И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 73
Текст из файла (страница 73)
ГЛ. ХУП. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА где ! — е!|Уе А=а: еее (124.1) есть комплексная амплитуда, которую можно представить в ваде А= Аееп (124.2) (А — обычная амплитуда результирующего колебания, а — его начальная фаза). Произведение величавы (124.2) на ее комплексно сопряженную дает квадрат амплитуды результирующего колебания: А А* = Ае"* Ае-"' = А'. (124.3) Подставив в (124,3) значение (124.1) дли А, получим следующее выражение для квадрата амплитуды: (! ее~Ус) (1 е-ене) А'= АА'=а' (1 — е|Е) (1 — е-'е) = а' = а' = а' .
(121.4) 2 — е|ме — е-ене 1 — спе )У6 е!пе()У6/2) 2 — е|е — е — 'е 1 — сое 6 е1п' (6|2) Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, интенсивность, возникающая при интерференции 1|! рассматриваемых лучей, определяется выражением 1 (6) 1. е е!пе (А!6!2) 1 е!пе(|У6/2) (124,5) )пе (6|2) , е )пе(6|2) (К вЂ” козффициент пропорциональности, 1е=Кае — интенсивность, создаваемая каждым из лучей в отдельности). При значениях 6=2пп! (т=О, ~1, ~2, ...) (124.6) нута относительно фазы предыдущего на одну и ту же величину 6. Представим возбуждаемые лучами колебания в виде экспонент: Е =-аеам Е,=ае'!"'+6! ..., Е =пес!'"е+(™-!)61, ..., 1=- е е= 1 '''е ее Е =ае|!""+(и-!)6!.
ее Результирующее колебание определяется формулой Л' ее Е ~ч~~ Е, ае|е! ~х ес! е~ =1 ее= ! Полученное выражение представляет собой сумму )Ч членов гео- метрической прогрессии с первым членом, равным единице, и зна- менателем, равным еее. Следовательно, Š— пасе!: — АЕ|е! 1 — епее 1 — е|е $124. МНОГОЛУЧЕВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ 376 выражение (124.5) становится неопределенным. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя: ощо (Хб/2) 1.
2 Мо (Мб/2) сов (Мб/2) Л1/2 от'(б/2) б, 2 Мо(6/2) соь (612) 1/2 / о)о (МЦ 6~2~~ ыоб Полученное выражение также оказывается неопределенным, Поэтому применим правило Лопиталя еще раз: з!оо(ЛЬ/2) 1. Л з)о (б/6) 1., /у соз (б/6) 11щ, = пи ., = Нп о,оо мо (б/2) б ~ о,оо Мп Ь' б од~ соз 6 Таким образом, при 6=2п1п (или разностях хода Л=гл).,) результирующая интенсивность оказывается равной /=1,№. (124. 7) Такой результат можно было предвидеть заранее. Действительно, в точки, для которых 6= — 2п/и, все колебания приходят в одинаковой фазе.
Следовательно, результирующая амплитуда оказывается в б/ раз больше амплитуды отдельного колебания, а интенсивность в № раз больше интенсивности отдельного колебания. Назовем места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая формулой (1247), главными максимумами. Их положение определяется условием (124.5). Число т называется и о р я д к о м главного максимума. Из выражения (124.5) следует, что в промежутке между двумя соседними главными максимумами располагается /)/ — 1 минимум интенсивности.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например, промежуток между максимумами нулевого (гл=О) и первого (т=1) порядка. В этом промежутке 6 изменяется от нуля до 2п, а 6/2 от нуля до и. Знаменатель выражения (124.5) всюду, кроме концов промежутка, отличен от нуля, причем в середине промежутка достигает наибольшего значения, равного единице. Величина й/6/2 принимает в рассматриваемом промежутке все значения от нуля до /(/и. При значениях и, 2п, ..., (Ж вЂ” 1)п числитель выражения (124.5) становится равным нулю. Это и будут минимумы интенсивности. Их положения отвечают значениям 6, равным 6= — 2п (й'=1, 2, ..., /У вЂ” 1).
(124.8) В промежутках между /(/ — 1 минимумами располагаются б/ — 2 вторичных максимумов. Наибольшей интенсивностью обладают вторичные максимумы, ближайшие к главным максимумам. Вторичный максимум, ближайший н главному максимуму нулевого порядка, лежит между первым (я'=1) и вторым (й'=2) минимумами. Зтнм минимумам отвечают значения 6, равные 2п!б/ и 4пlб/. Сле- ГЛ. ХЧН. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА зта довательно, рассматриваемому вторичному максимуму соответствует 6=3п/6/. Подстановка этого значения в формулу (124.5) дает ь1 п~ (Зп/21 У (Зп/и/) = па' мпа(з /2м) е. П и большом У можно положить синус '3 /26/)жЗ /26/) Тот в знаменателе равным его аргументу (яп (Зп ж и 1 Ка~й~ ~ (Зи/6/) =Ко (ззп/2к) (з /2)' В числителе пол олучилась интенсивность главного максимума (см.
(124.7)). Таким образом, при большом й/ ближайши у вторичный максимум имеет интенсивность в (Зп/2)4= максимуму втори ж22 раза меньшую, чем интенсивность главн у ого максим ма. Остальные вторичные максимумы оказываются еще слабее. На рис. 124.1 изображен график функции т"(6) для /т'=10. Для сравнения пунктиром показан график интенсивности для 6/=2 Рис. !24.1. (двухлучевая интерференция; см. криву ( ) р ю 7(х) на нс. 119.2). Из ис нка видно, что с увеличением числа интерферирующих луче ная камумы настолько слабы, что практически интерференционная к р- ихеет вид узких ярких линий на темном фоне.
Тепе ь рассмотрим интерференцию очень больша у го числа л чей, интенсивность которых убывает в геометрич с " р р еперь ической и ог ессии. Складываемые колебания имеют вид: (124.9) Е с ар" ГЕ'1"'~<'" И41 (р — постоянная величина, меньшая единицы). Результирующее $ !24. многолучевбя интеРФеРенцня колебание описывается формулой б! бе Е=,~' Е =.песо!,~'„р 'е" е=! т=! Воспользовавшись выражением для суммы членов геометрической прогрессии, получим Е аебе!! Р ' ' = Аеы!. Хе!Лб рееб Таким образом, комплексная амплитуда равна Л ! — рб'е'А'б (124.10) 1 — ре~б Если !у' очень велико, комплексныи числом рбе!А'б можно пренебречь по сравнению с единицей (для примера укажем, что Озие"=3 1О-').
Тогда выражение (124.10) упрощается следующим образом: 1 А=а рем Умножив это выражение на комплексно с ним сопряженное, получим квадрат обычной амплитуды результирующего колебания: Ле = Л.4'— (1 — ре<о) (! — ре- еб) 1-!. рб — р (е!о+е- еб) б об бб 1+рб — 2р соб 6 (1 — р)о+2р(1 — соб 6) (1 — р)'+4р мпб(6!2) ' Отсюда 1(б) — .
—, ',, (124.11) (1 — р)б-1-4рипб(612) (1 — р)б+4рб)пб(612)' где 1!=Каб — интенсивность первого (наиболее интенсивного) луча. При значениях б=2плб (т=О, ~1, ~2, ...) (124.12) выра>кение (124.11) имеет максимумы, равные 1,„,„= — ! (! 24.13) В промежутках между максимумами функция изменяется монотонно, достигая в середине промежутка значения, равного (124.14) Тания образом, отношение интенсивности в максимуме к интенсив. ности в минимуме (! 24.15) ш;азывается тем больше, чем ближе р к единице, т. е. чем медленнее происходит убывание иятенспвиости интерферирующих лучей.
ГЛ. ХУП. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА зуз Иа рис. 124.2 показан график функции (124.11) для р=0,8. Из рисунка следует, что интерференционная картина имеет впд узких резких линий на практически темном фане. В отличие от рпс.124.1 вторичные максимумы отсутствуют. Х Рис. 124.2. Практически случай большого числа лучей с убывающей интенсивностью осуществляется в и н т е р ф е р о м е т р е Ф а б р и— П е р о.
Этот прибор состоит из двух стеклянных илн кварцевых пластинок, разделенных воздушным промежутком (рис. 124.3). Тщательной обработкой добиваются того, чтобы неровности внутренних поверхностей пластинок не превышали нескольких сотых долей длины световой волны. Затем на эти поверхности наногз сятся частично прозрачные металлические слои или диэлектрические пленки '). Внешние поверхности пластинок делают слегка ско- Р . 124.3. ис. шенными относительно внутренних, чтобы устранить блики, обусловленные отражением света от этих поверхностей. В первоначальной конструкции интерферометра одна из пластинок могла перемещаться относительно другой неподвижной пластинки с помощью микро- метрического винта.
Однако ненадежность такой конструкции при- т) Металлические слои обладают тем недостатком, что сильно поглощают световые лучи. Поэтому в последние годы их стали заменять многослойными диэлектрическими покрытиями, обладающими болыной отражательной способ- ностью й!те многолучевля интеРФеРенния зтй вела к тому, что она вышла из употребления. В современных конструкциях пластинки закреплены неподвижно. Параллельность внутренних рабочпх плоскостей достигается тем, что между пластинками устанавливается кольцо нз инвара или кварца '). Это кольцо имеет с каждой стороны по три выступа с тщательно отшлифованными торцами.
Пластинки прижимаются к кольцу пружинами. Такое устройство надежно обеспечивает строгую параллельность внутренних плоскостей пластинок и постоянство расстояния между ними. Подобный ннтерферометр с фиксированным расстоянием между пластинками называется э тало нам Ф а бр и — Перо. Рассмотрим, ~что происходит с лучом, вошедшим в зазор между пластинками (рис.)24.4). Пусть интенсивность вошедшего луча 1~- ~уг 2 -ч. Рис.
124.4. равна 1,. В точке Лт этот луч разделяется на вышедший наружу луч 1 и отраженный луч 1'. Если коэффициент отражения от поверхности пластинки равен р, то интенсивность луча 1 будет равна 1т=(! — р)1„а интенсивность отраженного луча 1;=р1, "). В точке Вт луч 1' разделяется на два. Показанный пунктиром луч 1"' выйдет из игры, а отраженный луч 1" будет иметь интенсивность 1 =р1;= =р'1,. В точке А, луч 1" разделится на два луча — вышедший наружу луч 2 с интенсивностью 1,=(! — р) 1,"=(1 — р) р'1, и отраженный луч 2', и т. д.
Таким образом, для интенсивностей вышедших из прибора лучей 1, 2, 8 и т. д. имеет место соотношение 1,:1,:1,:... = ):р'.р'.... ') Оба ати материала отличает крайне малый температурный коэффициент расширенуи. '! Мы пренебрегаем поглощением света и отражающих слона н и толща пластинок. гл. кчи, интееееаенция светл Соответственно для амплитуд колебаний получается соотношение А,:А,:А,:... =1:р:р'.... (ср. с (124.9)). Колебание в каждом пз лучей 2, 3, 4,, отстает по фазе от колебания в предыдущем луче на одну и ту же величину 6, определяемую Рис. 124.5.
оптической разностью хода Л, возникающей на пути А,— В,— А, либо А,— В,— А, и т. д. (см, рис. 124,4). Из рисунка видно, что 6=21/соз <р, где ф — угол падения лучей на отражающие слои. Если собрать лучи'1, 2, 3, ... с помощью линзы в точке Р фекальной плоскости (см. рис. 124.3), то колебания, создаваемые этими лучами, будут иметь вид (124.9). Следовательно, интенсивность в точке Р определяется формулой (124.11), в которой р имеет смысл коэффициента отражения, а зи б= —— Х созе' При пропусканни сквозь прибор расходящегося пучка света в фокальной плоскости линзы возникают полосы равного наклона, имеюш,ие вид резких колец (рнс. 124.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
