В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Проверка гипотезы о значимостивыборочного коэффициента ранговой корреляцииСпирменаПусть генеральная совокупность состоит из объектов, которыеобладают двумя к а ч е с т в е н н ы м и признаками: А и В. Из этойсовокупности извлечена выборка объема л и по ней найден выборочныйкоэффициент ранговой корреляции Спирмена Рв т^ О(см. гл. ХИ, § 3, А). Требуется проверить нулевую гипотезу Я©:Рг = 0 о равенстве нулю генерального козф^ициента ранговой корреляции Спирмена.Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что междупризнаками А w В нет значимой ранговой корреляционной связи(выборочный коэффициент рв незначим); в противном случае междупризнаками имеется значимая ранговая корреляционная связь(выборочный коэффициент рв значим).Правило.
Для того чтобы при уровне значимости а проверитьнулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции рг Спирмена при конкурирующей гипотезе Hi.PJ. 9^ О, надо вычислить критическую точку*кр—'кр(^» ^) \fгде п — объем выборки; Рв — выборочный коэффициент ранговойкорреляции Спирмена: t^, (о; к) — критическая точка двустороннейкритической области, которую находят по таблице критических точекраспределения Стьюдента (см.
прилоэюение 6), по уровню значимости а ичислу степеней свободы к = п-2.Если \Рв\<Ткр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Ранговая корреляционная связь меэюду качественными признаками незначима. Если | Рв | > ^кр — нулевую гипотезу отвергают. Меэюдукачественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.617. В задаче 540 по выборке объема/i == 10 вычисленвыборочный коэффициент ранговой корреляции СпирменаРв = 0,64 между оценками знаний студентов по двумтестам.
При уровне значимости 0,01 проверить нулевуюгипотезу о равенстве нулю генерального коэффициентаранговой корреляции Спирмена. Другими словами, требуется проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам.244Р е ш е н и е . Найдем критическую точку двусторонней критической сбласти распределения Стьюдента по уровню значимостиа -0,01 и числу степеней свободы k — n — 2=^10—2 = 8 (см. приложение 6): /кр(0,ОГ, 8) =-3,36.Найдем критическую точку:Гнр==/кр(а; . ) > / 1 ^ = 3.36 1 / ^ ^ = ^ " =0.92.Итак, Гкр = 0,92, рв = 0,64.
Так как рв < Гкр — нет основанийотвергнуть нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначихмая.618. В задаче 541 по выборке объема п =: 12 вычисленвыборочный коэффициент ранговой корреляции СпирменаРп = 0,92 между оценками, выставленными одним и тем жеучащимся двумя преподавателями. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена.Другими словами, требуется проверить, является лизначимой ранговая корреляционная связь между оценками двух преподавателей.619.
В задаче 542 по выборке объема AI== 13 вычисленвыборочный коэффициент ранговой корреляции СпирменаРв = 0»75 между правильными рангами оттенков цветови рангами, которые им присвоил испытуемый. При уровнезначимости 0,02 проверить, значим ли найденный коэффициент ранговой корреляции Спирмена.620. В задаче 543 по выборке объема п== 9 вычисленвыборочный коэффициент ранговой корреляции СпирменаРв = 0,73 между двумя последовательностями рангов.При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена.621. В задаче 544 по выборке объема л == 11 вычисленвыборочный коэффициент ранговой корреляции Спирменарв = 0,82 между двумя последовательностями рангов,установленными специалистами двух заводов при ранжировании факторов, влияющих на ход технологическогопроцесса. При уровне значимости 0,01 проверить, значима ли ранговая корреляционная связь между последовательностями рангов.622.
По выборке объема /г == 42 вычислен выборочныйкоэффициент ранговой корреляции Спирмена Рв = 0,6245между двумя последовательностями рангов. При уровнезначимости 0,02 проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена.§ 14. Проверка гипотезы о значимостивыборочного коэффициента ранговой корреляцииКендаллаПусть генеральная совокупность состоит из объектов, которыеобладают двумя к а ч е с т в е н н ы м и признаками: А и В. Из этойсовокупности извлечена выборка объема п и по ней найден выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла т^ Ф О (см.гл. XII, § 3, Б).
Требуется проверить нулевую гипотезу //©: Т г = 0о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляцииКендалла.Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что междупризнаками А w В нет значимой ранговой корреляционной связи(выборочный коэффициент TR незначим); в противном случае междупризнаками имеется значимая ранговая корреляционная связь (выборочный коэффициент Тц значим).Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверитьнулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н^: Х^ ^ О,надо вычислить критическую точкуТ-гi/2(2^H-5)еде п—объем выборки; ZKP—критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице функции Лапласапо равенству ф(гкр)=(1—а)/2.Если |Тв| < Гкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Ранговая корреляционная связь между качес1пвенными признакаминезначима.
Если |Тв| > Т^^ — нулевую гипотезу отвергают. Междукачественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.623. В задаче 548 по выборке объема п = 10 вычисленвыборочный коэффициент ранговой корреляции КендаллаТв = 0,47 между оценками знании студентов по двумтестам. При уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу о равенстве нулю генерального коэффициентаранговой корреляции Кендалла. Другими словами, требуется проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам.Р е ш е н и е .
Найдем критическую точку г^рф(гкр)=(1—а)/2==(1—0,05)72 = 0,475.По таблице Лапласа (см. приложение 2) находим гкр = 1,96.246Найдем критическую точку:__, / 2 (2.1+5) _- , / 2(2.10 + 5)Итак, 7'кр = 0,49, Тп = 0,47. Так как Тв < T^^^ — нет основанийотвергнуть нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь междуоценками по двум тестам незначимая.624. В задаче 549 по выборке, объема /г= 10 вычисленвыборочный коэффициент ранговой корреляции КендаллаТв==0,78 между оценками качества деталей, которыебыли выставлены двумя контролерами.
При уровне значимости 0,01 проверить, является ли значимой ранговаякорреляционная связь между оценками двух контролеров.625. По выборке объема п = 1 3 найден выборочныйкоэффициент ранговой корреляции Кендалла Тв==0,54между двумя последовательностями рангов. При уровнезначимости 0,05 проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между последовательностямирангов.626. По выборке объема п = 20 найден выборочныйкоэффициент ранговой корреляции Кендалла Тв==0,24между двумя последовательностями рангов. При уровнезначимости 0,01 проверить, является ли значимой ранговая корреляция между последовательностями рангов.§ 15.
Проверка гипотезы об однородности двух выборокпо критерию ВилкоксонаКритерий Вилкоксона служит для проверки однородности независимых выборок Xj, Х2, . *', х^ » Уг> У2> - - 'f Уп ^ предположении,что X и У — непрерывные случайные величины.Нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента (обозначим его через х) функции распределения равны междусобой:Fiix)=:^F^{x).Конкурирующие гипотезы:f'l (X) Ф F^ {X). F^ (X) < F^(x), Л (X) > F, (X).Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы //i: Fi {x)<F2 (х)означает, что X > У. Аналогично, если справедлива конкурирующаягипотеза Я|: F^ (х) > F^ (х), то X < У.Далее предполагается, что объем первой выборки меньше (небольше) второй: п^^П2; если это не так, то выборки можно перенумеровать (поменять местами).А.
Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеихвыборок не превосходит 25. Правило 1. Для того чтобы при уровневначимости а проверить нулевую гипотезу HQI Fi{x)=F2{x) об247однородности двух несааисимых выборок объемов Пх и п^(п1<П2)при конкурирующей гипотезе Ну: Fi(x) Ф F^(x), надо:1) расположить варианпия обеих выборок в воэрастанщем порядкет.
е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом рядуИ^иабл—сумму порядковых номеров вариант первой выборки;2) найтипотаблиценижнюю критическую точкуьУнмжн.кр«?» Л1. ^i). где Q = a / 2 ;3) найти верхнюю критическую точку по формулеК'верхн.кр = ('^i + ^2 + 1 )П1 — а/„иж11.кр-Если ^нижн.кр < ^набл < и'верхн.кр—«^^^ оснований отвергнутьнулевую гипотезу. Если Г„абл < ьУнижн.кр ">«" ^иабд > ^верхн.кр —нулевую гипотезу отвергают.627. При уровне значимости 0,01 проверить нулевуюгипотезу Н^: Fj^{x)^F^{x) об однородности двух выборок, объемы которых ni = 6, п,==7 (в первой строкеприведены варианты первой выборки; во второй строке —варианты второй выборки):X,.
3 4 6 10 13 17у^ \ 2 5 7 16 20 22Принять в качестве конкурирующей гипотезу / / j :Ftix)¥^F,ix).Р е ш е н и е . Конкурирующая гипотеза имеет вид Fi (х) ^ Е% (х),поэтому критическая область—двусторонняя. Расположим вариантыобеих выборок в виде одного вариационного ряда и пронумеруем их:порядковыйномер1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13варианта 1 2 3 4 5 6 7 10 13 16 17 20 22Найдем наблюдаемое значение критерия Вилкоксона — суммупорядковых номеров (они набрать курсивом) вариант первой выборки:«^.1абл = 3 + 4 - Ь б + 8 + 9 + 1 1 = 4 1 .Найдем по таблице* нижнюю критическую точку критической области, учитывая, что Q = 0,01/2 = 0,005, Hi = 6 , /1^ = 7:^нижи.кр(0,005; 6, 7) = 2 4 .
Найдем верхнюю критическую точку:а'верх11.кр = (л1 + П2+ I) /ii—ьу„иж11.кр(6 -f 7 -f 1)-6—24 = 60. Поскольку Шнинси.кр < ^иабл < ^верхи.кр (24 < 41 < 60)—нет основанийотвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборок.628. Предложены два метода {А и В) увеличениявыхода продукции. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об их одинаковой эффективностипо двум выборкам обГъемов п^^б и 4^ = 9 (в первой* При решении задач 627—630 использовать таблицу, помещенную в приложении 11.248строке приведены проценты прироста продукции в каждом опыте по методу А\ во второй строке — по методу В):Xi 0,2 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3у^ 0,1 0,4 0,6 0,7 0,9 1,4 1,7 1,8 1,9Принять в качестве конкурирующей гипотезу: эффективность методов А \\ В различна.629.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
