И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(119.9) Назовем расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности р а авто я н нем между инте р фе реп ц и о иным м и пол о а а ми, а расстояние между соседними минимумами интенсивности — ши р иной и нте р ференц и о ни о й пол осы. Из формул (119.8) и (119.9) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное Ьх = — „Х.
' (! 19.10) з пз интвээвэенция световых волн Согласно формуле (119.10) расстояние между полосами растет с уменьшением расстояния между источниками д. При д, сравнимом с 1, расстояние между полосами было бы того же порядка, что и Х, т. е. составляла бы несколько десятых мкм. В этом случае отдельные полосы были бы совершенно неразличимы. Для того чтобы интерференционная картина стала отчетливой, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: й ~~(1. Если интенсивность интерферирующих волн одинакова (1,= =1,=-1,), то согласно (119.2) результирующая интенсивность в точках, для которых разность фаз равна б, определяется выражением 1 = 2У, (1+ сов б) = 41, сов' — .
л б Поскольку б Л, то в соответствии с (119.7) б растет пропорционально х. Следовательно, интенсивность изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса. Справа на рис. 119.2 показана зависимость 7 от х, получающаяся в монохроматическом свете. Ширина интерференционных полос и расстояние между ними зависят от длины волны Л. Только в центре картины, при х= — О, совпадут максимумы всех длин волн.
По мере удаления от центра картины максимумы разных цветов смещаются друг относителыю друга все больше и больше. Это приводит к смазыванию интерференционной картины при наблюдении ее в белом свете. В монохроматическом свете число различимых полос интерференции заметно возрастает.
3 Измерив расстояние между полосами Лх и зная 1 н л(, можно по формуле (119.10) вычислить А. Именно из опытов по интерфе- й, ренции света были впервые 'определены У длины волн для световых лучей разного Р цвета. Мы рассмотрели интерференцию двух цилиндрических волн. Выясним, что про- и с. Вэ.з.
исходит при наложении двух плоских волн. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, а направления их распространения образуют угол 2ф (рис. 119.3), Направления колебаний светового вектора будем считать перпендикулярными к плоскости рисунка. Волновые векторы к, и к, лежат в плоскости рисунка и имеют одинаковый модуль, равный й=2ЫХ. Напишем уравнения этих вали: Асов(ю1 — к,г)=Асов(ол1 — йз!пф х — исааф у), Асов(а1 — клг)=Асов(ол1+йв1пф х — исааф у). Результирующее колебание в точках с координатами х и у имеет вид А сов (эл1 — л в! п ф. х- л сов ф у) + А сов (а1+л в1п ф х — л сов ф у) = =2А сов (й в(п ф х) сов (гз1 — й сов ф у).
(119.11) гл. хюк инткрэврвнция свата Из этого выражения следует, что в точках, где й з(пф.х=-~ел (т=О, 1, 2, ...), амплитуда колебаний равна 2А; в точках же, где Й зш р х=п'=(лт+'lе)я, амплитуда колебаний равна нулю. Где бы мы ни расположили экран 3, перпендикулярный к оси у, на нем будет наблюдаться система чередующихся светлых и темных полос, параллельных оси г (зта ось перпендикулярна к плоскости рисунка).
Координаты максимумов интенсивности будут равны Х л —:а. (1!9.12) ав!пф 2а|пф' От положения экрана (от координаты у) зависит лишь фаза колебаний (см. 119.11)). Мы положили для простоты начальные фазы интерферирующих волн равными нулю. Если разность этих фаз отлична от нуля, в формуле (119.12) появится постоянное слагаемое — картина йолос сдвинется вдоль экрана. й 120. Когереитность К о г е р е н т и о с т ь ю называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласованности может быть различной. Соответственно можно ввести понятие степени к о г е р е н т н о с т и двух воли.
различают временную и пространственную когерентность. Мы начнем с рассмотрения временнбй когерентности. Временная когерентность. Описанный в предыдущем параграфе процесс интерференции является идеализированным. В действительности этот процесс гораздо более сложен.
Это обусловлено тем„что монохроматическая волна, описываемая выражением А соз(ш( — йг+а), где А, ш и а — константы, представляют собой абстракцию. Всякая реальная световая волна образуется наложением колебаний всевозможных частот (или длин волн), заключенных в более или менее узком, но конечном интервале частот Ью (соответственно длин волн ЬХ) Даже для света, который считается монохроматическим (одноцветным), интервал частот Ьсо является конечным '). Кроме того, амплитуда волны А и фаза а претерпевают со временем непрерывные случайные (хаотические) изменения. Поэтому колебания, возбуждаемые в некоторой точке пространства двумя накладывающимися друг иа друга световыми волнами, имеют вид Ат(1) соз(отг(1) 1+ест(1)), А,(1) соз!гас(1) 1+сея(1)), (120.1) а) Испускаемые атомами спектральные линни имеют аестестиеиную» ширину Ле порядка 10' с-а (Ы-10-' Ь).
$12«. когерентность причем хаотические изменения функций А,(1), со,(1), а«(1), А,(«), «о«(1) и а«(1) являются совершенно независимыми. Для простоты будем считать амплитуды Ат и Ае постоянными. Изменения частоты и фазы можно свести либо к изменению одной лишь фазы, либо к изменению одной лишь частоты. Представим функцию /(1)=А соа(«о(1) (+а(1)) (120.2) в виде ф (() = А соз ««п«1+ [со (1) — со«](+ «в(1)), где ы« — некоторое среднее значение частоты, и введем обозначение; !«о(() — о»«)(+а(1)=а'(1). Тогда формула (120.2) примет вид ((1) =А соя («о«1+а' (1)).
(120.3) Мы получили функцию, у которой хаотические изменения претерпевает лишь фаза колебания. С другой стороны, в математике доказывается, что негармоническую функцию, например функцию (120.2), можно представить в виде суммы гармонических функций с частотами, заключенными в некотором интервале Лсо (см. формулу (120А)). Таким образом, при рассмотрении вопроса о когерентности возможны два подхода: «фазовый» и «частотный».
Начнем о «фазового» подхода. Допустим, что частоты сот и со«в формулах (120.1) удовлетворяют условию: о»,=о»«=сопа1, и выясним, какое влияние оказывает изменение фаз сс«и а,. В соответствии с формулой (119.2) при сделанных предположениях интенсивность света в даннойточке определяется выражением 1=!«+1,+2'Ут«7,сон 6(О, где б(1)=а«(1) — ае(г).
Последнее слагаемое в этой формуле носит название интерфереиционного члена. Всикий прибор, с помощью которого можно наблюдать интерференционную картину (глаз '), фотоплаотинка и т. п.), обладает некоторой инерционностью. В евязи с этим ои регинтрирует картину, усредненную по промежутку времени 1„»„а, необходимому для «срабатывания» прибора. Если аа время 1„„, множитель соз б(1) принимает все значения от — 1 до +1, среднее значение иитерференционного члена будет равно нулю. Поэтому регистрируемая прибором интенсивность окажется равной сумме интенсивностей, создаваемых в данной точке каждой из волн в отдельности,— интерференция отсутствует, и мы вынуждены признать волны некогерентными. «) Напомним, что демонстрирование кинофильмов основано на инерционности врительного восприятия, которая составляя» примерно 0,!о.
1Х и. в. с«в«а«ее, е. в гл. кчп. инткроврвнция свята Если же за время 1„з„а значение соз 6(1) остается практически неизменным з), прибор обнаружит интерференцию, и волны надо признать когерентнымн. Из сказанного следует, что понятие когерентности является относительным: две волны могут вести себя как когерентные при наблюдении с одним прибором (с малой инерционностью) и как некогерентные при наблюдении с другим прибором (с большей инерционностью). Для характеристики когерентных свойств волн вводится время когерентиости Г„„, которое определяется как такое время, за которое случайное изменение фазы волны сс(1) достигает значения порядка я. За время г„с колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становйтся некогврентным по отношению к самому себе.
Воспользовавшись понятием времени когерентности, можно сказать, что в тех случаях, когда постоянная времени прибора много больше времени когерентности накладываемых волн (г„,ДМ„,„), прибор ие зафиксирует интерференции. Если же т„,а<~~„„, йрибор обнаружит четкую интерференционную картину. Прйпромежуточных значениях 1„а,а четкость картины будет убывать по мере того, как („яаа растет от значений, меньших („,„, до значений, ббльшнх 1„,. Расстояййе 1„г=сг„„, на которое перемещается волна за время 1„„называется длиной ког ер ент но от и (или дл ин о й ц у г а).
Длина когерентности есть то расстояние, на котором случайное изменение фазы достигает значения я. Для получения интерференционной картины путем деления естественной волны на две части необходимо, чтобы оптическая разность хода Л была меньше, чем длина когерентности. Это требование ограничивает число видимых интерференциониых полос, наблюдаемых по схеме, изображенной иа рис.
119.2. С увеличением номера полосы т разность хода растет, вследствие чего четкость полос делается все хуже и хуже. Перейдем к выяснению роли немонохроматичности световых волн. Допустим, что свет состоит из последовательности идентичных цугов частоты аза и длительности т. При смене одного цуга другим фаза претерпевает беспорядочные изменения, вследствие чего цуги оказываются взаимно некогерентными. При этих предположениях длительность цуга т практически совпадает со временем когереитности г„,„.
В математике доказывается теорема Фурье, согласно которой любую конечную и интегрируемую функцию зо(с) можно представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляю- а] Разность фаз 6 (б различна для разных точек пространства. Влияние ин. терфсренпнонного члена проявляется и тех точках, где он отличен от нуля. 2!20, когегентность От/Х 120 щих о непрерывно изменяющейся частотой: Р (() ) А (ы) еьм с(02. (120.4) Выражение(120.4) называется интегралом Ф ур ье. Стоящая под знаком интеграла функция А(ы) представляет собой амплитуду соответствующей монохроматической составляющей.
Согласно теоряи интегралов Фурье аналитический вид РВ функции А (сс) определяется выражением + а а А (ы) = 222 ) Р ($) е-20! а(й, т/й (120. 5) Рис. !20.!. где $ — вспомогательная переменная интегрирования. Пусть функция Р (!) описывает световое возмущение в некоторой точке в момент времени 1, вызванное одиночным волновым цугом. Тогда она определяется условиями: Р (() = А,е'" а при ~1~ (т/22 Р(!)=0 при [((>т/2. График вещественной части этой функции даи иа рив. 120.1. Вие интервала от — т/2 до +т/2 функция Р(!) равна нулю.
Поэтому выражение (120.5), определяющее амплитуды гармонических составляющих, имеет вид +а/2 +а/2 А (ы) = 2л ) [А,е"а!1 е-24 а!а = 222Аа ) еа она-щам ~ а!2 -а/2 02[на-аз 2 +а/2 2 А,. а (ааа — М) (-а/2 После подстановки пределов интегрирования и несложных преобразований приходим к формуле 1 га01 и 4 т 0(п Наа — еа) а/21 а (02 — ааа) 2/2 ° Интенсивность 1(а) гармонической составляющей волны пропорциональна квадрату амплитуды, т. е. выражению 0! па [(аа — ааа) т/21 (120.5) 1(02 — ма) 2/212 График функции (120.6) показан на рис. 120.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
