И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 78
Текст из файла (страница 78)
хюи. дифглкцня светл Поэтому ~й/Ь(1, откуда й( — „. (129.7) При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям. Краям центрального максимума соответствуют значения угла гр, получающиеся из условия Ь з!и ~р=~Х. Зги значения равны ~агс гйп (Х/Ь). Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна бц~ = 2 агсэ!п э ° х (129.8) В случае, когда Ь))Х, значение з!и(1./Ь) можно положить равным Х/Ь.
Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом: 6~у= ь (129.9) Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на очень узкие зоны одинаковой ширины. Колебание, возбуждаемое каждой такой зоной, имеет одинаковую амплитуду ЛА и отстает по фазе от предыдущего колебания на одну и ту же величину 6, зависящую от угла <р, определяющего направление на точку наблюдения Р. При Ч=О разность фаз 6 равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис.
129.4, а. Амплитуда результирующего колебания А, равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если Л=Ь гйп Ч~=Х/2, колебания от краев щели находятся в противофазе. Соответственно векторы ЛА располагаются вдоль полуокружности длиной А, (рис. 129.4, б). Следовательно, результирующая амплитуда равна 2А,/и.
В случае, когда Л=- =Ь з|п ~р=Х, колебания от краев щели отличаются по фазе на 2п. Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис. 129.4, в. Векторы ЛА располагаются вдоль окружности длиной А~ Результирующая амплитуда равна нулю — получается первый минимум. Первый максимум получается при Л=Ь з!и ~Г=ЗХ/2. В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на Зп. Строя последовательно векторы ЛА, мы обойдем полтора раза окружность диаметра А;=(2/Зп) А, (рис. 129.4, г).
Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума. Таким образом, интенсивность первого максимума равна /,=(2/Зп)'1,=0,045/,. Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. В итоге получится следующее соотношение: /,з/'./,:7,:...=1. ( — ) . ( — ) .Я ....=1:О 045:О О!6:О 008:... (129.10) $129, диФРАкция ФРАуигаФеРА ат щели 406 Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная доля светового потока, проходящего через щель. В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоянием от щели да экрана, лучи, идущие в точку Р от краев щели, будут практически параллельными и в отсутствие линзы между щелью и экраном.
Следовательно, при падении иа щель плоской волны будет 42 наблюдаться дифракция Фраунл) гофера. Все полученные выше формулы будут справедливыми, причем пад гр в этих формулах следует понимать угол между направлением от любого края щели к точке Р и нормалью к плоско,(г сти щели. l г г 1 ч2 1 Ь \ с Р Рис. !29.5. Рис. !29.4. Установим количественный критерий, позволяющий определить„какай вид дифракции будет иметь место в каждом конкретном случае. Найдем разность хода лучей от краев щели до точки Р (рис.
129.5). Применим теорему косинусов к треугольнику со сторамами г, г+Л и Ь: (г+Л)'-= г2+Ь2 — 2гьсаз ! — +ге) . ',2 После несложных преобразований получим 2гЛ + Л' = Ь'+ 2гЬ з!п ~р. (129.! 1) Нас интересует случай, когда лучи, идущие ат краев щели в точку Р, почти параллельны. При этом условии Л2~сгЛ, поэтому в уравнении (!29.1 !) можно пренебречь слагаемым Л'. В этом приближении Ь2 Л=2 —,+ Ьз(пч (129.
12) гл. хшп. диоилкция свет* В пределе при г-ьоо получается значение разности хода Л„= =Ь з!и ср, совпадающее с выражением, фигурирующим в формуле (129. 5). При конечных г характер дифракционной картины будет определяться соотношением между разностью Л вЂ” Л и длиной волны Х. Если 5 — Л <Ял, (129.13) дифракционная картина будет практически такой, как в случае дифракции Фраунгофера. При А — Л„, сравнимой с Х (Л вЂ” Л„Х), будет иметь место дифракция Френеля.
Из (129.12) следует, что Ь' Ь Ь вЂ” Л 2г (1 — расстояние от щели до экрана). Подстановка этого выражения в (129.13) приводит к условию: (Ь*П)чад или й~<' (129. 14) Таким образом, характер дифракции зависит от значения безразмерного параметра Ь'/1ь. (129.15) Если этот параметр много меньше единицы, наблюдается дифракция Фраунгофера, если оп порядка единицы — дифракция Френеля; наконец, если этот параметр много больше единицы, оказывается применимым приближение геометрической оптики.
Для удобства сопоставления представим сказанное в следующем виде: ~ <~ 1 — дифракция Фраунгофера, Ь вЂ” 1 — дифракция Френеля, 1Х (129. 15) >) 1 — геометрическая оптика. Параметру (129.15) можно дать наглядное истолкование. Возь- мем точку Р, лежащую против середины щели (рис. 129.6). Для этой точки число т открываемых щелью зон Френеля определяется соот- ношением 2) +(2) ' Раскрыв скобки и отбросив слагаемое, пропорциональное У, получим ') Ь* Ье Пе=— 41ь 0, * (129. 17) ь) Отметим, что дли точек, сильно смещенных в область геометрической тени, число открытии еои будет больше.
$130. диФРАкцноннзя РешеткА сот Таким образом, параметр (129.15) непосредственно связан с числом открытых зон Френеля (для точки, лежащей против середины щели). Если щель открывает малую долю центральной зоны Френеля (гп((1)„наблюдается днфракция Фраунгофера. Распределение интенсивности в этом случае изображается кривой, приведенной на рис. 129.3. Если щель открывает небольшое число зон Френеля (т 1), иа экране получается изображение щели, обрамленное по краям отчетливо видимыми светлыми и темными полосами.
Наконец, в случае, когда щель открывает большое число зон Френеля (гл)~1), на экране получается равномерно освещенное изображение щели. А Лишь у границ геометрической тени име- ю г+лг 3 ются практически неразличимые глазом очень узкие чередующиеся более светлые и более темные полосы. Проследим за видоизменениями картины прн удалении экрана от щели. При не- й больших расстояниях экрана от щели (ког- Рис. 129.6. да т>)1) изображение соответствует законам геометрической оптики.
Увеличивая расстояние, мы придем сначала к френелевской дифракционной картине, которая затем перейдет вофраувгоферову картину. Та же последовательность превращений наблюдается в том случае, если, не изменяя расстояния 1, уменьшать ширину щели Ь. Из сказанного ясно, что критерием применимости геометрической оптики является не малость длины волны по сравнению с характерным размером преграды (например, шириной щели), а зна'чение параметра (129.15) (он должен быть много больше единицы).
Пусть, например, оба отношения ЫХ и ОЬ равны 100. В этом случае Х<ф Ь, однако Ь'!12.= ! и, следовательно, будет наблюдаться отчетливо выраженная френелевская дифракция. 9 130. Дифракционная решетка Днфракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно н то же расстояние щелей (рис. 130.!). Расстояние о' между серединами соседних щелей называется и е р и ода м решетки. Расположим параллельно решетке собирательную линзу, в фокальиой плоскости которой поставим экран. Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать, что волна падает на решетку нормально).
Каждая нз щелей даст на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рис. 129.3. Картины от всех щелей придутся иа одно и то же место экрана (нева. гл. хюп. диФРлкцня сВетл висимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точку Р от различных щелей, были некогерентнымн, результирующая картина от М щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы в М раз.
Однако колебания от различных щелей являются в большей или меньшей степени когерентнымн; поэтому результирующая интенсивность будет отлична от Л'(Ф(р — интенсив! — ! ность, создаваемая одной щелью; см. (129,6)). га ~ В дальнейшем мы будем предполагать, что радиус когерентности падающей волны намного превышаег длину решетки, так что л д колебания от всех щелей можно считать когерентными друг относительно друга. В этом случае результирующее колебание в точке Р, положение которой определяется углом гр, представляет собой сумму М колебаний с одинаковой амплитудой А, сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину 6. Согласно формуле (124.5) интенсивность при этих условиях равна а|па (М6(2) ааш Ф Мпа (6/2) (130.1) (в данном случае роль 1а играет 1„). Из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
