И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Аналогично скорость приемника о„, будем считать положительной, если приемник движется по найравленпю к источнику, и отрицательной, если приемник движется в направлении от источника. Если источник неподвижен я колеблется с частотой м„то к моменту, когда источник будет завершать т,-е колебание, порожденный первым колебанием «гребень» волны успеет пройти в среде путь и (о — скорость распространения волны относительно среды). Следовательно„порождаемые источником за секунду ч««гребней» и «впадин» волны уложатся на длине ш Если же источник движет< я относительно среды со скоростью и„„, то в момент, когда источяик будет завершать ч;е колебание, «гребень», порожденный первым колебанием, будег находиться от источника на расстоянии и — в««, (рис.
103.1). Следовательно, т, «гребней» и «впадин» волны уложатся на длине ц — ц„,„, так что длина волны будет равна Х =- — "". (103,1) Мимо неподвижного приемника пройдут за секунду «гребни» и «впадины», укладывающиеся на длине ш Если приемник движется со скоростью о„, то в конце длящегося 1 с промежутка времени он будет воспринимать «впадину», которая в начале этого промежутка отстояла от его теперешнего положения на расстояние, численно равное о. Таким образом, приемник воспримет за секунду колебания, отвечающие <гребням> и «впадинам», укладывающимся на 30! »!Оа эФФект даплерх для 3ВукОВ ых ВОлн длине, численно равной а+ ап, (рис. 103.2), и будет колебаться с частотой "+ "пр Х Подставив в эту формулу выражение (103.1) для )., получим р+рпр ч = чп Пппт Из формулы (!03.2) вытекает, что при таком движении источника и приемника, при котором расстояние между ними уменьшается, ип«г Рис.
!03.!. воспринимаемая приемником частота ч оказывается больше частоты источника ч,. Если расстояние между источником и приемником увеличивается, ч будет меньше, чем чм Если направления скоростей ч„„и чпр не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, вместо а„„и апр в формуле (103.2) нужно брать проекции векторов ч„„и ч„р иа направление указанной прямой.
р еаееааааа Рис. !03.2. Из формулы (103.2) следует, что эффект Даплера для звуковых волн определяется скоростями движения источника н приемника относительно среды, в которой распространяется звук. Для световых волн также наблюдается эффект Доплера, однако формула для изменения частоты имеет иной вид, чем (103.2).
Это обусловлена тем, что для световых волн не существует вещественной среды, колебания которой представляли бы собой «свет». Поэтому скорости источника и приемника света относительна «среды» не имеют смысла. В случае света можно говорить лишь об относительной скорости приемника и источника. Эффект Даплера для световых волн зависит ат величины и направления этой скорости. Эффект Доплера для световых волн рассматривается в $ 151. ГЛЛВЛ Ху злектромлгннтные волны $104. Волновое уравнение для электромагнитного поля В главе 1Х мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, вообще говоря, тоже оказывается переменным.
Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяк1щихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну. Покажем, что существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла.
В случае однородной нейтральной (р=.0) непроводящей ()=О) среды с постоянными проницаемостями е н р дн дН дп , дŠ— рр —, — =ее ' —, з д~ > д~ = в д~ ~ дН [7Е1= — рра д, з 7н =О, дЕ [7Н1= еев д1 ° 7Е=О, (104.1) (104.2) (104.З) (104.4) Возьмем ротор от обеих частей уравнения (104.1): [7, [7Е]1= — щ~, [7, — 1. (104.5) Символ 7 означает дифференцирование по координатам.
Изменение последовательности дифференцирования по координатам и времени 7В=рр,7Н, 70=ее,7Е. Поэтому уравнения (71.1) — (71.4) можно написать следующим образом: $!ОС ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 303 приводит к равенству ~7, — '"1= — '[7Н1. Произведя в (104.5) такую замену н подставив в получившееся уравнение значение (104.3) для ротора Н, получим дкЕ 17 17Е)! = ВесРРс,)~з (104.6) Согласно (11.40) (7, (7Е!! = 7(7Е) — АЕ. В силу (104.4) первый член этого выражения равен нулю. Поэтому левая часть формулы (104.6) представляет собой — ЛЕ.
Таким образом, опустив слева и справа знак минус, приходим к уравнению дзй скЕ = ее,рр, —,, В соответствии с (39.15) В,р,=1/с'. Поэтому уравнению можно придать вид дк (104. 7) Раскрыв оператор Лапласа, получим дкЕ дкЕ дкв сп д'Š— + —,+ — = — —. дкк ду~ дат сЗ дС' ' Взяв ротор от обеих частей уравнения (104.3) и произведя аналогичные преобразования, придем к уравнению д~н д'Н дкн си дкн — + — + — = —— дкс дс' дгк ск дм (104.9) с и=— )к ср (104ло) В вакууме (т. е. при В=9=1) скорость электромагнитных воли совпадает со скоростью света в пустоте с.
Уравнения (104.8) и (104.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравнений (104.1) и (104.3), каждое из которых содержит и Е, н Н. Уравнения (104.8) и (104.9) представляют собой типичные волновые уравнения (см. (96.2)). Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный нз величины, Обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазовую скорость этой волны.
Следовательно, уравнения (104.8) и (104.9) указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна Гл. хч. электгомхгнитные волны 304 $105. Плоская электромагнитная волив дн„дŠ—" = ее — ' (105.3) дх х д! дЕ„ дНх дЕ О= ее — — „= — ее — х, д! ' дх х д~ д0 „дЕ„ — „"=еех "=О. дх дх (105.4) Уравнение (105.4) и первое из уравнений (105.3) показывают, что Е, не может зависеть ни от х, ни от й Уравнение (105.2) и перное из уравнений (!05.1) дают такой же результат для Н,.
Следовательно, отличные от нуля Е„и Н„могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, иакладывающимися на электромагнитное поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси х. Отсюда вытекает, что векторы Е и Н перпендикулярны к направлению распространения волны, т. е, что электромагнитные волны поперечны. В дальнейшем мы будем предполагать постоянные поля отсутствующими и полагать Е„=Н„=О.
Два последних уравнения (105.1) и два последних уравнения (105.3) можно объединить в две независимые группы: дЕР дН дН дŠ— „" = — рр — — „= — ее —" дх"- ° д! ° дх = ° д," ° (105.5) дЕ, дна дН дЕ (105,5) Первая группа уравнений связывает компоненты Е„и Н„вторая— компоненты Е, и Н„. Допустим, что первоначально было создано переменное электрическое поле Е, направленное вдоль оси и. Согласно второму нз уравнений (105.5) это поле создаст магнитное поле Н„ направленное вдоль оси г, В соответствии с первым уравнением (105.5) поле Н, создаст электрическое поле Е„, и т.
д. Ни поле Е„ ии поле Н„ при агом не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле Е„ то согласно уравнениям (105.5) появится поле Н„, которое возбудйт поле Е, и т. д. В этом случае Исследуем плоскую электромагнитную волну, распространяю- щуюся в нейтральной непроводящей среде с постоянными проницае- мостями е и р (р=О, )=О, е=сопз(, р=сопз!). Направим ось х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н, а значит, и их компоненты по координатным осям не будут зависеть от коор- динат у и г.
Поэтому уравнения (71.5) — (7!.8) упрощаются сле- дующим образом: днх дЕг дна дЕ„ дн, О= рр — — *= рр —" — "=- рр — ' (! 05,1) ~ щ дх х д! дх х д4 дд„ дН„ — дх"=Р!М вЂ” дх"=О, (105. 2) 3 188. ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА не возникают поля Ее и Н,. Таким образом, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (!05.5) илн (105.6), положив компоненты, фигурирующие в другой системе, равными нулю.
Возьмем для описания волны уравнения (105.5), положив Е,= =Н,=О. Продифференцируем первое уравнение по х и произд дНк д дНк дН ведем замену: — — '= — — '. Подставив затем — ' из втородк д! д8 дк дк го УРавнениЯ, полУчим волновое УРавнение ДлЯ Еэ. д'Е„ ер деЕ, дке се д88 (мы заменили е,р, через 1!с').
Продифференцировав по х второе нз уравнений (105.5), найдем после аналогичных преобразований волновое уравнение для Н;. (105.8) Полученные уравнения представляют собой частный случай уравнений (104.8) и (104.9). Напомним, что Е„=Е,=О и Н„=Н„=О, так что Е„=Е и Н,=Н. Мы сохранили в уравнениях (!05.7) й (105.8) индексы у и г при Е и Н, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что векторы Е н Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и г.
Простейшим решением уравнения (105.7) являетси функция Е =Е соз(а! — Йх+а1) (105.9) Решение уравнения (105.8) имеет аналогичный вид: Н,=Н„,соз (в! — Йх+а8). (!05.10) В этих формулах а — частота волны, Й вЂ” волновое число, равное ы!О, ае и а, — начальные фазы колебаний в точках с координатой х — --О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
