И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ультразвуковые волны могут быть получены в виде направленных пучков, подобных пучкам света. Направленные ультразвуковые пучки нашли широкое применение для целей локации (обнаружения предметов и определения расстояния до них) в воде. Впервые идея ультразвуковой локации была высказана выдающимся французским физиком П. Ланжевеном и разработана им во время первой мировой войны для обнаружения подводных лодок. В настоящее время ультразвуковые локаторы используются для обнаружения айсбергов, косяков рыбы и т.
п. Известно, что, крикнув и определив время до прихода эха, т. е. звука, отраженного от препятствия — скалы, леса, поверхности воды в колодце и т. д.,— можно, умножив половину этого времени на скорость звука, найти расстояние до препятствия. На этом принципе устроен упомянутый выше локатор, а также ультразвуковой эхолот, который применяется для измерения глубины и снятия рельефа морского дна. Метод ультразвуковой локации позволяет летучей мыши хорошо ориентироваться при полете в темноте.
Летучая мышь периодически испускает импульсы ультразвуковой частоты и по воспринимаемым с помощью органа слуха отраженным сигналам с большой точностью судит о расстояниях до окружающих ее предметов. $102. Скорость звука в газах Эвуковая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разрежения газа.
Следовательно, давление в каждой точке пространства испытывает периодически изменяющееся отклонение бг2 от среднего значения р, совпадающего с давлением, которое существует в газе в отсутствие волн. Таким образом, мгновенное значение давления в некоторой точке пространства можно представить в виде )0 =Р+ОР Пусть волна распространяется вдоль оси х. Подобно тому, как мы поступили в 9 97 при нахождении скорости упругих волн в твердой среде, рассмотрим объем газа в виде цилиндра с площадью основания Я и высотой 21х (рис.
102.1). Масса газа, заключенного в этом объеме, равна р5 Ьх, где р — плотность невозмущенного волной ГЛ. Х!Ч. УПРУГИЕ ВОЛНЫ газа. Ввиду малости бх проекцию ускорения на ось х для всех точек цилиндра можно считать одинаковой и равной дЯ/д!!. Для нахождения проекции на ось х силы, действующей на рассматриваемый объем, нужно взять произведение площади основания цилиндра 5 на разность давлений в сечениях (х+$) и (х+Лх+ +э+!Ц). Повторив рассуждения, приведшие нас к формуле (97,8), получим г" = — — 5йх др' дх (напомним, что при выводе формулы (9?.8) было использовано предположение: Л$((йх).
Итак, мы нашли массу выделенного объема газа, его ускорение и действующую на него силу. Теперь напишем для этого объема газа уравнение второго закона Ньютона: (95 йх) — „= — — 5 йх. дЯ др' После сокращения на 5Лх получим ч+йч,) р д!» = — д . (102 1) В полученном нами дифференциальном уравнении содержатся две неизвестные функции: $ и р'. Выразим одну из этих функций через другую. (', Для этого найдем связь между давлением газа р' и относительным изменением его объема д$!дх. Эта связь зависитотхарактера процесса сжатия (или расширения) газа. В звуковой волне сжатия и расширения газа следуют друг за другом так часто, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, и процесс можно считать адиабатическим.
При адиабатическом процессе связь между давлением и объемом данной массы газа дается уравнением рУ'» = сопз1, (102.2) где у — отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме (см. уравнение (88.8) 1-го тома). В соответствии с (!02.2) р (5 Ь х)т = р' [5 (Лх+ Ь$)1» = ='1'~"+~-'")1'= ""'~' Т Сокращение на (5 йх)» дает ~='(1+2)' 2!02. СКОРОСТЬ ЗВУКА В ГАЗАХ 297 Воспользовавшись тем, что по предположению (д$/дх)(<1, разло- жим выражение (1+д$/дх)т в ряд по степеням да/дх и пренебрежем членами высших порядков малости.
В результате получится фор- мула р=р' ((+уф Решим это уравнение относительно р'1 р = — =р~1 — у — ) Р / дй~ (102.3) дЯ ~ дх/ дх 1 (мы воспользовались формулой — ж 1 — х, справедливой для х((1). Из найденного нами соотношения легко получить выражение для Лр: Р Р Удд ' да (102 А) Поскольку у — величина порядка единицы, нз (102.4) вытекает, что 1д$/дх!ж1/х/2/р!. Таким образом, условие д5/дх Я1 означает, что отклонение давления от среднего значения много меньше самого давления.
Это действительно так: для самых громких звуков амплитуда колебаний давления воздуха не превышает 1 мм рт. ст., в то время как атмосферное давление р имеет величину порядка 1О' мм рт. ст. Продифференцировав выражение (102.3) по х, найдем, что дх УР дх2 ' Наконец, подставив зто значение др'/дх в формулу (102.1), получим дифференциальное уравнение дхх р д~$ дх2 тр д/2 Сопоставление его с волновым уравнением (96.7) дает для скорости звуковых волн в газе выражение .= ~Г,— ' (102.
6) и (напомним, что р и р — давление и плотность невозмушенного волной газа). При атмосферном давлении и обычных температурах большинство газов близко по своим свойствам к идеальному газу. Поэтому отношение р/р для них можно положить равным КТ~М, где )г— газовая постоянная, Т вЂ” абсолютная температура, М вЂ” масса моля газа (см. формулу (86.8) 1-го тома). Подставив это значение Гл. кцп упвтгив Волны в (102.5), получим для скорости звука в газе формулу (102.6) /ьв,т <вмол> 1' яМ (см. формулу (98.31) 1-го тома).
Сравнение этого выражения с (102.6) дает, что скорость звука в газе связана со средней скоростью теплового движения молекул соотношением .=<....> у'т,". (102,7) Подстановка значения у для воздуха, равного 1,4, приводит к соотношению о ж '/, <и„,„>. Максимальное возможное значение у составляет .'/,. В этом случае о ж '/,<и„„>. Таким образом, скорость звука в газе оказывается того же порядка, что и средняя скорость теплового движения молекул, но всегда несколько меньше, чем <и„,„>. Вычислим значение скорости звука в воздухе прн температуре 290 К (комнатная температура). Для воздуха 2=1,40, 34=29х м10 ' кгlмоль.
Газовая постоянная равна 8,31 дж1'(моль К). Подставив эти значения в формулу (102.6), получим о= ~~ — = ф' ' ' =340 м(с. -! рйТ вЂ” / 1,40 В,З1 290 Х4 1' 29 1О Найденное нами значение скорости звука в воздухе хорошо согласуется со значением, полученным опытным путем. Найдем связь между интенсивностью звуковой волны 4 и амплитудой колебаний давления (йр) .
В 2 101 было указано, что под интенсивностью звука понимают среднее значение плотности потока энергии. Следовательно, Р= — ра 40'о 1 2 (102.8) (см. формулу (98.11)). Здесь р — плотность невозмущенного газа, а — амплитуда колебаний частиц среды, т. е. амплитуда колебаний смещения $, ы — частота, и — фазовая скорость волны. Заметим, что под частицами среды в данном случае подразумеваются не молекулы, а макроскопические (т. е. заключающие в себе большое количество молекул) объемы, линейные размеры которых много меньше длины полны. Из этой формулы следует, что скорость звука пропорциональна корню квадратному из температуры и не зависит от давления.
Средняя скорость теплового движения молекул газа определяется по формуле $!Вк скорость ВВуКА В гАЗАх Пусть $ изменяется по закону $=асоз(ы! — йх+а). Тогда а$ 03 ах — =ай з(п(ы( — ах+а) =а — з!п(а|! — их+а). Подставив это значение в формулу (102А), получим Лр = — ура — э|и (м! — 'ах+ а) = — (Лр)„з|п (га! — йх+ х). О!сюда (102.11) а= —" (Ар) а (102,9) урн Подстановка этого выражения в (102.8) дает ! (АР1'„са, (Ар?~ 7 и ~' 2 у'р'-'а' 2у'ри ~ р ) Приняв во внимание, что о'=(уКТ)М)-*, а (рlр)З=(ГтТ,'М)! (см.
формулу (102.6) и предшествующий ей текст), можно написать (102. 10) 2ри С помощью этой формулы можно вычислить, что диапазону уровней громкости от 0 до 130 дБ соответствуют примерные значения амплят уды колебаний давления воздуха от 3. 1О ! Па (т. е. 2. 10 ' мм рт. сг.) до 100 Па ( 1 мм рт. ст.). Произведем оценку амплитуды колебаний частиц а и амплитуды скорости частиц (с) . Начнем с оценки величины а, определяемой формулой (102.9). Приняв во внимание, что п!а=?/2п, получим соо гношенне — =- — — ж 0,1 —" а ! (Ар|„, (АР),„ Х 2иу Р ' Р (у ж 1,5, следовательно, 2пу ж 10).
При громкости 130 дБ отношение (Лр) lр имеет величину порядка 10 ', при громкости 60 дБ это отношение равно примерно 2 1О '. Длины звуковых волн в воздухе лежат в пределах от 21 м (при т=16 Гц) до 17 мм (при ъ = =20 000 Гц). Подставив эти данные в формулу (102.11), найдем, что при громкости 60 дБ амплитуда колебаний частиц составляет 4.10 ' мм для самых длинных волн и 3 10 ' мм для самых коротких волн. При громкости 130 дБ амплитуда колебаний для самых длинных волн достигает 2 мм.
При гармонических колебаниях амплитуда скорости (ск) равна амплитуде смещения а, умноженной на круговую частоту ы: (с)„,= =-ам. Умножив выражение (102.11) на м, получим (1). ! (Лр!. (Ар). (102.12) у Р Р зоп гл. хш. кпе»тпг волны Следовательно, при громкости 130 дБ амплитуда скорости составляет примерно 340 и!с 10 '=0,34 м/с. При громкости бО дБ амплитуда скорости будет порядка О,! мм(с. Заметим, что, в отличие от амплитуды смещения, амплитуда скорости не зависит от длины волны. $103. Эффект Доплера для звуковых волн Пусть в газе или жидкости на некотором расстоянии от источника волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, которое мы будем называть приемником.
Если источник и приемник волн неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых приемником, будет равна частоте т«колебаипй источника. Если же источник или приемник либо оба они движутся относительно среды, то частота ч, воспринимаемая приемником, может оказаться отличной от тм Зто явление называется э фф е к т о м Д о п л е р а. Предположим, что источник и приемник движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость источника о„„будем считать положительной, если источник движется по направлению к приемнику, и отрицательной, если источник движется в направлении от приемника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
