И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. в конечном счете знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину Е „мы должны считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, т. е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции.
Другими словами, Е „) О, если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае Е,д(0. В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины Е „(рис. 9.12) . 222 где У, — сторонняя э. д. с.
в контуре 1 (помимо индукционных э. д. с.); Е, — индуктивность контура 1. Аналогичное уравнение можно записать и для определения силы тока 1, в контуре 2. Отметим, что на явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов — устройств, служащих для преобразования токов и напряжений. Замечание о знаке Е „. В отличие от индуктивности Е, которая, как было сказано, является существенно положительной величиной, взаимная индуктивность Е м — величина а л г е б р а н ч е с к а я (в частности, равная нулю) .
Это связано с тем обстоятельством, что, например в (9.23), величины Ф, и 1, относятся к р а з н ы и контурам. Из рис. 9.9 сразу видно, что знак магнитного потока Ф, при данном направлении тока 1, будет зависеть от выбора нормали к поверхности, К 06 $ 95. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Магнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность !. и сопротивление гг, на источник тока с э. д. с. У,, В контуре, как мы уже знаем, начнет возрастать ток.
Это приводит к появлению э. д. с. само- индукции У,. Согласно закону Ома )г! = У, + У„откуда 9',= й! — И,. Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы (т. е. источник У,) за время й. Для этого умножим предыдущее равенство на ! й: Юа! Ж = й! й — Ж! ой учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение Ж, = = — дФ/й, запишем 6А „„= 69 + ! бФ. Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и йР ) 0 (если ! - 0), работа, которую совершает источник Я ь оказывается б о л ь ш е выделяемой в цепи джоулевой теплоты. Часть этой работы (дополнительная работа) совершается п р о т и в э. д. с.
самоиндукции. Заметим, что после того как ток установится, дФ = 0 и вся работа источника У„ будет идти только на выделение джоулевой теплоты. Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против э. д. с. самоиндукции в процессе установления тока: бА '""" = ! ош. (9.27) Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его выводе не вводилось никаких предположений относительно магнитных свойств окружающей среды. Теперь (н далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда дФ = !. й и 6Л"" = Е! й. (9.28) Проинтегрировав это уравнение, получим А"" = !.!'(2.
По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил (ЯГ,) идет на увеличение внутренней 223 энергии проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть — в процессе установления тока — на что.то еще. Это «что.то» есть не что иное, как магнитное поле, именно его появление и связано с появлением тока. Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью Е, по которому течет ток 7, обладает энергией (9.2в] Ю = /27 ( l21Ав0П 1 1 Л так как п! = 0 = В/~ц~,,то В' вн Яг = — и = — Г, 2ии 2 (9.30) Зта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем У (как в нашем случае с соленоидом).
В общей теории показывается, что энергию )Р' можно выразить через векторы В и Н в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом Ю. Отсюда, как и в случае электрического поля, мы приходим к выводу, что магнитная энергия также локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем. Эту энергию называют магнитной энергией тока или собственной энергией тока, Она может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников, если отключить источник 8, так, как показано на рис.
9.7: быстро повернуть ключ К из положения б в положение а. Энергия магнитного поля. Формула (9.29) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию В. Убелимся, что это так сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффектами). Подстановка в формулу (9,29) выражения Е = рр,п'сдает Из формул (9.30) и (9.31) следует, что магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью (9.32) Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам, для которых зависимость В от Н линейная, т. е. р в соотношении В = )ь)зоН не зависит от Н.
Другими словами, выражения (9,3!) и (9.32) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы*. Отметим также, что магнитная энергия — величина существенно положительная. Это легко усмотреть из последних двух формул. Еше об обосновании формулы (9.32). Убедимся в справедливости этой формулы, рассуждая в «обратном» порндке, а именно покажем, что если формула (9.32) справедлива, то магнитная энергия контура с током )Р = ь/-/2 С этой целью рассмотрим магнитное поле произвольного конт>ра с током I (ряс. 9.(3).
Представим все поле разделенным на элсмен тарные трубки, образующие которых являются лнниямн вектора В. Выделим в одной нз таких трубок элементарный объем АУ = бм5 В соответствии с формулой (932) в этом объеме локализована энергия '/»ВН6/35. Теперь найдем энергию д)Р в объеме всей элементарной трубки Для этого проинтегрируем послЕднее выражение вдоль оси трубки. Поток АФ = Вд5 сквозь сечение трубки пос.
тоянен вдоль всей трубки, поэтому АФ можно Вынести за знак интеграла: б(р = — (у//ш= / —, бб> с ААФ 2 (3 2' Рнс. ! !.3 где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случае проекции Н, = и) И наконец, просуммир>ем энергию всех элементарных трубок: (Р= !У,/~ бб> = /ФУ2= /./'У2, где ц! — поЛный магнитный поток, охватываемый контуром с током, Ф = ЕД Это и требовалось показать. * Это обусловлено тем, что н конечном счете выражения («ЕЗ() и (9.32) являются следствннми формулы бА«"» = /ВФ и того факта, что при отсутствии гистерезиса работа ЗА"" идет только на приращение магнитной энергии д(р. Лля ферромагнитной среды дело обстоит иначе: работа 6А»м идет еще и иа приращение внутренней энергии среды, т.
е. на ее иагревание. Определение индуктивности из выражения энергии. Мы ввели индуктивность 1. как коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком Ф н током !. Существует, однако, и другая возможность расчета 1. из выражения энергии. В самом деле, из сопоставления формул (9.31) и (9.29) следует, что при отсутствии ферромагнетика (9. 33) Нахождение Е таким путем свободно от неопределенности, связанной с вычислением магнитного потока Ф в формуле (9.14) — см. с. 215. К каким расхождениям иногда приводит определение Т.
по формуле (9.33) и из выражения потока (9.14), показано в задаче 9.9 на примере коаксиального кабеля. 9 9.9. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ДВУХ КОНТУРОВ С ТОКАМИ Собственная и взаимная энергии. Возьмем два неподвижных контура 1 и 2, расположив их достаточно близко друг к другу (чтобы была магнитная связь между ними), Предполагается, что в каждом контуре есть свой источник постоянной э. д, с. Замкнем в момент 1 = О каждый нз контуров.
Как в том, так и в другом контуре начнет устанавливаться свой ток и, следовательно, появятся э. д. с. самоиндукцни И", и э. д, с. взаимной индукции И',. Дополнительная работа, совершаемая при этом источникамн постоянной э.
д. с. п р о т и в м, н м„идет, как мы уже знаем, на создание магнитной энергии, Найдем эту работу за время 31; (9н + Нл) ~! ~~1 (Им+ Ян) ~2 ~~1 Преобразуем эту формулу, учитывая, что Н'н= — (., б),/д(, 9Гл= 1 дб)2(б)ит д' а)г'= 7.,1, 61, + Е,21, о)9+ $.,12 Ыз+ ) 2,12 б)ь Имея в виду, что ) „ = Т.м, представим последнее уравнение в виде д йг = д (Е,!,!2) + д (Е ~!.„~2) + й (й д),l 3), откуда 19.34) Здесь первые два слагаемых называют с о б с т в е н н о й э н е р г и е й тока 1, и тока 1ь последнее слагаемое— в з а и м н о й э н е р г и е й обоих токов. Взаимная энергия токов — величина алгебраическая в отличие от собственных энергий токов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
