И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 76
Текст из файла (страница 76)
128.2, в). В итоге действие открытых участков нечетных зон перевесит действие открытых участков 392 гл. хчш. ДИФРАкция светА светлых и темных колец в этом случае не возникает. Если отверстие открывает большое число зон, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в очень узкой области на 'границе геометрической тени; внутри этой области освещенность оказывается практически постоянной. Дифракцня от круглого диска.
Поместим между источником света 5 и точкой наблюдения Р непрозрачный круглый диск радиуса рг /р Рис. 128.4. и, (рис. 128.4). Если диск закроет /л первых зон Френеля, амплитуда в точке Р будет равна Выражения, стоящие в скобках, можно положить равными нулю, следовательно, А= А„+„/2. (128,5) Выясним характер картины, получающейся на экране(см. рис. 128.4). Очевидно, что освещенность может зависеть только от расстояния и до точки Р.
При небольшом числе закрытых зон амплитуда А +, мало отличается от А,. Поэтому интенсивность в точке Р будет почти такая же, как при отсутствии преграды между источником 5 и точкой Р (см. (127.8)). Для точки Р', смещенной относительно точки Р в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать часть (и+1)-й зоны Френеля, одновременно откроется часть /л-й эоны. Это вызовет уменьшение интенсивности.
При некотором положении точки Р' интенсивность достигнет минимума„ Если сместитьси из центра картины еще дальше, диск перекроет дополнительно часть (т+2)-й эоны, одновременно откроется часть (и — 1)-й зоны. В результате интенсивность возрастет и в точке Р" достигнег максимума. Таким образом, в случае непрозрачного круглого диска дифракциоиная картина имеет вид чередующихся светлых и темных кои- $ГЕЕ ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ ПРЕГРАД 393 центрических колец. В центре картины помещается светлое пятно (рис. 128.5).
Изменение интенсивности света 1 с расстоянием г от точки Р изображено на рис. 128А, б. Если диск закрывает лишь небольшую часть центральной зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени — освещенность экрана всюду остается такой же, как при отсутствии преград. Если диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени. В этом случае А „(<А„так что светлое пятно в центре отсутствует и освещенность в области геометрической тени практически всюду равна нулю. Светлое пятнышко в центре тени, отбрасываемой диском, послужило причиной инцидента, происшедшего между Пуассоном и Френелем.
Парижская академия наук предложила дифракцию света в качестве темы на премию за 1818 г. Устроители конкурса были сторонниками корпускулярной теории света и рассчитывали, что конкурсные работы принесут окончательную победу их теории. Однако Френелем была представлена рабо- Рис, !28.5. та, в которой все известные к тому времени оптические явления объяснялись с волновой точки зрения.
Рассматривая эту работу, Пуассон, бывший членом конкурсной комиссии, обратил внимание на то, что кз теории Френеля вытекает «нелепый» вывод: в центре тени, отбрасываемой небольшим круглым диском, должно находиться светлое пятно. Араго тут же произвел опыт и обнаружил, что такое пятно действительно имеется. Это принесло победу и всеобщее признание волновой теории света.
Дифракция от прямолинейного края полуплоскости. Поместим иа пути световой волны (которую для простоты будем считать плоской) непрозрачную полуплоскость с прямолинейным краем. Расположим эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. На расстоянии Ь за полуплоскостью поставим параллельный ей экран, на котором возьмем точку Р (рис.
!28.6). Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны, имеющие вид очень узких прямолинейных полосок, параллельных краю полу- плоскости. Ширину зон выберем так, чтобы отсчитанные в плоскости рисунка расстояния от точки Р до краев любой зоны отличались на одинаковую величину Л. При этом условии колебания, создаваемые в точке Р соседниМН Зонами, будут отличаться по фазе на прстоянную величину. ГЛ. ХЧ!!!. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 394 Зонам, расположенным справа от точки Р, припишем номера '!, 2, 3 и т. д., расположенным слева — номера !', 2', д' и т. д.
Зоны с номерами т и т' имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки Р симметрично. Поэтому создаваемые ими в Р колебания совпадают по амплитуде и по фазе. Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны и, оценим площади зон. Из рис. 128.7 видно, что суммарная ширина первых т зон равна 4(,+!(,+. ° +!( = )I (Ь+тЛ)' — Ь!=3~'2ЬтЛ+т'Л'. Вследствие узости зон Л(<Ь. Поэтому при не очень больших и квадратичным членом пад корнем можно пренебречь. Тогда !(!+4(,+...
+4( =')ь'2ЬтЛ. Положив в этой формуле т=1, получим, чта !(,= !ь 2ЬЛ. Следоваь! л,' ПОГУПЛжЯРЭ Д'РХ' ь! У 23ВааОВПЯ Рис. 128.7. Ряс. !28.6. !(,„= !(, ()ь и — )/!и — 1). Расчет по формуле (!28.6) дает, что 4(, !!(,!!(з!ь(ь! . = 1:О 41:О 32!О 27. (128.7) В таких же соотношениях находятся и площади заи. Из (128.7) вытекает, что амплитуда колебаний, создаваемых в точке Р отдельными зонами, вначале (для первых зон) убывает очень быстро, затем это убывание становится медленным. По этой причине ломаная линия, получавшаяся при графическом сложении колебаний, возбуждаемых прямолинейными зонами, идет сначала более полого, чем в случае кольцевых зон (площади которых при аналогичном построении примерно равны).
На рнс. 128.8 сопоставлены обе векторные диаграммы. В обоих случаях отставание по тельно, выражению для суммарной ширины первых т зан можно придать вид 4(~ + г(, +... + !(, = 81, )/ и; Отсюда (128.6) э !гв. дифвлкция фввнвля от пвостеяших пваггвд 395 фазе каждого следующего колебания взято одним н тем же. Значение амплитуды для кольцевых зои (рис. 128.8, а) принято постоянным, а для прямолинейных зон (рис.
128,8, б) — убывающим в соответствии с пропорцией (!28.7). Графики на рнс. 128.8 являются приближенными. При точном построении графиков нужно учитывать зависимость амплитуды от г и ср (см, (126.1)). Однако на общем характере диаграмм это не отразится. На рнс. 128.8, б показаны только колебания, обусловленные зонами, лежащими справа от точки Р. Зоны с номерами лв и и" расположены симметрично относи- л х тельно Р.
Поэт! му естественно т и 4 Ряс. г28.8. Ряс. !28.9. при построении диаграммы векторы, изображающие соответствующие этим зонам колебания, располагать симметрично относительно начала координат О (рис. 128.9) Если ширину зон устремить к нулю, ломаная линия, изображенная на рис. 128.9, превратится в плавную кривую (рис. 128.10), которая называется с п и р а л ь ю Корню. Уравнение спирали Корню в параметрической форме имеет вяд: яиа г. лов $=.~ соз — би, ) =~ з|п — (и.
(128.8) о о Зти интегралы называются и н т е г р а л а м и Ф р е н ел я. Онц не берутся в элементарных функциях, однако имеются таблицы, по которым можно находить значения интегралов для разных о. Смысл параметра о заключается в том, что!о! даетдлинудугикрпвой Корню, измеряемую от начала координат. Числа, отмеченные вдоль кривой на рис.
128.10, дают значения параметра о. Точки Р, и Р„к которым асимптотически приближается кривая при стремлении о к +со и — со, называются ф о к ус а м и илн пол юс ам и спирали Корню. Их координаты равны ! ! + 2 з в) — + для точки Ро 2 ! ! — — т1 = — — для точки Р . 2' 2 в ГЛ. ХЧПЬ ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Правый завиток спирали (участок ОР,) соответствует зонам, расположенным справа от точки Р, левый завиток (участок ОР,)— зонам, расположенным слева от точки Р. Найдем производную Ыг)Щ в точке кривой, отвечающей данному значению параметра о, Согласно (128.8) приращению о на г(В соответствует яии пи Д =.
соэ — йп, бч = 81п — ' й~. 2 ' 2 Следовательно, й~/85=(д(пои/2). Вместе с тем гЬ)/д$=(д О, где Рис. 128.!О. Π— угол наклона касательной к кривой в данной точке. Таким образом, 0 = — и'. (! 28.9) Отсюда следует, что в точке, отвечающей п=), касательная к кривой Коршо перпендикулярна к осн $. Прн о =:2 угол 0 равен 2л, так что касательная параллельна осн $. При о=-3 угол О равен 9п/2, так что касательная снова перпендикулярна к оси 5, и т. д. Спираль Корню дает возможность найти амплитуду светового колебания в любой точке экрана. Положение точки будем характеризовать координатой х, отсчитываемой от границы геометрической В !ВВ, диФРАкция ФРенеля от пРостеиших пРегРАд ззт тени (см.
рис. 128.8). Лля точки Р, лежащей на границе геометрической тени (х=О), все штрихованные зоны будут закрыты. Колебаниям от нештрихованных зон соответствует правый завиток спирали. Следовательно, результирующее колебание изобразится вектором, начало которого находится в точке О, а конец — в точке Р! (рис. 128.11, а). Прн смещении точки Р в область геометрической тени полуплоскость закрывает все большее число нештрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора перемещается по правому завитку в направлении полюса Р, (рис.
128.1!,б). В результате амплитуда колебания монотонно стремится к нулю. д) Рис. !28.!!. Если точка Р смещается от границы геометрической тени вправо, в дополнение к нештрихованным зонам открывается все возрастающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении к полюсу Р,. При этом амплитуда проходит через ряд максимумов (первый из них равен длине отрезка !ИР, на рис. 128.11,в) и минимумов (первый из них равен длине отрезка МР! на рис.128.11, г). При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезка Р,Р, (рис. 128.11, д), т. е.
ровно в два раза превышает амп! плнтуду на границе геометрической тени(см. рис. 128.11, а).Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет '/4 интенсивности У„получающейся на экране в отсутствие преград. гл. хщп. дифнхкция светл ввв Зависимость интенсивности света 7 от координаты х дана на рис. !28.12. Из рисунка видно, что при переходе в область геометрической тени интенсивность изменяется не скачком, а постепенно стремится к нулю. Справа от границы геометрической тени расположен ряд чередующихся максимумов и минимумов интенсивности. л х! х2 3 аФ Рис. 128.12.
Вычисления дают, что прн Ь=-! м и Х=0,5 мкм координаты максимумов 1см. рис. 128.12) имеют следующие значения: х,=0,61 мм, х,=1,17 мм, х,=-1,54 мм, х,=1,85 мм и т. д. С изменением расстояния 6 от полуплоскостн до экрана значения координат макси- мумов и минимумов изменяются как р„" г'Ь. Из приведенных данных следую: ет, что максимумы располагаются довольно густо. С помощью кривой Корню можно также найти относительную величину интенсивности в максимумах и минимумах. Для первого максимума получается значение 1,37 l„для первого минимума 0,78 7,. На рис. 128.!3 приведена фото- Р . Г28.1З. графия дифракционной картины от края полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
