И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В нашем случае )7=0, Чь — ф = — 47С, = — 7 (г(7~Я. Подстановка этих значений в (89.2) дает О= — 4(С вЂ” 7. < (7,а). Наконец, заменив ЫЯг через и (см. (89.1)), получим 1 д+гсд=о Если ввести обозначение 8 .=а7,=- (89.3) уравнение (89.4) 1 И =— в ))г — ° уравнение (89.4) принимает вид д+а',д=О, (89.6) хорошо знакомый нам из учения о механических колебаниях (см.
формулу (53.1) 1-го тома). Решением этого уравнения является функция (89.5) — (~,1+ ). (89.7) (I =фсоэ(га,1+а)=()„соз(а,1+а). (89.9) Продифференцировав функцию (89.7) по времени, получим выражение для силы тока ые9~э1п(ыо(+и)= /асов ~ые(+~х+ ~) . (89.10) Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на н/2. Сопоставление формул (89.7) и (89.9) с формулой (89.10) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот. Зто соотношение между зарядом и током мы уже установили р а нее, основываясь на энергетических соображениях. Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой выражением (89.5).
Зта частота называется с о б с т в е н- Ь иой частотой контура (она соот- Рие. аз.з. ветствует собственной частоте гармонического осциллятора). Для периода колебаний получается так называемая формула Томсона: Т = 2п )' 7.С. (89. 8) Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С: гл. хпь электгичвские колеаания 2б2 Из формул (89.9) и (89.10) следует, что О Ч Чи Взяв отношение этих амплитуд и заменив в, по формуле (89.5), получим -= )/'Т'- (89.11) 9 90. Свободные затухающие колебания Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением.
Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении па нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение (89.2), написанное для цепи / — 3 — 2, изображенной на рис. 90.1, имеет вид !К= — — — Ь вЂ” „ д и/ С (90.1) (ср. с (89.3)). Разделив зто уравнение на /. и заменив / через д, а и//от через д, полу- чим Рнс. 90.1. д+т~ Ч+ / д= О.
(90.2) Приняв во внимание, что величина, обратная ЕС, равна квадрату собственной частоты контура в, (см. формулу (89.5)), и введя обозначение р=/с/2Ь, (90.3) уравнению (90.2) гчожио придать вид су+ 2()д+а„'у = О. (90.4) Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний (см. формулу (58.1) 1-го тома). При условии, что р- '( мм т. е. й'/41Л с 1/ЬС, решение уравнения (90.4) имеет внд д = д„,е-в'соз (м/+а), (90.5) Эту формулу можно получить также, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля УзС(/" должна быть равно наибольшему значению энергии магнитного поля Ы/./'. $99. СБОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 2бз где с>=- $''о~",— р'.
подставив значение (89.5) для ы9 и (90.3) для р, найдем, что Г ! л =У ~С а9 (90.6) Таким образом, частота затухающих колебаний ы меньше собственной частоты ы,. При )с=О выражение (90.5) переходит в (89.5). Разделив функцию (90.5) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе: (1 = — "' е-з' соя (ы1 + а) = (1 9е-З' соз (мМ+ а). (90 7) с Чтобы найти силу тока, продифференцируем (90.5) по времени: 1 = д = д,9е- З' ( — (! соз (ы1+ а) — а зйп (а1+ аЦ.
Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение в„~)1ы2-(-р", получим 1= в д е-з' à — =соя(ы1+а) — ="з)п(ы1+я)~. — О а9 М '+р' Введя угол ф определяемый условиями созф= — = — —, з!пф=== —, р Р м УР+Р' р м9+89 можно написать 1 = а,д„,е- з' соз (а1+ а+ ф). (90.8) Поскольку созф О, а з(пф)О„значение ф заключено в пределах от и/2 до и (п12 =ф( и). Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение иа конденсаторе более чем на п12 (при )с=О опережение составляет Л12). График функции (90.5) изображен на рис. 90.2. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.
Затухание колебаний принято характеризовать л о г а р и фмическим декрементом затухания Х= !и — ="рТ ай рт) (90.9) (см. формулу (58.9) )-го тома). Здесь а(1) — амплитуда соответствующей величины (д, (1 или !). Напомним, что логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний 19'„совершаеА1ых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз: А= )1М,. ГЛ. Х!!1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 2б4 Подставив в (90.9) значение (90.3) для р и заменив Т через 2п/Б1, получим для А следующее выражение: й 2з п(1 Х= — — = —.
2Е а Е1а * (90.10) Частота а, а следовательно, и Х определяются параметрами контура Е, С и !с'. Таким образом, логарифмический декремент затухания является характеристикой контура. Если затухание невелико ((1' ~~(Б1Д, можно положить в (90.10) ы ж 1Б,= = 1/1/ЕС. Тогда Х =яй ~ —. (90.11) Рис.
90.2. Колебательный контур часто характеризуют его добро тностью Я, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания: (',! = — =ИМ,. (90.12) Из (90.12) следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз.
В случае слабого затухания (90.13) (см. (90.11)). В 258 1-го тома было показано, что при слабом затухании добротность механической колебательной системы с точностью до множителя 2п равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергия за один период колебаний. Покажем, что это справедливо и для электрических колебаний. Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону е "'. Энергия (Р', запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока (или квадрату амплитуды напряжения на конденсаторе); следовательно, В' убывает по закону е 'Б1. Относительное уменьшение энергии за период равно Диг Ег 01 Ег(( ! У'1 ! А-1зг (и Ег (0 ! Прн незначительном затухании (т.
е. при условии, что Х((1) можно е *" приближенно положить равным 1 — 2А: — = 1 — (1 — 2Х) = 2А. В' $ з!. Вынужденные электРические кОлеБАния 265 Наконец, заменив в этом выражении Х через добротнссгь контура Я в соответствии с формулой (90.12) и решив полученное уравнение относительно Я, получим !',г =. 2п —, . иг (90.14) В заключение отметим, что при Я".г4(.с ) 1/ЕС, т. е. при (1- а гяс, вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебатель! ый процесс переходит в апериодический, называется к р и т и ч ее к и м.
Значение критического сопротивления )т» определяется условием К74) 4= И С, откуда гг„= 2)/ !.г'С. (90.15) $9!. Вынужденные электрические колебания Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную э. д, с. илн, разорвав кон- ' ~л ' гА 1 тур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение и=и,я ы! (91.Ц гг Рис. 9!.! (рнс. 91.!). Зто напряжение нужно прибавить к э.
д. с. самоиндукции. В результате формула (90.1) примет вид д нг И= — —,— !.— +(у созга!. с ш (9!.2) Произведя преобразования, получим уравнение и у + 2!)д + гя)гг — — — соз гяй О ! (91.3) (91.4) где !Г~пТЕ 2бгя 9и 1а ф = $ (е4 — м'-')'+4РЧА' мо — гс' Здесь Бг) н р определяются формулами (89.5) и (90.3). Уравнение (91.3) совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний (см.
формулу (60.1) 1-го тома). Частное решение этого уравнения имеет вид Г)=г) СОЗ (ВГ! — !Р), 266 ГЛ. Хп!. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕВАНИЯ (см. формулу (60,9) 1-го тома). Подстановка значений ы, 'и )) дает г)м ГРТНГ с сн (9 !.5) уф=, (91.6) Общее решение получится, если к частному решению (91.4) прибавить обшее решение соответствующего однородного уравнения. Это решение было получено в предыдущем параграфе (см. формулу (90.5)); оно содержит экспаненциальный множитель е а', поэтому по прошествии достаточного времени становится очень малым и им можно пренебречь. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (91.4). Продифференцировав выражение (91.4) по 1, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях: 1= — отд,„з)п (ы1 — ф)=1„,соз (ы1 — Тр+пl2) (1 =ыд ), Запишем это выражение в виде ') 1= 1„соз (от) — гр), (91.7) где ф=тр — п12 есть сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см.
(91.1)). В соответствии с (91.6) уф=(6(ф ",) „'„"е '"~. (91.6) Из этой формулы следует, что ток отстает по фазе от напряжения (р О) в том случае, когда о11. ) 1,'гоС, и опережает напрлжение (гр < 0) при условии, что о15 < 1/ыС. Согласна (91.5) и 1м от1)м Р кэ , '1геь — ПИС)а Представим соотношение (91.2) в виде И+ ~~+1.— „, =(1 ~м~1. (91.10) (91.9) Произведение 1Я равно напряжению Уя на активном сопротивлении, г)1С есть напряжение па конденсаторе Ус, выражение 1. (111Щ определяет напряжение на индуктивности (1с.
С учетом этого можно написать и„+(1,+и,=и.с (91.11) Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне (см. рис. 91.1). ') До нонна этой главы мм нс встретимся с понятием потснниалв. Поэтому обозначение фазового угла бунвой 1р Не Смюжет Привести н недоразумениям. зм. вынгжданныв элвктпичвскне колеааиия 267 В соответствии с (91.7) Уя — — !гу„соз (м(- ф). (91.12! Разделив выражение (91.4) на емкость, получим напряжение на конденсаторе Ус= с созМ 'И=Урсов(о>! Ч> 2) ' (91.13) Здесь Ус,„— ~ — " — (91. 14) с с у'>!'+< с — >г с!> с (см. (91.9)).
Умножив производную функции (91.7) на 1,, получим напряжение на индуктивности: У =Л вЂ” — мЕ! з!п(ы! — ч) = У „соз (м! — ~р -1- — "). (91.15) Здесь (91.16) Сопоставление формул (9!.7), (91.12), (91.13) и (91.15) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на и!2, а напряжение на индуктивности опере>кает ток на и!2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Фазовые соотношения можно представить очень наглядно с помощью векторной диаграммы (см.
3 55 1-го тома). Напомним, что гармоническое колебание (или гармоническую функцию) можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебания. Возьмем в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов. Тогда получается диаграмма, изображенная на рис. 91.2. Согласно (91.11) три функции Ул, Ус н У~ в сумме должны быть равны приложенному напряжению У. В соответствии с этим напряжение У изображаетси на диаграмме вектором, равным сумме векторов Ую Ус и Ут. Заметим, что из прямоуголшюго тре)тольиика, образованного пз диаграмме векторами У, Ул и разностью У вЂ” Ус, легко получить формулу (91.9). Резонансная частота для заряда 4 и напряжения на конденсаторе Ус равна ./' ! (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
