И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 25
Текст из файла (страница 25)
45.3, и). Совокупность этих цепочек эквивалентна прямому бесконечному току силы 1 = 2Ли = 2Лаи/)/ 1 — иа(са, (45.4) где Л вЂ” величина, определяемая формулой (45.3). Суммарная линейная плотность зарядов цепочки равна нулю, поэтому электрическое поле отсутствует. На заряд д действует магнитная сила, величина которой согласно (45.1) и (45.4) равна р На 4Лаи (45.5) Перейдем в систему отсчета К', относительно которой заряд а покоится (рис.
45.3, б), В этой системе на заряд д также действует сила (обозначим ее Е'). Однако эта сила не может быть магнитного происхождения, поскольку заряд д неподвижен. Сила Г"' имеет чисто электрическое происхождение. Возникает она потому, что линейные плотности положительных и отрицательных зарядов в цепочках теперь ие одинаковы (ниже мы увидим, что плотность отрицательных зарядов больше). Избыточный отрицательный заряд, распределенный по цепочке, создает электрическое поле, которое $45. МАГНЕТИЗМ КАК РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЭФФ1 КТ !Сй ее о о о о о еи е е е о о е о е о — о е е е о е е и и -и о е — -о и о е о о е -е Ю хьсс~р!! Рис.
45.3. сила Г' перпендикулярна к относительной скорости систем К и К'(Г' 1 ч,), преобразование имеет вид Р' 1~1 — со!со+ чо(Г'ч')!с« 1+чесу«о (ч' — измеренная в системе К' скорость частицы, на которую действует сила Г'). Если ч'=О (что имеет место в рассматриваемой нами задаче), формула преобразования силы выглядит следующим образом: Г = Г' )' 1 — Оо(со.
Из этой формулы вытекает, что перпендикулярная к ч, сила, действующая на покоящуюся в системе К' частицу, оказывается и в системе К перпендикулярной к вектору ч,. Модуль же силы в этом случае преобразуется по формуле Г = Г' Г 1 — о,'/со. Плотности зарядов в положительной и отрицательной цепочках, измеренные в системе К', имеют величины (см. (45,3)) А+ — — Хо)Р 1 — и', (Со, )о' = — Ао!У1 — и''(Со, (45.7) где и', и и' — скорости зарядов +е и — с, измеренные в системе К'.
При переходе от системы К к системе К' проекция скорости частицы на направление х, совпадающее с направлением чо, преобразуется 5 И. В. Со«ос«о«, е. 2 действует на положительный заряд д с силой Г', направленной к цепочке (см. рис. 45.3, б). Вычислим силу Г' и убедимся в том, что она «равнао силе Г, определяемой формулой (45.5). Мы взялн слово «равиао в кавычки, потому что сила не является инвариантной величиной. При переходе от одной ннерцпальной системы отсчета к другой сила преобразуется по довольно сложному закону.
В частном случае, когда й' А'с ГЛ. Ч!. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ <зо по формуле ох ао их= о "хоо/о (см. формулу (66.2) 1-го тома; мы заменили о и о' на и и и'). Для зарядов +с компонента и„ равна и, для зарядов — с она равна — и (см. рис. 45.3, а), Следовательно, и "о .) и оа х)+ — ! — ига/со ', х) — = 1 <-иоа/со ' Поскольку остальные проекции равны нулю, получаем ! о — оо ! ° "+хо и,'=,, и'= + (45.8) (45.10) Для упрощения выкладок перейдем к относительным скоростям р,=о,/с, р=и/с, 5;=и,'/с, ()'=и'/с. Тогда формулы (45.7) и (45.8) примут вид Л+ —— Ло/)' 1 — ();.', Л-'= — Ла/ 1 — Р- а (45 9) ! Р— !)а ! я.
Р+«о ! — ()р ' " <+йМ ' С учетом этих формул получаем для суммарной плотности зарядов выражение Л' Л, Ла Л (<-РВа) Ло(<+<<5 ) э'о-ооо -а-ой 1'( оооо)' -— ( (ааааа Легко убедиться в том, что (1 — Фо)' — (!) — ()а)' = (!+ Фа)' — (р+!)0)' = (1 — рО) (1 — р'). Следовательно, Ло — 2ЛоВРа — 2) ои™о (45 1 1) )'(! — Ра) (! — (<о) с' )/ ! — оа/о')/! — Аа/са В соответствии с форм)лой (14.5) бесконечно длинная нить, несущая заряд плотности Л, создает поле, напряженность которого иа расстоянии Ь от нити равна о ! Л' Ео 2оаоа Ь В этом поле на заряд д действует сила Р =</Е о о а<Л 2иоаЬ 545МАГНЕТИЗМ КАК РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЭФФЕКТ Подстановка выражения (45.11) дает (знак минус опускаем) лерьсР ~" 1 — срГсс )сс1 — исус 4л Ь ТС1 1 — лтс У'1 срРСсР (напомним, что рр=1/ерс', см. (39.15)).
Полученное выражение отличается от выражения (45.5) лишь Срт — ср*. с р Р = Р' У1 вр.ГС р где Р— сила, определяемая выражением (45.5), а Р' — сила, определяемая выражением (45.12). Сравнение с (45.6) показывает, что Р и Р' суть значения одной и той же силы, определенные в системах К и К'. Отметим, что в системе К", которая двигалась бы относительно системы К со скоростью, отличной от скорости заряда о,, сила, действующая на заряд, слагалась бы из электрической и магнитной сил. Полученные нами результаты означают, что электрическое и магнитное поля неразрывяо связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле.
При специальном выборе системы отсчета поле может оказаться чисто электрическим или чисто магнитным. Однако относительно других систем отсчета то же поле представляет собой совокупность электрического и магнитного полей. В разных инерциальных системах отсчета электрическое и маг. нитное поля одной и той же совокупности зарядов оказываются различными. Вывод, выходящий за рамки курса общей физики, приводит к следующим формулам преобразования полей при переходе от системы отсчета К к движущейся относительно нее со скоростью тр системе отсчета К'.
Ес — срВс Е, Вс+ирВс — У1 — рр ' (45.13) В, Вд+ лрлр 8, Вр — срдр рр Вр бр Здесь Е„Е„, Е„В„, В,, В, — компоненты векторов Е и В, характеризующих электромагнитное поле в системе К; аналогичные символы со штрихами — компоненты векторов Е' и В', характеризующих поле в системе К', буквой 5 обозначено отношение в,/с. Разложив векторы Е и В, а также Е' и В' на параллельные вектору ър (а значит, и осям х и х') и перпендикулярные к этому вектору составляющие (т.
е, представив, например, Е в виде Е=Е>+ЕЕ и т. д.), можно написать формулы (45.13) в векторном виде: Е + [чоВА1 Е;,=Е„, Е~ = р ~ — р' В„'= В„, В У 1 — РР 5р !из ГЛ.Ч!.МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Е ВАКУУМЕ В гауссовой системе единиц формулы (45.14) имеют вид: Е +(1/с)[тои Е! — — Е,, Е> —— В! — (1/с) [чоЕ с1 (45.15) в=в, в„= у ! — ро В случае, когда )) ~(! (т. е. Ео((с), формулы (45,14) упрощаются следующим образом: Е1=Е!1, Е! =Е~ +[чоВд~; 1 В'= В!1, В' = В! — —. [чоЕд).
Сложив попарно этн выражения, получим Е' = Е;,+Е' =- Е!!+ Е! +[чоВД=Е+[ч,ВД, В' = В'+ В'„= В!, + ВА — —,[чоЕ11= —  —, [ч,ЕД. 1 (45.16) Поскольку векторы ч, и В! коллннеарны, их векторное произведение авиа нулю. Поэтому (ч,В)=(чоВ11+[ч,В!1=(чоВА). Аналогично ч,Е)=(чоЕА1. С учетам этого формулам (45.16) можно придать вид Š— 'Е + [чоВ)~ В =  —, [чоЕ1 (45.17) По этим формулам преобразовываются поля в случае, если относи- тельная скорость систем отсчета о, много меньше скорости света в вакууме с (оо((с). В гауссовой системе формулы (45.17) выглядят следующим обрааом: Е'= Е+ — (яоВ) В'=  — — [тоЕ) 1, 1 (45.18) о В рассмотренном в начале этого параграфа примере в системе К, в которой заряд д двигался параллельно проводу с током со ско- ростью ч„ имелось талька перпендикулярное к ч, магнитное поле ВА, составляющие В, Ед и Е! были равны нулю.
Согласно форму- лам (45.14) в системе К', в которой заряд д покоится (эта система движется относительно К са скоростью ч,), наблюдается составляю- щая В'ш равная В $' 1 — ро, и, кроме того, перпендикулярная составляющая электрического поля Е~ = [чоВД$' 1 — ро. В системе К на заряд действует сила Г = г/ [чоВА).
(45.19) Поскольку заряд г/ в системе К' покоится, на него в этой системе действует лишь электрическая сила Г' =- дЕл:=- о (45.20) уТ:ро Сопоставление формул (45.19) и (45.20) дает Г = Г!)/1 — ()о, что совпадает с (45.6). $46. КОНТУР С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ й 46.
Контур с током в магнитном поле Выясним, как ведет себя контур с током в магнитном поле. Нач. нем со случая, когда поле однородно (В=сопз1). Согласно (44.5) на элемент контура а1 действует сила с(Г= ЦМ, В1. (46.1) Результирующая таких сил равна Г =ф1[(1, В), (45.2) Вынеся постоянные величины 1 и В за знак интеграла, получим Г=1~(фб(), В~.
Интеграл ф~й равен нулю, поэтому Г=О. Таким образом, результирующая сила, действующая на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. Это справедливо для контуров любой формы (в том числе и неплоскпх) при произвольном расположении контура относительно направления поля. Существенной для равенства нулю результирующей силы является лишь однородность поля. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением плоских контуров. Вычислим результирующий вращательный момент, создаваемый силами (46.1), приложенными к контуру. Поскольку в однородном поле сумма этих сил равна нулю, результирующий момент относительно любой точки будет один и тот же.
Действительно, результирующий момент относительно некоторой точки О определяется выражением Х =) [г, г(Г1, где г — радиус-вектор, проведенный нз точки О в точку приложения силы ~1Г. Возьмем точку О', смещенную относительно О на отрезок Ь. Тогда г=Ь+г', соответственно г'=-г — Ь. Поэтому результирующий момент относительно точки О' равен Х = 1 [г', 1Г1 =- 1 [(г — Ь), бг1 = = ~ [г, бГ1 — ) [ Ь, аГ1 = 1ч' — [ Ь, ~ г(Г ) = 1Ч ( ') с(г = О). Моменты, вычисленные относительно двух произвольно взятых точек О и О', оказались совпадающими. Отсюда заключаем, что момент не зависит от выбора точки, относительно которой он берется (ср. с парой сил).
Рассмотрим произвольный плоский контур с током, находящийся в однородном магнитном поле В. Пусть контур ориентирован так, что положительная нормаль к контуру и перпендикулярна к век- !34 гл. ч!.млгнитное поля в вхкэкме тору В (рис. 46.!). Положительной называется нормаль, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта. Разобьем площадь контура на узкие параллельные направлению вектора В полоски ширины бу (см.
рис. 46.1, а; на рис. 46.1, б одна такая полоска изображена в увеличенном виде). На ограничивающпй полоску слева элемент контура г(1, действует сила г(Ро направленная за чертеж. Модуль этой силы равен дУ,= =1В Ж, э[па,=1В ду (см. рис. 46.1, б). На ограничивающий полоску справа элемент контура Й1, 1 действует сила йрм направленная на нас.
Модуль этой силы равен ЫУ,= 1В й, з[и а, = !В !(у. «) и 6 Полученный нами результат аз«у начает, что силы, прилаженные к противоположным элементам контура Л, и 4([м образуют пару, момент которой равен 4(й1=УВх !(у=/В б5 (Й5 — площадь полоски). Из рис. 46.! видно, что вектор ой[ перпендикулярен к векторам и и В и,следовательно, может быть записан в Ряс. 4б.!. виде «у «Ь !ьи~~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
