И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 26
Текст из файла (страница 26)
7Л Ф -'- -'- — -' в —— ,а г 1 ! ИХ=! 1пВ1 ![5. Просуммировав это выражение по всем полоскам, получим вращательный момент, действующий иа контур: [Ч =- ~ У (пВ] г(5 = — У [пВ] ] с(5 =. 1 (пВ] 5 (46.3) (поле предполагается однородным, поэтому произведение [пВ1 для всех полосок одинаково и сюжет быть вынесено за знак интеграла). Величина 5 в выражении (46.3) есть площадь контура.
Выражение (46.3) можно представить в виде й[=- [(!5п), В1. (46.4) Эта формула сходна с формулой (9.12), определяющей вращательный момент, действующий на электрический диполь в электрическом'поле. Аналогом Е служит в (46.4) вектор В, а аналогом дипольного электрического момента р — выражение 15п. Это послужило основанием для того, чтобы назвать величину р =!5п (46. 6) дипольным магнитным моментом контура с током, Направление вектора р совпадает с направлением положительной нормали к контуру. 135 4 «б. КОНТУР с ТОКОМ В МАГНИТНОМ Г!ОЛЕ Воспользовавшись обозначением (46.5), можно написать формулу (46.4) следующим образом: й)=(р„, В~ (р„1 В).
(46,6) Теперь допустим, что направление вектора В совпадает с направлением положительной нормали к контуру п, а следовательно, и с направлением вектора р (рис. 46.2). В этом случае силы, действующие на разные элементы контура, лежат в одной плоскости— плоскости контура. Сила, действующая на элемент контура б(1, определяется выражением (46.1). Вычислим результирующий момент таких сил относительно точки О, лежащей в плоскости контура: !1 = ) д!1 =- ) 1Г, !ТР~ = ( ф [г, 1бЛ, В11 (г — радиус-вектор, проведенный из точки О к элементу Л). Преобразуем подыитегральное выражение по формуле «бац минус цаб» (см.
формулу (2.35) 1-го тома). В результате получим Х=у У(ГВ),(1 — 1В(г, л)) . Первый интеграл равен нулю вследствие того, что векторы г и В взаимно перпендикулярны. Скалярное произведение под знаком Ряс, 4б.з. Рис. 4бдв второго интеграла равно г б(Г=«!'»!1(г»). Поэтому второй интеграл можно представить в виде ~,вф,(( ), Под знаком интеграла стоит полный дифференциал функции Г'. Сумма приращений функции на замкнутом пути равна нулю. Следовательно, и второе слагаемое в выражении для !1 равно пулю. Таким образом, мы доказали, что результиру!ощий момент 1Ч относительно любой точки О, лежащей в плоскости контура, равен нулю.
Такое же значение имеет результирующий момент относительно всех других точек (см. выше). гл. гь млгнитное поле в влкттма М=(р, В). (46.7) Модуль вектора М равен У=р В ебп а. (46. 8) Для того чтобы угол а между векторами р и В увеличить на па, нужно совершить против сил, действующих на контур в магнитном поле, работу г(А = У г(а=р В з(п а йс.
(46,9) Поворачиваясь в первоначальное положение, контур может возвратить затраченную на его поворот работу, совершив ее над каким- нибудь телом. Следовательно, работа (46.9) идет на увеличение потенциальной энергии Кр „,„, которой обладает контур с током в магнитном поле, гор „,„— — р„В гйп а йх. Интегрируя, находим Ур„,„— — — р Всоза+сопз1. Если положить сопз(=0, формула приобретает вид Ж;, „,„= — р„В соз а = — р,„В (46.10) (ср. о формулой (9.16)). Итак, в случае, когда векторы р и В имеют одинаковое направление, магнитные силы, действующие на отдельные участки контура, не стремятся пн повернуть контур, ни сдвинуть его с места; они лишь стремятся растянуть контур в его плоскости. Если векторы р и В имеют противоположные направления, магнитные силы стремятся сжать контур.
Пусть направления векторов р и В образуют произвольный угол а (рис. 46.3). Разложим магнитную индукцию В на две составляющие: В~~ — параллельную и Вх — перпендикулярную вектору р, и рассмотрим действие каждой составляющей отдельно. Составляющая В,~ будет обусловливать силы, растягивающпе или сжимающие контур. Составляющая Вс, величина которой равна В з(п а, приведет к возникновению вращательного момента, который можно вычислить по формуле (46.6): М=(р„, В,1. Из рис. 46.3 видно, что (р., В,)=~р„, В1.
Следовательно, в самом общем случае вращательный момент, действующий на плоский контур с током в однородном магнитном поле, определяется формулой 4 46. кОнтуР с тОкОм в млгнит ном пОЛ е Параллельная ориентация векторов р„и В отвечает минимуму энергии (46.10) и, следовательно, положению устойчивого равновесия контура, Величина (46.!О) представляет собой не полную потенциальную энергию контура с током, а лишь ту ее часть, которая обусловлена существованием вращательного момента (46.7). Чтобы подчеркнуть это, мы снабдили символ величины (46.10) индексом «мех».
Полная потенциальная энергия контура включает, кроме (46.10), еще другие слагаемые. Теперь рассмотрим плоский контур с током в неоднородном магнитном поле. Для простоты будем вначале считать контур круговым. Предположим, что поле изменяется быстрее всего в направлении к, совпадающем с направлением В в том месте, где расположен центр контура,'и что магнитный момент контура ориентирован по полю (рис. 46.4, а). В рассматриваемом случае Ватсон»1 и выражение (46.2) не обязано быть нулем.
Сила дГ, действующая на элемент контура, перпендикулярна к В, т. е. к — аг линии магнитной индукции в месте пересечения ее с «(1. Поэтому силы, приложенные к различным элементам в т' - в, Д~~ контура, образуют симмет- 1 и, ' .Р ~Ц 1 ричный конический веер (рнс. 46.4, б). Их результирующая Г направлена в сторону возрастания В и, следовательно, втягивает а) 1 ф контур в область более Рис. 46А. СИЛЬНОГО ПОЛЯ. ОЧЕВИДНО, что чем сильнее изменяется поле (чем больше дВ,'дх), тем меньше угол раствора веера и тем больше, при прочих равных условиях, результирующая сила Г.
Если изменить направление тока на обратное (при этом р станет противоположным В), направления всех сил т(Г и их результирующей Г изменятся на обратные (рис. 46.4, в). Следователю«о, при такой взаимной ориентации векторов р и В контур будет выталкиваться из поля. С помощью выражения (46,10) для энергии контура в магнитном поле легко найти количественное выражение для силы Г. Если ориентация магнитного момента по отношению к полю остается неизменной (с«--.соп»1), то !Гр „,„будет зависеть только от к (через В). Продифференцнровав %'р „,„по х и изменив у результата знак, получим проекцию силы на ось хс авг,„,„вв Г =- = = р — соз я.
««Тх Рм Дх ГЛ. ЕЬ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ По предположению, в других направлениях поле изменяется слабо, поэтому проекциями силы на другие оси можно пренебречь и считать, что р=р,. Итак, дв р=р д, сова. Согласно полученной нами формуле сила, действующая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит ог ориентации магнитного момента контура относительно направления поля.
Если векторы р и В совпадают по направлению (а=О), сила положительна, т. е. направлена в сторону возрастания В (дВ7дх предполагается положительным; в противном случае знак и направление силы изменятся на противоположные, но сила по-прежнему будет втягивать контур в область силыюго поля). Если рп и В антипараллельны (гг=п), сила отрицательна, т. е. направлена в сторону убывания В. Этот результат мы уже получили качественно с помощью рис.
46.4. Разумеется, что, кроме силы (46.11), на контур с током в неоднородном магнитном поле будет действовать также вращательный момент (46.7). $47. Магнитное поле контура с током Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса 1Т (круговой ток). Определим магнитную индукцию в центре кругового тока (рис. 47.1). Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную дь Рис. 47.2.
Рис. 47.1. вдоль положительной нормали к контуру. Поэтому векторное сло>кение г(В сводится к сложению их модулей. По формуле (42.4) ио ТЮ дВ= —— 4з (ц=Ы2). Проинтегрируем это выражение по всему контуру: Выражение в скобках равно модулю дипольного магнитного момента р (см. (46.5)). Следовательно, магнитная нндукция в центре 4 ОП МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КОНТУРА С ТОКОМ кругового тока имеет величину =4,(7. Из рис. 47.1 видно, что направление вектора В совпадает с направлением положительной нормали к контуру, т. е, с направлением вектора р .
Поэтому формулу (47.1)можно написать в векторном виде: (47.1) (47.2) 7 4л (Я о + Го)'м Это выражение пе зависит от знака г. Следовательно, в точках оси, симметричных относительно центра тока, В имеет одинаковую всличину и направление. Прн Г=О формула (47.4) переходит, как и должно быть, в формулу (4?.2) для магнитной индукции в центре кругового тока. На больших расстояниях от контура в знаменателе можно пренебречь !то по сравненшо с г'. Тогда формула (47.4) принимает вид В= ~' —.„—" (на оси тока), (47.
5) аналогичный выражению (9.9) для напряженности электрического поля на оси диполя. В= — ' по 2Рл 4л (оо ' Теперь найдем В на оси кругового тока на расстоянии г от центра контура (рис. 47.2). Векторы 7(В перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующий элемент о(! и точку, в которой мы ищем поле. Следовательно, онн образуют симметричный конический веер (рис. 47.2, б). Из соображений симметрии можно заклкн чить, что результирующий вектор В направлен вдоль оси контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
