И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Напомним, что подобный прием мы использовали прй изучении вынужденных колебаний (см. З 60 1-го тома). й П2. Отражение и преломление плоской Волны на границе двух диэлектриков Пусть плоская электромагнитная волна падает на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных диэлектриков. Диэлектрик, в котором распространяется падающая волна, характеризуется проиицаемостью е„ второй диэлектрик — пронпцаемостью е,. Магнитные проницаемости полагаем равными единице.
Опыт показывает, что в этом случае, кроме распространяющейся во втором диэлектрике плоской преломленной волны, возникает плоская отраженная волна, распространяющаяся в первом диэлектрике. Определим направление распространения падающей волны с помо1цью волнового вектора к, отраженной волны — с помощью вектора й' и, наконец, преломленной волны — с помощью вектора (е'. Найдем, как связаны направления к' и йв с направлением к. Это можно сделать, воспользовавшись тем, что на границе двух диэлектриков должно выполняться условие Е„= Еео (112.1) Здесь Е„и ń— тангенциальные составляющие напряженности электрического поля в первой и второй среде соответственно. В 5 21 мы доказали соотношение (112.1) для электростатических полей (см.
формулу (21.4)). Однако его легко распространить и иа поля, изменяющиеся со временем. Согласно уравнению (71.1) определяемая выражением (21.2) циркуляция В в случае переменных полейдолжна быть равна не нулю, а интегралу ~(( — В) бйе взятому по площади контура, изображенного на рис. 21.1: Ф Е1Ж = Еыа — Е„а+ <Ев> 2Р = — ~ Ь е(ч Я=е Ь Поскольку В конечно, при предельном переходе й-Р 0 интеграл в правой части обрзщается в нуль, н мы приходим к условию (21.3), из которого следует (21.4). 11 И. В. Сввелвевв е 3 гл.
хо(. пвндвлритяльныв сввдяиня 322 Пусть вектор й, определяющий направление распространения падающей волны, лежит в плоскости чертежа (рис. 112.1). Направление нормали к поверхности раздела охарактеризуем вектором п. Плоскость, в которой лежат векторы й и п, называется п л о с к остьь(о п а де н и я волны. Возьмем линию пересечения плоскости падения с границей раздела диэлектриков в качестве оси х. Ось у направим перпендикулярно к плоскости раздела диэлектриков. Тогда ось г будет перпендикулярна к плоскости падения, а вектор т окажется направленным вдоль оси х (см. рис.
112.1). Из соображений симметрии ясно, что век»( > торы й' и й" могут лежать лишь в плоскости падения (среды однородны и изотропны). Дей((' ствительио, допустим, чта, например, вектор Юд 'к' отклонился от этой плоскости «на нас». Однако иет никаких оснований предпочесть такое отклонение равному ему отклонению «от пасы Поэтому единственно возможным У ! " оказывается направление вектора й', лежащее Рис. ((2.(. в плоскости падения. Аналогичные рассуж- дения справедливы н для вектора й'.
Выделим из естественного падающего луча плоскополяризованную составляющую, в которой направление колебаний вектора Е образует с плоскостью падения произвольный угол. Колебания вектора Е в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в направлении вектора й, описываются функцией ") Е Е е((в(-в>! Е е'("'-'»' — 'вв! (при сделанном нами выборе асей координат проекция вектора й на ось г равна нулю, поэтому в показателе экспоненты отсутствует слагаемое — й>а). За счет выбора начала отсчета 1 мы сделали начальнук! фазу волны равной нулю. Напряженности в отраженной и преломленной волнах определяются аналогичными выражениями: т» (е'( — в,'«-в'«+о'! .
((е"( — ь«к — «»»+е"! (и' и и" — начальные фазы соответствующих волн). Результирующее поле в первой среде равно Е(=Е+Е'=Е е'("( в«в ввю.(.Е а~>м~ »'-~ив~"'!. (1122) »> Во второй среде »»>» ю ( (я"( в > — в и+ о"! (112.3) ') Точнее, вещественной частью втой функции> но мы двв краткости будем говорить просто функцией. $1!2. ОТРАЖЕНИЕ Н ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ 3«3 Согласно (112.1) тангенциальные составляющие выражений (112.2) и (1!2.3) на поверхности раздела, т. е.
при у=О, должны быть одинаковыми. Следовательно, мы приходим к соотношению 11»»1 — А««! Е' 1ч « ~ — д" ~~ ««~ ~~ (112 4) ,е « + ',е = ,е Для того чтобы условие (112.4) выполнялось при любом 1, необходимо равенство всех частот: О»=В»'=О»". (112.5) Чтобы убедиться в этом, напишем равенство (112.4) в виде да»и»1 + (»Е»тг» ОЗ1»»"1 где коэффициенты а, Ь и с не зависят от 1. Написанное нами равенство эквивалентно следующим двум: а сов и»1 + О соз »и 1 е д соз и»" 1, а з1П и»1 + О з 1и В»'Г = с з! и и»" 1.
Сумма двух гармонических функций будет также гармонической функцией только в том случае, если складываемые функции имеют одинаковые частоты. Получающаяся в результате сложения гармоническая функция имеет ту же частоту, что и складываемые функции. Отсюда следует соотношение (112.5). Таким образом, мы пришли к выводу, что частоты отраженной и преломленной волн совпадают с частотой падающей волны. Для того чтобы условие (112.4) выполнялось при любом х, необходимо равенство проекций волновых векторов на ось х: ~« (112.6) Показанные на рис. 112.1 углы О, Ь' и О' называются у г л о м падения, углом отражения и углом преломл е н н я.
Из рисунка видно, что л„=л з1ПО, й„'=й'з!и Ь', л„"=к"з(п Ь'. Поэтому соотношения (112.8) можно написать в виде й сйп О=я' сбп Ь'=л" гйп О". Векторы й и к! имеют одинаковый модуль, равный В»/о»; модуль вектора к равен ь»/о,. Следовательно, — Б1п Ь = — 5!и Ь = — з!п Ь и» . А» . » А» и» и! из Отсюда вытекает, что Ь'=О, з1В О и1 з»по" и, (112,7) (112.8) 1!а Полученные нами соотношения выполняются для любой плоскополяризованной составляющей естественного луча. Следовательно, они справедливы и для естественного луча в целом.
гл. хч». пввдвлэительньш сведения 324 Соотношение(112.7) выражает з а кон от р а же н и я с в ет а, согласно которому отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения. Соотношение (112.8) выражает закон п р е лом лен и я с в е т а, который формулируется следующим образом: преломленный,»уч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отнои»ение синуса угла паденил к синусу угла преломления есть величина постояннач для данных веществ. Фигурирующая в формуле (1!2.8) величина и», называется от н ос н тел ь н ы м п о к а з а т ел ем преломления второго вещества по отношению к первому. Представим эту величину в виде ь» с ь» сдв ь» и (112,9) ы= ь, ь, с с/ь» ь» Таким образом, относительный показатель преломления двух веществ равен отношению их абсолютных показателей преломления. Заменив в формуле (112.8) и», отношением п,/и», можно представить закон преломления в виде и» з(п б=п, з!и 6".
(112.10) Из этой формулы видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения б сопровождается более быстрым ростом угла преломления б; и по достижении углом 6 значения б„„у агсгйп пы (112. 11) угол б" становится равным и/2. Угол, определяемый формулой (112.11), называется и р е дел ь н ы м у г л о м.
Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным. лучами. По мере увеличения утла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах ото„р,„ до и,'2, световая волна проникает во вторую среду на расстоянйе порядка длины волны Х и затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отраж е н и е м.
Найдем соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн. Для простоты ограничимся случаем нормального падения плоской волны на поверхность раздела однородных и изотропных диэлектриков с показателями преломления и» и п,. Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной н преломленной волнах соответственно $! !2. ОтРлжение и пРелОмление плОскОЙ ВОлны 325 через Е, Е' и Е", а магнитную составляющую через Н, Н' и Н". Из соображений симметрии следует, что колебания векторов Е' н Е" происходят вдоль того же направления, что и колебания вектора Е. Аналогично колебания векторов Н' и Н" происходят вдоль направления Вектора Н.
В данном случае нормальные составляющие векторов Е и Н равны нулю. Поэтому тангенциальные составляющие этих векторов совпадают с самими векторами. На рис, 112.2 изображены мгновенные значения векторов Е и Н в падаю- в в' щей, отраженной и преломленной волнах. На рисунке показаны также орты е, е' и е" направлений, вдоль которых распространяются и! соответствующие волны.
Рисунок е" Ип пъ выполнен в предположении, что направления векторов Е и Е" одинаковы, а векторов Е н Е' протн- Н воположны (в этом случае векторы Н, Н' и Н" направлены за чертеж). Лействительиые соотношения Рес. 1!2.2. между направлениями векторов определятся расчетом. Модули векторов Е и Н связаны соотношением Н=ЛЕР е,~~~„ (см. текст, предшествующий формуле (110.8); соотношения, полученные для амплитудных значений Е и О, справедливы и для нх мгновенных значений). Тройка векторов Е, Н, е образует право- винтовую систему. С учетом сказанного можно написать, что Н = п,)/ е,ф,[ЕЕ! (112.12) (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
