И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь СТ, достигнет частицы б. 2 г 4т 1 2' 4 Рис. 93Л. На рис. 93.2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и 1 2 г 2 Д' ! ! ! ! т Т 4 ! ! и т 2 ; ! ,г ', ! т Ф Рис. ЗЗ.2.
влево. Йз рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (9!еста сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью и. ГЛ. Х!Ч. УПРУГИЕ ВОЛНЫ 276 На рпс. 93.! и 93.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме.
Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени Д называется ф р о н т о м волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства„уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, -~ — д охваченного волновым процес- сом. Следовательно, волновых л поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый моРос. 93.3. мент времени только один.
Вол- новые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут быть любой формы, В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно. волна в этих случаях называется ил ос ко й или сфе р и ч ее к о й. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — множество концентрических сфер.
Пусть плоская волна распространяется вдоль осп х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат у и з), колеблются в одинаковой фазе. На рис. 93.3 изображена кривая, которая дает смещение $ из положения равновесна точек с различными к в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции $(х, г) для некоторого фиксированного момента времени Г.
Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. Расстояние Х, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется д л и н о й в о л н ы. Очевидно, что (93.1) ).= т, $94. УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ И СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛН 277 где и — скорость волны, Т вЂ” период колебаний.
Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2п (см. рис. 93.3). Заменив в соотношении (93. !) Т через ! у (т — частота колебаний), получим (93.2) К этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник воли совершает у колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадииу» волны.
К тому моменту, когда источник будет завершать ч-е колебание, первый «гребень» успеет пройти путь о. Следовательно, у «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине а. $ 94, Уравнения плоской и сферической волн Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, г и времени й $=$(х, у, г; !) (94.1) (имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени й так и относительно координат х, у, г.
Периодичность по времени вытекает г=а из того, что $ описывает колебания частицы с координатами х, у, г. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя- — » Х ние Х, колеблются одинаковым образом. Наидем вид функции $ в случае плос- г=»1 кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, Рис. 94, И чтобы ось х совпала с направлением распространения волны.
Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение $ будет зависеть толька от х н й Е=-$(х, !). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х=О (рис. 94.!), имеют вид $(О, 7)г а СОВ(4»7+4»). Найдем впд колебания точек в плоскоств, соответствующей произвольному значению х.
Для того чтобы пройти путь от плоскости х-=О до этой плоскости, волне требуется время т=хгв (Π— скорость ГЛ. ХИС УПРУГИЕ ВОЛНЫ 278 5=асов [а((- — ) +а1. (94.2) Величина а представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны а определяется выбором начал отсчета х и й При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы а была равной нулю.
При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех пик начальные фазы равнялись нулю, как правило, ие удается. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (94.2), положив хт Ы (à — — ) + Я = СОП51. (94.3) Это выражение определяет связь между временем г' и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение Йх/М дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (94.3), полу- чим а( — — 0х= О, 1 Р откуда (94А) Таким образом, скорость распространения волны о в уравнении (94.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью. Согласно (94.4) ахй(г ) О.
Следовательно, уравнение (94.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением 5=асов ~со (1+ — )+а~. (94.5) Действительно, приравняв константе фазу волны (94.5) и продиффереицировав получившееся равенство, придем к соотношению 8х — = — 0 й распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на т от колебаний частиц в плоскости х=О, т.
е. будут иметь вид $(х, () =асов(м(( — т)+а|=асов ~а (Ю вЂ” ~) +и1. Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении осн х, выглядит следующим образом: $9С УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ Н СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛН 275 нз которого следует, что волна (94.5) распространяется в сторону убывания х. Уравнению плоской волны можно придать симметричный атно. сительно х и ( вид. Для этого введем величину й= —, 2л (94.6) которая называется вол новым числом. Умножив числитель и знаменатель выражения (94,6) на частоту у, можно представить волновое число в виде й=— и (см. формулу (93.2)).
Раскрыв в (94.2) круглые сиобки и приняв во внимание (94.7), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х: в=а соз (оМ вЂ” йх+а). (94.8) Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, Отличается от (94.8) только знаком при члене ех. При выводе формулы (94.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоеной волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением От источника колебаний постепенна уменьшается— наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что а однородной среде такое затухание происходит по экспоиенциальному закону: а=-а,е 9" (ср.
с убыванием во времени амплитуды затухающих колебаний; см. формулу (58.7) 1-го тома). Соответственно уравнение плоской волны имеет следующий впд: и = а,е-"" соз (49( — йх+ 4х) (94. 9) (а, — амплитуда в точках плоскости хй 9). Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью.
Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать т о ч е ч н ы м. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источнииа равна (4э(+а). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса г, будут колебаться с фазой ы (1 — г4'и)+а= иМ вЂ” йг+С4 (чтобы пройти путь г, волне требуется время т=гlп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
