И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 81
Текст из файла (страница 81)
ХЧП!. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Наконец, для цепочки, параллельной оси г, направления максимумов определяются условием !(> (Соз у — соз у„) = ~ гп,Л (и!, = О> 1> 2> ...), (! 31.5) где !(> — период структуры в направлении оси г, 7,— угол между падаю!цим пучком и осью г, у — угол, образуемый с осью г направлениями, вдоль которых получаются дифракционные максимумы.
Как и в предыдущих случаях, каждому значению пг, соответствует конус направленвй, осью которого являстси ось г. В направлениях, удовлетворяющих одновременно условиям (131.3), (131.4) н (131.5), происходит взаимное усиление колебаний от всех элементов, образующих пространственную структуру. В результате возникают дифракционные максимумы от пространственной структуры. Направления этих максимумов лежат на линиях пересечения трех конусов, осн которых параллельны координатным осям.
Найденные нами условия д! (Соз !х — соз м,) = 4- л!>Л > д, (соз р — соз 11,) = ~ !п,Л, (и!, = О, 1, 2, ...) (131.6) г(> (соз у — соз у,) = ~ л!,Л носят название ф о р м у л Л а у э. Каждому определяемому этик!и формулами направлению (а, р, у) соответствуют три целочисленных индекса т„л!, н т> Наибольшее значение модуля разности косинусов равно 2.
Поэтому условия (131.6) могут быть выполнены прн отличных от нуля значениях индексов л! лишь в том случае, если Л не превышает М. Углы и, () и у не являются независимыми. Например, в случае прямоугольной системы координат они связаны соотношением соз' а+соз" ()+созз у = 1. (131.7) Таким образом, при заданных а„()м у> и Л углы а, 11, у, определяющие направления максимумов, могут быть найдены путем решения системы из четырех уравнений.
Если число уравнений превышает число неизвестных, система уравнений оказывается разрешимой только прн выполнении определенных условий (только при соблюдении этих условий три конуса могут пересечься друг с другом по одной линии). Система уравнений (131.6) и (131.7) оказывается разрешимой лишь для некоторых, вполне определенных длин волн (Л можно рассматривать как четвертое неизвестное, значения которого, получающиеся из решения системы, и дают те длины волн, для которых наблюдаются максимумы). Каждому такому значению Л соответствует, вообще говоря, только один максимум.
Однако может получиться и несколько симметрично расположенных максимумов. $131. диФРАкция Рентгеновских лучеЙ 4!9 Если длина волны является фиксированной (монохроматическое излучение), систему уравнений можно сделать совместной, варьируя значения сг„ р, и у„ т. е. поворачивая пространственную структуру относительно направления падающего пучка. Мы не касались вопроса о том, каким образом лучи, идущие от различных структурных элементов, сводятся в одну точку экрана.
В случае видимого света это достигается с помощью линзы. Для рентгеновских лучей осуществить линзу нельзя, так как показатель преломления этих лучей во всех веществах практически равен единице. Поэтому интерференция вторичных волн достигается путем использования весьма узких пучков лучей, которые и без линзы дают на экране (или фотопластинке) пятна очень малых размеров. Русский ученый Ю. В. Вульф и английские физики У. Г. и У, Л. Брзгги показали независимо друг от друга, что расчет дифракционной картины от кристаллической решетки можно осуществить следующим простым способом. Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости (рис. 131.4), которые мы будем называть атомными слоями.
Если падающая на кристалл воляа плоская, огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в таком слое, также будет представлять собой плоскость. Таким образом, суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отразившейся от усеянной атомами поверхности по обычному закону отражения. Плоские вторичные волны, отразившиеся от разных атомных слоев, когерентны я будут ннтерфернровать между собой подобно волнам, посылаемым в данном направлении различными щелями дифракционной решетки.
При этом, как и в случае решетки, вторичные волны будут практически погашать друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода между соседними волнами является кратной Х. Из рис. Г31.4 видно, что разность хода двух волн, отразившихся от соседних атомных слоев, равна 2Н з!и б, где г( — период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, д — угол, дополнительный к углу падения и называемый у г л о м с к о л ь ж ен и я падающих лучей.
Следовательно, направления, в которых получаются дифракционные максимумы, определяются условием Ы з!Иб=~т), (и=!, 2,...). (131.8) Это соотношение называется фо р му л о й Б р э г г а — В у л ьф а. Атомные слои в кристалле можно провести множеством способов (рис. 131.5). Каждая система слоев может дать дифракцноиный максимум, если для нее окажется выполненным условие (131.8). Однако заметную интенсивность имеют лишь те максимумы, которые полу- 14Я з м!. диееикция евнтгановских личин 42! ле и расстояния между ними. На рис. 131.6 приведена лауэграмма берилла (минерала из группы силикатов). В методе структурного анализа, разработанном Дебаем и Шерером, используются монохроматическое рентгеновское излучение и поликристаллические образцы.
Исследуемое вещество измельчается в порошок, из которого прессуется образец в виде проволочки. Образец устанавливается по оси цилиндрической камеры, на боковую поверхность которой укладывается фотопленка (рис. 131.7). В огромном количестве беспорядочно ориентированных кристалликов Рис. !3!.7 наидется множество таких, для которых окажется выполненным условие (131.8), причем дифрагированный луч будет для разных кристалликов лежать во всевозможных плоскостях, В результате для каждой системы атомных слоев н каждого т получится не одно направление максимума, а конус направлений, ось которого Рис.
!3!.а совпадает с направлением падакхцего пучка (см. рис. 131.7). Получающаяся на пленке картина (дебаеграмма) имеет вид, показанный на рис. 13!.8. Каждая пара симметрично расположенныхлиний соответствует одному из дифракционных максимумов, удовлетворяющих условию (131.8) прн некотором значении т. Расшифровка рентгенограммы позволяет определить структуру кристалла. ГЛ. ХЧП1. ДИФРАКНИЯ СВЕТА 9!32.
Разрешающая сила обьектива Пусть на непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса Ь падает плоская световая волна. Открываемое отверстием число зон Френеля для точки Р, лежащей против центра отверстия на расстоянии 1 от него, можно найти по формуле (128.2), положив в ней а=со, г,=Ь и Ь=й В итоге получим Ьэ гп= 1А (132.1) (ср. с (129.17)).
Так же, как и в случае щели, в зависимости от значения параметра (132.1) имеет место либо приближение геометрической оптики, либо дифракция Френеля, либо, наконец, дифракция Фраунгофера (см. (129.16)). Днфракциониую картину Фраунгофера от круглого отверстия можно наблюдать на экране, помещенном в фокальной плоскости линзы, поставленной за отверстием, направив на отверстие плоскую световую волну.
Эта картина имеет вид центрального светлого ..1.. пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами (рнс. ~ 132.1). Соответствующий расчет дает, что первый минимум отстоит от центра дифракционной картины на угловое расстояние р,„= агсз! и 1,22 —, (132.2) где Π— диаметр отверстия (ср. с (129.8)). Если Р>)2, можно считать, что 1р ;„ = 1,22 †, . (132,3) Х вЂ” г~у 51п 2У Рис. 132.!. Подавляющая часть (около 84%) светового потока, проходящего через отверстие, попадает в область центрального светлого пятна.
Интенсивность первого светлого кольца составляет всего 1,74сж, а второго — 0,4154 от интенсивности центрального пятна. Интенсивность остальных светлых колец еще меньше. Поэтому в первом приближении дифракционную картину можно считать состоящей из одного лишь светлого пятна с угловым радиусом, определяемым формулой (132.2). Это пятно является по существу изображением бесконечно удаленного точечного источника света (иа отверстие падает плоская световая волна). Дифракционная картина не зависит от расстояния между отверстием и линзой. В частности, она будет такой >ке и в случае, когда $13А РАЗРЕШАЮЩАЯ СИЛА ОБЪЕКТИВА 1 64~ ' (132.4) Найдем разрешающую силу объектива зрительной трубы или фотоаппарата для случая, когда рассматриваются или фотографируются очень удаленные предметы.
При этом условии лучи, идущие в фл~ объектив от каждой точки предмета, "" м. можно считать параллельными и пользоваться формулой (132.2). Со- „и А Иаю ' гласно критерию Рэлея две близкие л~~гюл~""~ точки будут еще разрешены, если середина центрального дифракционного Ряс. 132.2. максимума для одной точки совпадает с краем центрального максимума (т. е. с первым минимумом) для второй точки.Из рис.
132.2 видно, что это произойдет, если угловое расстояние между точками 69 окажется равным угловому радиусу (132.2). Диаметр оправы объектива Р много больше длины волны Х. Поэтому можно считать, что 6$ = 1,22 —. Отсюда 12 Р 1,22 Х (132.5) Из этой формулы следует, что разрешающая сила объектива тем больше, чем больше его диаметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
