И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Каждый из составляющих векторов бВ вносит в результирующий вектор вклад о(В7, равный по модулю о(В з(п р=о(В(Й7Ь). Угол л между о(1 и Ь прямой, поэтому Ро То( л Ро !Йа( дВ =7( — = — — — = — ' —. Ь 4л Ьо Ь 4л Ь" Проинтегрировав по всему контуру и заменив б на )7 (т'о-(-г', получим В = ~ ЛВЬ вЂ” — — Ь| ',Р Л = 4 Ь Ро Тл .Г И Ро 2 ((л(т'1 по 2ла . (47 2) 4л (Ио 1-оо)о7* 4л (7(о-1 Го)о7о Эта формула определяет величину магнитной индукции на Оси кругового тока.
Приняв во внимание, что векторы В и р имеют одинаковое направление, можно написать формулу (47.3) в векторном виде: 14О ГЛ.Щ.МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ Расчет, выходящий за рамки данной книги, дает, что любой системе таков или движущихся зарядов, локализованной в ограниченной части пространства, можно приписать магнитный дипольный момент р„ (ср. с дипольиым электрическим моментом системы зарядов). Магнитное поле такой системы на расстояниях, больших по сравнению с ее размерами, определяется через р„, по таким же формулам, по каким определяется через дипольный электрический момент пале системы зарядов на больших расстояниях (см.
Э 10). В частности, поле плоского контура любой формы на больших расстояниях имеет вид В= ~' ~, )'1+Зсоз'д, (47.6) в где г — расстояние от контура до данной точки, 6 — угол между направлением вектора р и направлением от контура в данную точку поля (ср. с формулой (9.7)). При 6=-0 формула (47.6) дает для модуля вектора В такое же значение, как и формула (47.5). На рис. 47.3 изображены линии магнитной индукции поля кругового тока. Показаны лишь линии, лежащие в одной из плоскостей, проходящей через ось тока. Подобная же картина имеет место в любой из этих плоскостей. Из всего сказанного в предыдущем и в данном параграфах вытекает, что дипольный магнитный момент является весьма важной характеристикой контура с током. Этой характеристикой определяется как иоле, создаваемое контуром, так и поведение контура во внешнем магнитном поле.
$48. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длины / (рпс. 48.1). Допустим, что этот контур находится во внешнем магнитном иоле, которое мы будем предполагать однородным и перпендикулярным к плоскости контура. При указанных на рис. 48.1,а направлениях тока и поля сила г, действующая на перемычку, будет направлена вправо и равна Г= /В/. При перемещении перемычки вправо на дп зта сила совершит положительную работу йА =В Нй= /В/ г/й = /В 88, где г(5 — заштрихованная площадь (см. рис.
48.1, а). 4 48. РАБОТА ПРИ ПЕРЕМЕШЕНИИ ТОКА !4! Выясним, как изменяется при перемешении перемычки поток магнитной индукции Ф через площадь контура: Условимся при вычислении потока через площадь контура с током всегда брать в качестве п в выражении Ф= ~ ВпдЯ положительную нормаль, т. е. нормаль, образующую с направле'нием тока в контуре правовинтовую систему (см. 5 46). Тогда в случае, изображенном на рис. 48.1, а, поток будет положительным и равным ВЯ (5 — площадь контура).
При перемещении перемычки вправо площадь контура получает положительное приращение 815. 88) Рис. 48.!. (88) (ил,ъ)[ гк5=$лю,ъ)[ и) а) Рис. 48.2. перемычку, направлена влево. Поэтому при перемещении перемычки вправо на пй магнитная сила совершает отрицательную работу 0А= — 1 В188= — УВ й5. (48.3) В этом случае поток через контур равен — ВЯ. При увеличении плошади контура на 815 поток получает приращение йФ= — В Ю. Следовательно, выражение (48.
3) также можно записать в виде (48. 2), Величину 81Ф в выражении (48.2) можно трактовать как поток через площадь, описанную перемычкой при ее движении. Соответ- В результате поток также получает положительное приращение НФ=В 05. Поэтому выражение (48.1) можно представить в виде г)А =1 с(Ф. (48.2) При направлении поля на нас (рис. 48.1, 6) сила, действующая на в иа В 48 !42 ГЛ.
Еь МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ ственно можно сказать, что работа, совершаемая магнитной силой пад участком контура с током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока через поверхность, описанную этим участком при своем движении. Формулы (48.1) и (48.3) можно объединить в одно векторное выражение. Для этого сопоставим перемычке вектор 1, имеющий направление тока (рис. 48.2).
Независимо от направления вектора В (от нас или на нас), силу, действующую на перемычку, можно представить в виде г=т' (!В!. При перемещении перемычки на 484 сила совершает работу с(А=Г с((т=(1!В) сйг. Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей (см. формулу (2.34) 1-го тома). В результате получим г!А =1В Ы(т В (48.4) Из рис.
48.2 видно, что векторное произведение !4((т, !) равно по величине площади дЯ, описанной перемычкой при ее движении, 6 и имеет направление положительной норе сгт мали п. Следовательно, аг с!А =!Вп ГБ. (48.5) В случае, изображенном на рис. 48.2, а, Вп = В, и мы приходим к формуле (48.1). В случае, изображенном иа рпс. Рис. 48.3. 48.2, б, Вп — В, и мы приходим к фор- муле (48.3). Выражение Вп с(О' определяет приращение магнитного потока через контур, обусловленное перемещением перемычки. Таким образом, формулу (48.5) можно записать в виде (48.2). Однако фор. мула (48.5) имеет преимущество перед (48.2), поскольку из нее «автоматически» получается знак с(Ф, а следовательно, и знак 4(А.
Рассмотрим жесткий или деформируемый контур, который, находясь в магнитном поле, перемещается из некоторого исходного положения в бесконечно мало отличающееся от исходного конечное положение. Силу тока ! в контуре будем считать при этом перемещении постоянной. Пусть элемент контура с(1 претерпевает произвольное перемещение, которое можно представить как смещение параллельно самому себе на отрезок сйт и последующий поворот на угол г(ср (рис. 48.3). При этом элемент 44! опишет площадь, равную !(Ъ, (!1!+ —,' аЧр. !СЕ РАБОТА ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ТОКА Второе слагаемое более высокого порядка малости, чем первое. Совершаемая над Й работа пропорциональна магнитному потоку через описанную г(! поверхность (см. выше).
Поэтому работа при по- вороте элемента е(! будет более высокого порядка малости, чем рабо- та при поступательном перемещении, и ею можно пренебречь. Таким образом, при вычислении работы можно пренебречь по- воротом элемента б! на угол Ы~ и считать совершаемую магнитной силой над элементом контура работу равной е(А„=1(г((, В|бй. (48.6) Здесь  — магнитная индукцня в том месте, где находится элеменг контура г(!. Осуществив в (48.6) циклическую перестановку сомножителей, получим г(А,„=1В~дЬ, г((1. (48.7) Векторное произведение Ып, Ы(! равно по модулю площади паралле- лограмма, построенного на векторах б)з и г(), т. е. площади г(5, описываемой элементом г!! при его перемещении.
Направление век- торного произведения совпадает с направлением положительной нормали к площадке е(Я. Следовательно, В1гй, б(1 = ВПНЯ=г(Ф,Р (48.8) где дФ,„— приращение магнитного потока через контур, обуслов- ленное перемещением элемента контура б!. Приняв во внимание равенство (48.8), напишем (48.7) в виде бА,Р=1йФ„. (48.9) Просуммировав выражение (48.9) по всем элементам контура, полу- чим выражение для работы магнитных сил при произвольном беско- нечно малом перемещении контура: е(А = ~ бА„= ~ 1 г(Ф,, = 1 ~ сЮ,„= 1 ЕЮ (48. (О) Й(Ф вЂ” полное приращение потока через контур). Чтобы найти работу, совершаемую при конечном произвольном перемещении контура, просуммируем выражение (48.(0) по всеч элементарным перемещениям: А„= ~ дА = 1 ) ~Ю = 1 (Ф, — Ф,).
(48. ! )) Здесь Фг и Ф, — значения магнитного потока через контур в на- чальном и конечном положениях. Таким образом, работа, совершае- мая магнитными силами над контуром, равна произведению силы тока на приращение магнитного потока через контур. В частности, при повороте плоского контура в однородном поле нз положения, в котором векторы р„ и В направлены в противопо- 4 сь див ее генция и готов млгнит ного поля 145 Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема )г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
