем наиболее важные нз них. 1. Из инвариантнасти ЕВ сразу следует, чта в случае, когда в какай-либо системе отсчета Е ) В, т. е, ЕВ = О, та и ва всех других инерциальиых системах отсчета Е'! В'. 2. Из инвариантнасти Š— с В следует, чта в случае, когда 2 2 2 Е= сВ (т. е. Š— с В = О), та и в любой другой инерциальнай 2 2 э системе отсчета Е' = сВ'. 3. Если в какой-либо системе отсчета угол между векторами Е и В острый (или тупой), — эта значит, чта ЕВ больше (либо меньше) нуля,— то угол между векторами Е' и В' также будет острым (или тупым) ва всякой другой системе отсчета. 4.
Если в какой-либо системе отсчета Е'= сВ (нли Е(сВ)— эта значит, чта Š— с В больше (либо меньше) нуля,— та в 2 2 2 любой другой системе отсчета будет также Е' сВ' (или Е' < сВ'), 5. Если оба ннварианта равны нулю, то ва всех системах отсчета Е.! В и Е = сВ. Именно эта и наблюдается, как мы увидим, в электромагнитной волне. 6. Если равен нулю только инвариант ЕВ, та можно найти такую систему отсчета, в которой или Е' = О, или В' = 0; какое именна, определяется знаком другага ни варианта.
Справедливо и обратное утверждение: если в какой-либо системе отсчета Е = 0 или В = О, та ва всякой другой системе отсчета Е' .1 В'. (Этот вывод был уже в $8.3.) 197 И последнее. Нужно помнить, что поля Е и В, вообпте говоря, зависят и от координат, и от времени, Поэтому каждый из инвариантов (8.9) относится к одной и той же пространственно-временной точке поля, координаты и время которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца. Задачи ° 8.1. Частный случай преобразования полей.
Нерелятивиггский гочечньш' заряд д движсгсн с постоянной скоростью ч. Найти с помощью формул преобразования полей магнитное поле В этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиус-вектором г. Р е ш е н и е. Перейдем в К'-систему отсчета, связанную с зарядом.
В этой системе имеется только кулоновское поле напряженностью д и' = — — „г, 4пг„г" где учтено, что в К'-системе радиус-вектор г' = г (нерелятивистский случай). Теперь перейдем обратно, из К'-системы в К- систему, ко~прая движется относительно К'-системы со скоростью — ч. Для этого воспользуемся формулой для поля В из (8.4), в которой роль штриховаиных величин будут играть нештрихованные (и наоборот), а скорость чь надо заменить на — чь (рис. 84). В нашем случае чь = ч, поэтому В = В'+ (чЕ(/с~, Учитывая, что в Кссистеме В' = О и что с = 1Г'еьрь, находим г Нь д(чг( В = — —. 4п Мы получили формулу (8.3), которая ранее была постулиро вана как результат обобщегшя опытных фак~ов.
° 8.2. Большая пластинка из однородного диэлектрика с' пронииаемосгью е движется с постоянной нерглягивистской скоростью ч в однородно,ч магнитно,и поле В, как показано на рис, 8 5. Найти поляризованносгь Р диэлектрика и поверхностную плотность и' связанных зарядов. Рис. 8.5 Рис. 8.4 198 Р е ш е н и е. В системе отсчета, связанной с пластинкой, будет наблюдаться кроме магнитного поля и электрическое, обозначим его Ее. Согласно формулам преобразования полей (8.4) Ее = (ъ В]. Поляризованность диэлектрика е — ! Р=ке Е'=е (чВ), е 0 где учтено, что внутри диэлектрика согласно (3.29) Е' = Ее /е.
Поверхностная плотность связанных зарядов е — ! )о') = Р = е — оВ, е причем на той поверхности пластинки, которая обращена к нам (рис. 8.5), о' ) О, на противоположнои о' (О. ° 8.3. Имеется незаряженный длинный прямой провод с током Е Найти заряд на единицу длине! этого пропода в систелш отсчета, движущейся поступательно с нерелятиоистской скоростью ое вдоль проеодника в направлении тока Е Р е ш е н и е. В движущейся системе отсчета согласно формулам преобразования (8.4) появится электрическое поле Е' = =[ в,В),или Е. = — ионе//2яг. Здесь выражение для В получено с помощью теоремы о циркуляции, С другой стороны, по теореме Гаусса (в движущейся системе отсчета) Е, = Л'/2пвег, (2) где Л' — заряд на единицу длины провода. Из сравнения (!) и (2) находим Л' = — ое!/с, е где с = 1/сера. Происхождение этого заряда связано с различным лоренцевым сокращением, которое испытывают «цепочки» положительных и отрицательных зарядов (ведь нх скорости разные!) .
° 8.4. В К-системе отсчета имеется узкий пучок протонов, движущихся с релятивистской скоростью о. На некотором расстоянии от пучка напряженность электрического поля равна Е. Найти индукцию В' магнитного поля на том же расстоянии от пучка в К'-системе отсчета, перемещающейся со скоростью оь относительно К-системы в направлении движения протонов.
Решение. Этот вопрос проще всего решить с помощью формул (8.1). Но предварительно надо найти индукцию В в К-системе на том же расстоянии от пучка, где задана напряженность Е. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и теоремой Гаусса для вектора Е, найдем: В = ро1/2яг, Е = А/2пеег, где г — расстояние от пучка, 1 = ко — сила тока, й — заряд на единицу длины пучка. Из этих формул следует, что В/Е = е,ие1/Х = о/ст, здесь с = 1/сере. Подставив выражение для В из этого ураа- 2 кения в последнюю нз формул преобразования (8.1), получим: Е )с — о,( В'= При атом, если оз(о, то линии вектора В' имеют правовинтовое направление с вектором и,, если же о, ~ о, то — левовинтовое (ибо ток 1' в К'-системе в этом случае будет течь в обратную сторону). ° 8.5.
Релятивистская заряженная частица движется в пространстве, где имеются однородные взаимно перпендикулярные электрическое и маенигное поля Е и В. г/астана движется прямолинейно по направлению, перпендикулярному векторам Е и В. Найти Е' и В' в системе отсчета, перемещающейся поступательно вместе с частицеи. Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
