И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю: ТВ=О. (49.2) Рис. 49.1. угол, на который поворачивается радиальная прямая при переме- щении вдоль контура на отрезок д1. Таким образом, подставив вы- ражение (42.5) для В, получим С учетом равенства (49.4) змеем фВН= — '„"'ф~Ь. (49.5) При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому фда =. 2п. Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 49.1,6). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачи- Теперь обратимся к циркуляции вектора В.
По определению циркуляция равна интегралу фвл. (49.3) Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 49.1; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку.
Заменим в выражении для циркуляции В й1 через В Ыа (и1а — проекция элемента контура на направление вектора В). Из рисунка видно, что На равно Ь На, где Ь вЂ” расстотше от провода с током до 4(1, дав Л -лаз 146 ГЛ. УЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ вается сначала в одном направлении (участок 1 — 2), а затем в противоположном (участок 2 — 1), вследствие чего фс(а равен нулю. Учтя этот результат, можно написать фВ ((=р,1, где под 1 следует подразумевать ток, охватываемый контуром.
Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю. Знак выражения (49.5) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол а). Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина (49.5) положительна, в противном случае — отрицательна. Знак можно учесть, полагая 1 алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным. С помощью соотношения(49.6) легко восстановить в памяти ис.
49ЛЬ Рис. 49.З. формулу (42.5) для В поля прямого тока. Представим себе плоский контур в виде окружности радиуса Ь (рис. 49.2). В каждой точке этого контура вектор В одинаков по величине и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция равна произведению В на длину окружности 2ПЬ, и соотношение (49.б) имеет вид В.
2ПЬ = ра 1. Отсюда В=р,112ПЬ (ср. с (42,5)). Случай неплоского контура (рис. 49.3) отличается от рассмотренного выше случая плоского контура лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не только поворачивается вокруг провода, но и перемещается вдоль него. Все выкладки, приведшие нас к формуле (49.б), остаются справедливыми, если под йх подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпендикулярную к току плоскость. Суммарный угол поворота этой проекции равен 2П, если контур охватывает ток, и 5 Мс ДИВЕРГЕНЦПЯ И РОТОР МАГНИТНОГО ПОЛЯ 14? нулю в противном случае. Следовательно, мы снова приходим к формуле (49.6).
Формула (49.6) получена нами для случая прямого тока. Можно показать, что она справедлива и для тока, текущего по проводу произвольной формы, например для кругового тока. Допустим, что некоторый контур охватывает несколько прово- дов с токами. В силу принципа суперпозиции (см. (40.!)) фВб(=ф(ХВ,) а=ХфВ„Л, Каждьш из интегралов в этой сумме равен р,1„. Следовательно, ф Вп(=ро1 19 (49.7) (вапомним, что 19 — алгебраическая величина). Если токи текут во всем пространстве, где расположен контур, алгебраическую сумму токов, охвать1ваемых контуром, можно пред- ставить в виде Х1 =1)п8=13ппо. (49.8) 9 3 Интеграл берется по произвольной поверхности Я, натянутой иа контур. Вектор ! есть плотность тока в той точке, где расположена плогцадка Ю; и — положительная нормаль к этой площадке (т.
е. нормаль, образующая с направлением обхода по контуру при вычислении циркуляции правояиитовую систему). Заменив в (49.7) сумму токов выражением (49.8), получим ф В б! = р, ) ) !8. Преобразовав левую часть па теореме Стокса, придем к равенству ~ (Т В) б8 = 99 ) ) б8. Полученное равенство должно выполняться при произвольном выборе поверхности 5, по которой берутся интегралы.
Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют в каждой точке одинаковые значения. Таким Образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора магнитной индукции пропорционален вектору плотности тока в данной точке: (781 = р,!. (49.9) Коэффициент пропорциональности в СИ равен р,. Отметим, что формулы (49.7) и (49.9) справедливы только для поля в вакууме в отсутствие меняющихся во времени электрических полей. ГЛ Ч(. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 7Е= —,р 1 [ЧЕ)- 0 (дивергеииия С равна р, (ротер Е рамн иуаю) деленному иа еа> 7В=-0 [)В)=-р 1 (диверге~гиия В равна нулю) (ротор В равен 1, умноженному на де). Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Ротор электростатического поля равен нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано скалярным потенциалом (р.
Ротор магнитного поля в тех точках, где есть ток, отличен от нуля. Соответственно циркуляция вектора В пропорциональна току, охватываемому контуром. Поэтому магнитному полю нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с В соотношением, аналогичным (8.2). Этот потенциал не был бы однозначным — при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную тачку он получал бы приращение, равное р,l. Поле, у которого ротор отличен от нуля, называется в и х р е в ы м или соленоидальным. Поскольку дивергенция вектора В всюду равна нулю, этот вектор можно представить в виде ротора некоторой функции Ан В=[рл) (49.10) (дивергенция ротора всегда равна нулю; см.
(11.39)). Функция А называется в е к т о р н ы м п о т е н ц и а л о м магнитного поля. Рассмотрение векторного потенциала выходит за рамки данной книги. $50. Поле соленоида и тороида Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля соленоида выглядят примерно так, как показзно на рис. 50.1. Внутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему. У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси.
КРоме того, линейнаЯ плотность тока )л„и (РавнаЯ отношению силы тока И к элементу длины соленоида ((1) изменяется периодически прп перемещении вдоль соленоида. Среднеезначениеэтой плотности равно <1„„„>=ф)=ЛУ, (50.1) Итак, мы нашли дивергенцню и ротор магнитного поля в вакууме.
Сравним полученные формулы с аналогичными формулами для электростатического поля в вакууме. Согласно (!3.5), (12.3), (49.2) и (49.9) 1 ак пОле сОленоидА и тогоидА где и — число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, 1 — сила тока в соленоиде. В учении об электромагнетизме большую роль играет воображаемый бесконечно длинный соленоид, у которого отсутствует осевая составляющая тока и, кроме того, линейная плотность тока постоянна по всей длине.
Причина этого заключается в том, что поле такого соленоида однородно и ограничено объемом соленоида (аналогично электрическое поле бесконечного плоского конденсатора однородно и ограничено объемом конденсатора). В соответствии со сказанным представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра, обтекаемого током постоянной линейной плотности ! 1,„„= а1. (50.2) Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи — «виткню. Из Рис. З0.1. Рис.
50.2. рис. 50.2 видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси. Следовательно, и результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь лишь направление, параллельное оси. Из рнс. 50.1 вытекает, что направления поля внутри и вне конечного соленоида противоположны. При увеличении длины соленоида направления полей не изменяются и в пределе при 1-~- оо остаются противоположными. Для бесконечного соленоида, как и для конечного, направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовинтовую систему. Из параллельности вектора В оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соленоида должно быть однородным.
Чтобы доказать это, возьмем внутри соленоида воображаемый прямоугольный контур 1 — 2 — Л вЂ” 4 (рис, 50.3; участок 4 — 1 идет по оси соленоида). Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора В значение (В, — В,)а. Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция должна быть равна нулю (см. (49.7)). Отсюда ГЛ. Чь МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ гзз следует, что В,=В,. Располагая участок контура 2 — 3 на любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукцня В, на этом расстоянии равна индукции В, на оси соленоида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
