И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Тогда выражение для потенциальной энергии объема ЛУ примет вид Л)УР' 2 (д ) ЛУ' (98.3) Выражения (98.2) и (98.3) в сумме дают полную энергию а+ Р 2 1 ~(И) + (дх) Разделив эту энергию на объем ЛУ, в котором она содержится, получим плотность энергии -=--'' И~~)'+" (Й)'1 (98.4) Дифференцирование уравнения (98.1) один раз по д другой раз по к дает — = -агвз!п(ы1 — ах+а), — в=лаз)п(ы1 — /гх+55), да ОХ 286 ГЛ. Х1Ч. УПРУГИЕ ВОЛНЫ Подставив эти выражения в формулу (98.4) и приняв во внимание, что А"-э'=со', получим и1 = ра'ы' з1п' (аà — Ах+ а). (98.5) В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же выражение.
Из (98.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственна среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды равно (ю> = — ра'ы'. 1 2 (98.6) Плотность энергии (98.5) и ее среднее значение (98.6) пропорциональны плотности среды р, квадрату частоты ы и кввдрату амплитуды волны а.
Подобная зависимость имеет место не только для и~затухающей плоской волны, но и для других видов волн (плоской затухающей, сферической и т. д.). Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой энергию.
Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется и о т о к о м э н е р г и и через эту поверхность. Если через данную поверхность переносится за время г(1 энергия г((Р', то поток энергии 61 равен (98.7) Поток энергии — скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности.
В соответствии с этим СР измеряется в ваттах, эрг/с и т. п. Поток энергии в разных точках среды может обладать различной интенсивностью. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Пусть через площадку ЛЯ,, перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Л1 энергия Л)г'. Тогда плотность потока эперпш равна 1= ЛФ лю (98.8) л51 д5.ь л1 $98. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ 287 (см.
(98.7)). Через площадку Ых (рис. 98.1) будет перенесена за время М энергия Лйт, заключенная в объеме цилиндра с основанием Л5 е н высотой а А! (а — фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости ЬЯх и Ж) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, та Л"яг можно найти как произведение плотности энергии и на объем цилиндра, равный ЛЗха Ы: ЬйЯ=Гв ЬЯхаЛ1.
Подставив это выражениевформулу (98,8), получим для плотности потока энергии: У=~. (98.9) Наконец, введя вектор ч, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно написать ) =ГВЧ. (98. 10) Мы получили выражение для вектора плотности потока энерпи . Этот вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А.
Умовым и называется век т о р ам У ма в а. Вектор (98.10), как и плотность энергии Гв, различен в разных точках с'У Ф, УН Рис. 98.2. Рис. 98Л. пространства, а в данной точке изменяется со временем па закону квадрата синуса. Ега среднее значение равно <3> = <ег> ч = — расысч ! 2 (98, 11) (см. (98.8)). Выражение (98.11), так же как и (98.6), справедливо для волны любого вида (сферкческой, затухающей и т. д.). Отметим, что, когда говорят об и н те н с и в и ос т и в а л и ы в данной точке, та имеют в виду среднее па времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.
Зная 1 во всех точках произвольной поверхности Я, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность на элементарные участки Г(5. За время ОГ' через площадку Г(5 пройдет энергия й)Р', заключенная в изображенном на рис.
98.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра равен Г($'= ГЛ. Х1У. УПРУГИЕ ВОЛНЫ =од1 г(Я соз 1р. В нем содержится энергии г(йг"=1огЛ7=1оо Ш Ю соз 1р (1и — мгновенное значение плотности энергии в том месте, где расположена площадка г(5). Приняв во внимание, что и1о1(о сов ср (ЙЯсоз1р=1Г(8 (Г(Я=п дЯ„см.
рис. 98.2), можно написать: 1(иг=) ГБ1(й Отсюда для потока энергии г(Ф через площадку Ю получается формула 1(Ф= — =1ГБ (98.12) (ср. с формулой (11.5)). Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков (98.12): Ф= ) )Ю. В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора ) через поверхность 5. Заменив в формуле (98.13) вектор ) его средним по времени значением, получим среднее значение Ф: <Ф>= ) <1>Ж. (98.14) Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны.
В каждой точке этой поверхности векторы 1 и ЙБ совпадают по направлению. Кроме того, модуль вектора ) для всех точек поверхности одинаков. Следовательно, <Ф>=) <1>сБ=<(>8=<1>4пг' (г — радиус волновой поверхности). Согласно (98.! 1) <1>= )гера'е1'о. Таким образом, <Ф> = 2през'оа,'г' (а„— амплитуда волны на расстоянии г от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии через сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т.
е. должно выполняться условие а';г' = сопз1. Отсюда следует, что амплитуда а„незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию г от источника волны (см. формулу (94.10)). Соответственно средняя плотность потока энергии <1> обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с расстоянием по закону а=а,е т" (см. (94.9)).
Соответственно средняя $ в в. стОя чик вол н ы плотность потока энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по закону 1=1,е- (98. 15) Здесь к=22 — величина, называемая к о з ф ф и ц и е н т о м п от ло шеи и я вол н ы. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная х, равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е раз. й 99. Стоячие волны Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности.
Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом с у и е р и о з и ц и и (наложения) в о л н. В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются к о г е р е н т н ы м и. (Более строгое определение когерентности будет дано в 5 120.) При сложении когерентиых волн возникает явление и н те р ф е р ен ц и и, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.
Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется с т о яч е й в о л н о й. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.
Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в протиноположных направлениях: $,=-а соз(ы1 — /гх+а,), $,=а соз(вв1+йх+евв). Сложив вместе зти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим ь = ьг+ 3, = 2а соз (/гх + — '2"') соз (евт + "'-2 ') . (99. 1) Уравнение (99.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность св, — а, стала равной нулю, а начало отсчета 1 — так, чтобы оказалась равной нулю сумма а,+ив Кроме того, заменим волновое число й его во и.
в. Савельев, е. л ГЛ. Х1Ч. УПРУГИЕ ВОЛНЫ значением 2п/)», Тогда уравнение (99.1) примет вид $ = ~2а сов 2п — ~1 созе»1. х/ (99. 2) Из (99.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х: Х амплитуда = ~ 2а соз 2п — ~ . х В точках, координаты которых удовлетворяют условию 2п —" = ~ пл (и = О, 1, 2, ...), (99.3) амплитуда колебаний достигает максимального значенкя.
Эти точки называются п уч настя ми стоячей волны. Из (99.3) получаются значения координат пучностей: х„,„„= ~ и — (и = О, 1, 2, ...). (99.4) Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значение координаты х, определяемое формулой (99.4). В точках, координаты которых удовлетворяют условию 2п — =~ (и+ — ) и (Л=О, 1,2, ...), Х амплитуда колебаний обржцается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
