И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Днфракция от щели. Бесконечно длинную щель можно образовать, расположив рядом две обращенные в разные стороны полу- плоскости. Следовательно, задача о дифракции Френеля от щели может быть решена с помощью спирали Корню. Волновую поверхность падающего света, плоскость щели и экран,'на котором наблю. $!2Ь ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ ПРЕГРАД 398 дается днфракционная картина, будем считать параллельнымидруг другу (рнс. 128.14).
Для точки Р, лежащей против середины щели, начало и конец результирующего вектора находятся в симметричных относительно начала координат точках спирали (рис. 128.16). Если сместиться в точку Р', лежащую против края щели, начало результирующего йпнньмн пов~ннвппь 11! Рис. 128.!5. Рис, 128.14. вектора переместится в середину спирали О. Конец вектора переместится по спирали в направлении полюса Рь При углублении в область геометрической тени начало н конец результирующего вектора будут скользить по спирали и в конце концов окажутся на наименьшем расстоянии друг от друга (см.
на рнс. 128.16 вектор, соответствующий точке Р"). Интенснвность света достигнет прн атом минимума, При дальнейшем скольжении по спирали начало и конец вектора снова отойдут друг от друга и интенсивность будет расти. То же самое будет происходить прн смещении из точки Р в противоположную сторону, так как дифракционная картина симметрична относительно середины щели. Если изменять ширину щели, сдвигая полуплоскостн в противоположные стороны, интенсивность в средней точке Р будет пульсировать, проходя попеременно через максимумы (рис. 128.16, а) и отличные от нуля минимумы (рнс.
128.16, б). Итак, френелевская дифракционная картина от щели представляет собой либо светлую (в случае, изображенном на рис. 128.16, а), либо относительно темную (в случае, изображенном на рис. 128.16, б) центральную полосу, по обе стороны которой располагаются симметричные относительно нее чередующиеся темные и светлые полосы. При большой ширине щели начало и конец результирующего вектора для точки Р лежат на внутренних витках спирали вблизи полюсов РГ н РФ Позтому интенсивность света в точках, располо- ГЛ. ХЩП. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА женных против щели, будет практически постоянной. Только на границах геометрической тени образуется система густо расположенных узких светлых и темных полос. Рнс.
126.16. Заметим, что все полученные в данном параграфе результаты справедливы прн условии, что радиус когерентности падающей на преграду световой волны намного превосходитхарактерный размер преграды (диаметр отверстия или диска, ширину щели и т. п.). 9129. Дифракция Фраунгофера от щели Пусть иа бесконечно длинную ') щель падает плоская световая волна (рис. 129.1). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы — экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая р ~ не1е(о в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова.
Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоЭсчгн скости рис. 129.1. Все вводимые в даль- нейшем величины, в частности угол ~р, Рнс. !29.1. образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.' Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширины Нх. Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом гр, соберутся в точке экрана Р.
Каждан элемента рван зона создаст в точке Р колебание г(Е. Линза собирает в фокальной плоскости плоские (а не т) Практически доствточно, чтобы данна щелк была но много раз больше, чем ее ширина. э 129. ДИФРАкция ФРАунГОФеРА от щели 401 сферические) волны. Поэтому множитель 1/г в выражении (126.1) для г(Е в случае дифракции Фраунгофера будет отсутствовать. Ограничившись рассмотрением не слишком больших углов у, можно коэффициент К в формуле (126.1) считать постоянным. Тогда амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны.
Площадь пропорциональна ширине эоны дх. Следовательно, амплитуда дА колебания бЕ, возбуждаемого зоной ширины дх в любой точке экрана, имеет вид йА=С дх, где С вЂ” константа. Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, воз- буждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через А,.
Ее можно найти, проинтегрировав йА по всей ширине щели Ь: ь А, = ~ йА = ~ С Нх = СЬ. а Отсюда С=А,/Ь, и, следовательно, (А ~е ( Ь Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями дЕ. Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р элементар- ными зонами с координатами 0 и х (рис. 129.1). Оптические'пути ОР и (~Р таутохрониы (см.
рис. 117.2). Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути Ь, равном х яп ~р. Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке Р элементарной зоной, находящейся в середине щели (х/ 6), положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой х, будет равна Л 2п — 2а — = — — х яп <р Х Х (Х вЂ” длина волны в данной среде). Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой х в точке Р (положеиие которой определяется углом ~р), может быть представлено в виде г(Е = ( —,' дх~ ехр ~ /(м/ — — хз!п~р) ) (129.!) (имеется в виду вещественная часть этого выражения). Проинтегрировав выражение (129.1) по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке Р откры- ваемым щелью участком волновой поверхности; +ыз Е = ) — 'ехр ~(~Ы вЂ”,~ хз)п<р)~ Дх.
-мэ Гл. хтп!. диФРАкция сВетА 402 Вынесем множители, ие зависящие от х, за знак интеграла. Кроме того, введем обозначение у = — з(п ~р. Л (129. 2) В результате получим эмг +ь/г ь а!м! ~ э-г!т» т(х ь э™ о — том д Аь ! Ь Ь ( (— 2!т) -ь/г -Ыг Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду Ао результирующего колебания. Приняв во внимание, что разность экспонент, деленная иа 2!, представляет собой з(п рЬ '), можно написать: А 1 ь!отЬ 1 ь/о (пЬ Мп <р/Л) (129.3) 1Ь ь пЬ Мо м/Л (мы подставили значение (129.2) для у).
Выражение (129.3) является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания: А ) А ь!п(пьмпФ/Л) ~ (129,4) пь 5!и фЛ Для точки, лежащей против центра линзы, ~р=О. Подстановка этого значения в формулу (129.4) дает для амплитуды значение А, *). Этот результат можно получить более простым путем.
При у= — О колебания от всех элементарных зон приходят в точку Р в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний. При значениях тр, удовлетворяющих условию: пЬ з!п тр/Л=~йгт, т. е. в случае, если Ьз( р=~йЛ (й=1,2,3,...), (!29.5) амплитуда Ао обращается в нуль. Таким образом, условие (129.5) определяет положения минимумов интенсивности.
Отметим, что Ь з!и !р представляет собой разность хода б лучей, идущих в точку Р от краев щели (см. рис. 129.1). Условие (129.5) легко получить из следующих соображений. Если разность хода /Л от краев щели равна ~ЬЛ, открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2/т равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна Х/2 (см. '! См. 45! 1-то тома.
') Напомним, что !!пг(ь!пи/и)=1 (ори мьлма и можао полагать ь!и и:и). и- ь $ !22. ДИФРАЕЦИЯ ФРАУНГОФЕРА ОТ ЩЕЛИ 4ОЗ рис. 129.2, выполненный для й=2). Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки Р разность хода о равна ~(/с+22) Л, число эон будет нечетным, действие одной из иих окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, Следовательно, в соответствии с (129.4) 51п (пЬ Мп 93/Л) (129.6) (пЬ мп ~р/Л)2 где 1,— интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы), 1 — интенсивность в тачке, положение ноторой опреде- 12.Р4 ляется данным значением <р. Из формулы (129.6) получается, ~ ° А!Ь что Е =у, . Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси х иа рис. 129,1) Рис. !29.2. дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы). Напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране, График функции (129.6) изображен на рис.
129.3. По оси абсцисс отложены значения э(п 92, по оси ординат — интенсивность 1„. -гЬ ЬА Рис. !29.2. Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели Ь к длине волны Л. Из условия (129.5) следует, что э!И ф=~йЛ/(/. Модуль яп !р не может превысить единицу. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
