И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 79
Текст из файла (страница 79)
130.1 видно, что разность хода от соседних щелей равна |Л=а(э(п |р. Следовательно, разность фаэ 6 = 2п — = — р( з! п |р, а 2л (130.2) где Л вЂ” длина волны в данной среде. Подставив в формулу (130.!) выражение (129.6) для 1„и (130.2) для 6, получим а|па(лЬ Мп ар/Л) Мп'(Ила а|парил) (130.3) Рааа= а (лэып~р~Л)а а|па(па| а|пяд|) (1,— интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы).
Первый множитель в (!30.3) обращается в нуль в точках, для которых 6 э!п ар=~йЛ (й=1, 2, 3,...). (130. 4) В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в от- дельиости, равна нулю (см. условие (129,5)). 1!30. диФРАКционнля РешстКА Второй множитель в (130.3) принимает значение !Уэ в точках, удовлетворяющих условию б з!п ф=~гпХ (т=0, 1, 2,...) (130.5) (см. (124.7)).
Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна А,„= Л/А„ (130.6) (Ач — амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом ф). Условие (130.5) определяет положения максимумов интенсивности, называемых г л а в н ы м и. Число т дает по р я до к главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два. Возведя равенство (130.6) в квадрат, получим, что интенсивность главных максимумов 1,„в !У! раз больше интенсивности 7„, создаваемой в направлении ф одной щелью: (130.7) Кроме минимумов, определяемых условием (130.4), в промежутках между соседними главными максимумами имеется (й! — 1) добавочных минимумов.
Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. В соответствии с формулой (124.8) направлении добавочных минимумов определяются условием пз1п э= ~ — Х ы Ф (130.8) (й' = 1, 2, ..., й! — 1, М + 1, ..., 2й! — 1, 2Ф + 1, ...). В формуле (130.8) й' принимает все целочисленные значения, кроме О, й1, 2%,..., т. е. кроме тех, при которых условие (130.8) переходит в (130.5). Условие (130.8) легко получить методом графического сложения колебаний.
Колебания от отдельных щелей изображаются векторами одинаковой длины. Согласно (130.8) каждый из последующих векторов повернут относительно предыдущего на один и тот же угол 2п . 2я 8 = — 0зшср = — й'. Х М Поэтому в тех случаях, когда й' не является целым кратным У, мы, пристраивая начало следующего вектора к концу предыдущего, получим замкнутую ломаную линию, которая делает а' (при й'» И/2) или й! — й' (при й'~Ф/2) оборотов, прежде чем конец У-го вектора упрется в начало 1-го. Соответственно результирующая ГЛ.
ХЧП!. ДИФРАКЦНЯ СВЕТА 410 амплитуда оказывается равной нулю. Сказанное пояснено на рис. 130.2, на котором показана сумма векторов для случая Ь// 9 и значений й', равных 1, 2 и /У вЂ 1. Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно /У вЂ” 2. В 3 124 было показано, что интенсивность вторичных максимумов не превышает '/„интенсивности ближайшего главного максимума. 3 7 ~~а ,5 «'=и-/ 3'=г Рис.
130.2. На рис. 130.3 приведен график функции (130.3) для /ч'=4 и и/Ь=З. Пунктирная кривая, проходяшая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на /Чз (см. (130.7)). При взятом на рисунке отношении периода решетки к ширине щели (11/Ь=З) главные максимумы З-го, -.л А-'.- ЯУ/)1;,',):- Ряс. 130.3.
6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают, Вообще из формул (130.4) и (130.5) вытекает, что главный максимум т-го порядка придется на /т-й минимум от одной щели, если будет выполнено равенство: та=А/Ь„или т/л=г//Ь. Это возможно, если сУЬ равно отношению двух целых чисел г и 3 (практический интерес представляет случай, когда зти числа невелики).
Тогда главный $130. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА 4! ! максимум г-го порядка наложится на з-й минимум от одной щели, максимум 2г-го порядка — на 2з-й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков г, 2г, Зг и т. д. будут отсутствовать. Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки и' к длине волны Л. Модуль з!п д не может превысить единицу. Поэтому из формулы (130.5) вытекает, что (130.9) Определим угловую ширину центрального (нулевого) максимума.
Положение ближайших к нему дополнительных минимумов определяется условием г( з!п 1Р=~Л11У (см. формулу (130.8)). Следовательно, этим минимумам соответствуют значения 1Р, равные загса!п(Л1'У4. Отсюда дяя угловой ширины центрального максимума получается выражение зх 81Р, = 2агсзйп д ж— А1Н (130.10) (мы воспользовались тем, что Л/ЛЫ((1). Положение дополнительных минимумов, ближайших к главному максимуму т-го порядка, определяется условием: т! з!и ф=(гп~- ~1/!У) Л. Отсюда получается для угловой ширины и-го максимума следующее выражение: !Т Л .
/ !Т Л Ьр = агсзйп ! гл+ — ~ — — агсгйп ~т — — ~ —, м) а. Введя обозначения тЛ~б=х и ЛПИ=1Ах, можно представить эту формулу в виде 81р„= агсз!и (х+ 1зх) — агсз!и (х — 11х). (130.11) При большом числе щелей значение Лх=Л11тд будет очень мало. Поэтому можно положить агсз!п(хайя)=агсз(пх~(агсз!пх)' Лх, Подстановка этих значений в формулу (!30.! !) приводит к прибли- женному выражению 81р„ж 2 (агсз!пх)'Лх — —,, „и. (130.12) у ! —. ° у ! — т (А~а! А'а ' При т=0 это выражение переходит в (!30.
!О). Произведение Жд дает длину дифракциониой решетки. Следова- тельно, угловая ширина главных максимумов обратно пропорцио- нальна длине решетки. С увеличением порядка максимума гп ширина Ьр возрастает. Положение главных максимумов зависит от длины волны Л. Поэтому при пропускании через решетку белого света все макси- мумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный— наружу.
Таким образом, дифракционная решетка представляет собой ГЛ. ХЮМ. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 4!2 спектральный прибор. Заметим„что в то время как стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи. На рис. 130.4 изображены схематически спектры разных порядков, давземые решеткой при пропускании через нее белого света. В центре лежит узкий максимум нулевого порядка; у него окрашены только края (согласно (130.10) бррр зависит от А).
По обе стороны от центрального максимума расположены два спектра 1-го порядка, затем два спектра 2-го порядка и т. д. Положения красного конца спектра т-го порядка и фиолетового конца спектра (т+1)-го порядка определяются соотношениями 0,76 . 0,40 5!ПГРиР = т с е ЫП узнал (т+ !) с э где 4( взято в микрометрах. При условии, что 0,76т > 0,40(т+1), спектры т-го и (т+!)-го порядков частично перекрываются.
Из неравенства получается„ что т>'%. Следовательно, частичное перекрывание начинается со спектров 2-го и 3-го порядков (см. Л' !з ,,У !р ' н 1 рткжцо 4Р К 4РК 4З ВР «4Р «4Р Рис. 130.4. рис. 130.4„иа котором для наглядности спектры разных порядков смещены друг относительно друга по вертикали). Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, па 1 Л), Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн 6Х, при которой две линии воспринимаютси в спектре раздельно. Угловой дисперсией называется величина 11 =- —, (130. 13) где б~р — угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на 6А.
Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, продифферепцирусм условие (!30.5) главного максимума слева по ~р, а справа по А. Опуская знак минус, получим б соз <р бср = т бХ. $!30. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА 413 Отсюда Ьр а« % асов«р' В пределах небольших углов соз «р-1, поэтому можно положить и (!30. И) Из полученного выражения следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решеткй с(. Чем выше порядок спектра лп тем больше дисперсия. Линейной дисперсией называют величину (130.16) где 61 — линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на 6Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
