И.Е. Иродов - Основные законы электромагнетизма (1115516), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Изменение направления одного из токов приводит к изменению знака взаимной энергии — последнего слагаемого в (9.34). Пример. Имеются два концентрических контура с токами /, и 1,, направления которых показаны на рис. 9.!4. Взаимная энергия этих токов ()р и = /.ы/,/э) зависит от Рис 9.ы трех алгебраических величин, знаки которых определяются выбором положительных направлений обхода обоих контуров. Полезно, однако, убедиться в том, что знак величины ((г,э (в данном случае Ж',4 - 0) определяется только взаимным направлением самих токов и совершенно не зависит от выбора положительных направлений обхода контуров. Напомним, что о знаке величины / и говорилось в Э 9.4. Полевая трактовка энергии (9.34).
Есть несколько важных вопросов, которые мы сможем решить, вычислив магнитную энергию двух контуров еще и иначе — с точки зрения локализации энергии в поле. Пусть В, — магнитное поле тока 1 ь а В, — поле тока /ь Тогда по принципу суперпозиции поле в каждой точке В = В, + В, и согласно (9.31) энергия поля этой системы токов )Р' = ~ (В '/2р/4,) с((/. Подставив сюда В '= В,'+ + В,,~+ 2В В „, получим (э.зв) Соответствие друг другу отдельных слагаемых в формулах (9.35) и (9.34) не вызывает сомнения. Формулы (9.34) н (9,35) приводят к таким важным следствиям.
!. Магнитная энергия системы двух (и более) токов— величина всегда положительная, (У/) О. Это вытекает из того факта, что (Г/ со ~ В' д(/, где под интегралом стоят положительные величины. 2. Энергия токов — величина не аддитивная (из-за наличия взаимной энергии). 3. Последний интеграл в (9.35) пропорционален произведению токов 1/ь так как В, сю 1, и В,со1,. Коэффициент 227 же пропорциональности (т. е. оставшийся интеграл) ока- зывается симметричным относительно индексов ! и 2, а поэтому его можно обозначить !.
„ или !.м (в соответ- ствии с формулой (9.34)). Таким образом, действительно М !'эе 4. Из выражения (9.35) вытекает другое определение взаимной индуктивности !. „. В самом деле, сопоставление выражений (935) и (9,34) показывает, что в,в, и (9.66) т,т2 иио 4 9.7. энеРГия и силы в мАГнитнОм пОле Наиболее общим методом определения сил в магнитном поле является энергетический. В этом методе используют выражение для энергии магнитного поля.
Ограничимся случаем, когда система состоит из двух контуров с токами!, и 1ь Магнитная энергия такой систе. мы может быть представлена в виде !р = '/, (1, а, + 1,аэ.,), где Ф, и Фа — полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1 и 2 соответственно. Это выражение нетрудно получить из формулы (9.34), если представить последнее слагаемое как сумму '/~!. „1,1, + '/К „1,,1 и а затем учесть, что Ш ~ = 1- 1! ~ + !. м ! э ш ~ = ! 2 ! з + !. м ! ь (9. 38) Согласно закону сохранения энергии работа бА*, которую совершают источники тока, включенные в контуры! и 2, идет на теплоту 69, на приращение магнитной энергии системы б)9' (из-за движения контуров или изменения токов в них) и на механическую работу 6А „,„ (вследствие перемещения или деформации контуров): 6Л* = 6!) + о1г'+ 6Л„,„.
(9.39) Мы предположили, что емкость контуров пренебрежимо мала, и поэтому электрическую энергию учитывать не будем. В дальнейшем нас будет интересовать не вся работа источника тока ЬАь, а только та ее часть, которая совершается против э. д, с. индукции и самоиндукции (в каждом контуре). Эта работа (мы назвали ее дополнительной) равна 228 6А"" = — (9'и + У„) /, 6/ (У р+ М' ) / 6/. Учитывая что для каждого контура ЯГ, + а, = — 6Ф/г(/, перепишем, выражение для дополнительной работы в виде 6А"" = /, <НВ, + /и дФе (9.49) Именно эта часть работы источников тока (работа против э.
д, с. индукции и самоиндукции), связанная с изменением потоков Ф, и Ф,, и идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую работу: /, дФ, +/э ЛФз= АЖ+ 6А„„„. (9.41) Зта формула является о с н о в н о й для расчета механической работы 6А„„, а из нее и сил в магнитном поле. Из формулы (9.4!) можно получить и более простые выражения для 6А „„, если считать, что в процессе перемещения остаются неизменными или все магнитные потоки сквозь контуры, нли токи в них. Рассмотрим это более подробно. 1. Если потоки постоянны, Ф„ =- сопз1, то из (9.41) сразу следует, что [И „„= ~Ч ~е.]~ (9.42) гдс символ Ф подчеркивает, что приращение магнитной энергии системы должно быть вьшисленно при постоянных потоках через контуры. Полученная формула аналогична соответствующей ей (4.!5) для работы в электрическом поле.
2. Если токи постоянны,/, = сопз1,то 6А „,„, = 69г)ь (9.43) действительно, при /, = сопз1 из формулы (9.37) следует, по 6®(г= /г(/~6Ф~+/тйФе), т. е. в этом случае приращение магнитной энергии системы Равно согласно (9.40) половине дополнительной работы источников э. д. с. Другая половина этой работы идет на совершение механической работы.
Иначе говоря, при постоянстве токов г) (9'(, = 6А „,„, что и требовалось показать. Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения (9.42) и (9.43) определяют механическую работу одной и той жс силы, т. е. можно написать: (9.44) Для вычисления силы с помощью этих формул, конечно, нет необходимости подбирать такой режим, при котором обязательно оставались бы постоянными или магнитные потоки, или токи. Надо просто найти приращение д(ьт магии~ной энергии системы при условии, что либо Ф „ = = сопз(, либо I„ = сопз(, а это является чисто математической операцией.
Ценность полученных выражений (9.42) и (9.43) в их общности: они пригодны для системы, состоящей из любого числа контуров — одного, двух и т. д, Рассмотрим несколько примеров на применение этих формул. Пример !. Сила в случае одного контура с током. Имеется контур с током, у которого А — подвижная перемычки (рис. 9.!5). Индуктивность этого контура зависит определеннььи образом от координаты х, т. е. известно Е (х). Найти силу А.чпери, действующую на перемычку, двумя способами; при 1 = сопз! и при Ф = сопз!.
В нашем случае магнитную энергию системы можно представить согласно (9.29): %'= Е! 12 = Ф~/21., где Ф = 1.1. Переместим перемычку, например, вправо на дх. Так как бА „,„= Р„дх, то дгтт !т дЕ р,= — ( дх ' 2 дх' или дФ' Фг дЕ 1т дЕ дх ь 2Е'-' дх 2 дх т. е. расчет по обеим формулам согласно (9.44) дает один н тот же результат. Пример 2. Взаимодействие двух катушек с токами.
На нел~агнитный сердечник (рис. 9. !6) надеты катушки 1 и 2 с токами 1, и 1,. Пусть взаимная индуктивность катушек зависит от расстояния х между ними по известному закону Е и (х). Найти силу взаимодействия между катушками. 230 Ркс. 9дб Ркс. 9дб Магнитная энергия системы из двух катушек даетси формулой (9.34). /(ля определения силы взаимодействия будем пользоваться выражением (9.43).
Сместим катушку 2 на расстояние бх при неизменных токах 1, и 1 . Соответствующее приращение магнитной энергии системы г(Ф')г = / /з 66,э (х). Так как элементарная механическая работа 6А „,„ = Гэ„ бх, то согласно (9.43) получим д/и(х) 2 ~ 2 дх Пусть токи /, и /з подмагничивают друг друга, тогда 1 м ) О и при дх ) О приращение г(1 м < О, т. с. Е „С О. Следовательно, сила, действующая на катушку 2 со стороны катушки 1, является силой притяжения: вектор Гэ направлен влево на рисунке. Пример 3. Магнитное давление на обмотку соленоида. Увеличим мысленно радиус сечения соленоида на бг, сохраняя при этом неизменным ток /через обмотку.
Тогда силы Ампера совеРшат РаботУ 6А „,„= г( 92 (ь В нашем слУчае 6Л „,„=- р5 бг, где р — искомое давление, 5 — боковая поверхность соленоида; гВ х Н' д кг(, = 6 ~ Ь') = — 5 пг. ~, 2н, ) 2п, Здесь учтено, что при ! = сонэ( и В = сонэ(. Из равенства двух этих выражений находим Р= В !2нм Магнитное давление. Полученное в последнем примере выражение для давления можно обобщить на случай, когда по разные стороны от поверхности с током (током проводимости или током намагничивания) магнитное поле 231 В Рис. 9.!8 Рис. 9.!у Теперь найдем соответствующее приращение магнитного потока сквозь контур.
С этой целью обратимся к рис. 9.18. Пусть за время д! наш контур переместился из положения Г, в положение Ге Если в первом положении магнитный поток через поверхность 5 н натянутую на контур, был равен Ф н то соотаетствук>щий магнитный поток во втором положении контура может быть представлен как Ф, + бФ, т. е. как поток через поверхность 5 + с)5. Здесь бФ вЂ” интересующее нас приращение магнитного потока сквозь узкую полоску о5,.ограниченную контурами Г, и Гт. С помощью рис. 9,18 запишем бФ=~ Вдз=~ В]бг,й(]= — !~1]дг,В]Л.
(2) Здесь: 1) направление нормали и согласовано с направлением обхода контура — вектором д! (правовинтовая система); 2) направление вектора дз — элемента площади полоски — согласовано с выбором нормалей п; 3) использована циклическая перестановка в смешанном произведении: а ] Ьс] = Ь ]са] = с ] аЬ] = — ] Ьа] с. Разделив выражение (2) на Ж, найдем дФ/дг = — !)> ]чВ] 81, (3) где ч = дг/дй Остается сравнить (3) с (!), откуда и следует, что 9; = — дФ/Ы ° 9.3. Плоская спираль с большим числом Лl витков, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости спирали (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
