В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 45
Текст из файла (страница 45)
162. Построить в прямоугольной системе координат {х\ и) точки(хх, Ui), (Xt\ Ut), . . . (значок р при квантилях опуи^ен для простотызаписи). Если эти точки лежат вблизи некоторой прямой, то нетоснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X; еслиже построенные точки удалены от прямой, то гипотезу отвергают.З а м е ч а н и е 1. Следует иметь в виду, что «начальные» и «конечные» то<|кн (xi\ Ui) могут заметно отклоняться от прямой|/==(дг—а)/о.260З а м е ч а н и е 2. Если построенные точки оказались вбли'^ипрямой, то легко графически оценить параметры а и а нормальногораспределения.
В качестве оценки математического ожиданиям можнопринять абсциссу точки L{xi; 0) пересечения построенной прямойс осью Ох. В качестве оценки среднего квадратического отклоне)1ияо можно принять разность абсцисс точки Цх//, 0) и точки N(xjsf\ —I)пересечения построенной линии с прямой а = — 1 : о*=^дг/,—х,\(рис. 16).З а м е ч а н и е 3. При наличии вероятностной бумаги надобностьв отыскании квантилей отпадает: на соответствую»«.ей осп откладывают накопленные относительные частоты.641. Пусть метод спрямленных диаграмм подтверждаетгипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X, т. е.
точки (л:/, и^) оказались вблизи прямойa = (.v—а)1о.(3f)а) Почему в качестве оценки математического ожидания а нормального распределения можно принять абсциссу Xi точки L пересечения прямой (*) с осью Ох(рис. 16, а)?б) Почему в качестве оценки среднего квадратическогоотклонения нормального распределения можно принятьразность абсцисс х^—Гдг (рис. 16,6)?Р е ш е н и е , а) В точке L пересечения прямой (*) с осью OJCордината £г==0, абсцисса x = xi (рис. 16, а). Положив в уравнении(•) « = 0, JC = JC£, получимO==(xi—a)/o,Отсюда a = xi.б) Обозначим через Л^ такую точку прямой (*), ордината которой и = —Г, абсциссу этой точки обозначим через ху. Подставимкоординаты точки N в уравнение (*):'-Л=:(ху—а)/а.Отсюда а==а—х//.Учитывая, что a-=^xi, окончательно получимa^xi — xj^.642.
Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 1 0 0 , которая задана в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот М/ (п/ — число вариант, попавших в t-йинтервал). Эмпирическое распределение приведено втабл. 25.261Т а б л и ц а 25Номеринтервалаi1234561границыинтервалаНомер[ интерЧастотавалаi'i-ii171113^1_78101126101820Частота.1i'1-1''3579Границы' натвряала'/1517192123131517192111611751п = 100Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении генеральнойсовокупности X; б) оценить графически математическоеожидание и среднее квадратическое отклонение X.Р е ш е н и е , а) 1.
Составим расчетную табл. 26. Квантили длястолбца 7 взяты из таблицы приложения 10.Т а б л и ц а 26Накоплен- Относитель- j Относитель-.правый Часто наи часто ленная ча иая накопНомерталенная чаинтерконецстотатавала интерваластота, %«/2«.t12345678910113579И131517192123246101 1в201611 17б12612224060768794991000.020,060.120.220.400.600,760,870,940,991.00261222406076879499100КвантилиV/—2.054—1.555—1.175—0.772—0.2530.2530.7061,1261.5552.3263.092.
Построим в прямоугольной системе координат точки (дг/; Up^)(рис. 17). Построенные точки лежат вблизи прямой, поэтому нетоснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X. Другими словами, данные выборки согласуются с згой гипотезой*б) Найдем графически оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения предполагаемого нормального распределения.В качестве оценки математического ожидания а примем абсциссу дс^. = 12,1 точки L пересечения построенной прямой с осью Ох.Оценим а, для чего проведем через точку Af (0; —1) вертикальной оси прямую u=s—1 до пересечения с построенной прямойв точке Л^; опустим из точки N перпендикуляр на ось Ох; абсциссаи.FNC.
17основания этого перпендикуляра дг^=:8. В качестве оценки среднегоквадратического отклонения примем разность абсцисс:а* = Х£—х^= 12,1—8=4,1.Разумеется, полученные оценки грубые. В действительностиа = 12,04; о = 4,261.643. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 1 2 0 , которая задана в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот (табл. 27).Требуется: а) методом спрямленных»диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении Х\ б) оценитьграфически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X.644. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 1 0 0 , заданная табл.
28.263Таблица•>27' -Номермнтер*валаi12345границаинтервалаНомеринтервалаiЧастота*/-!*|510152030101520253571 61518231SграницаинтервалаЧ астотаЛ/I^•-1^13035404535404550!1914106л = 1201Таблица281НомеринтервалаiГраницаинтервалаГраницаинтервалаЧастотал,-1 валаI1'i-l1234НомерЧастота 1интер-6162636^i1626364681671551i78*|-1'/465666765666768635658/2 = 100Требуется методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении X.Б. Несгруппированные по интервалам данные. Пусть эмпирическое распределение выборки задано в виде пocwleдoвaтeльнocти вариант лг/, расположепных в возрастающем порядке, т. е.
в виде вариационного ряда, и соответствующих им частот /х/. Требуется графически проверить гипотезу о нормальном распределении X,Правило 2. Для того чтобы по несгруппированной по интервалам выборке объема п проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X, из которой извлечена выборка, надо:1. Составить расчетную табл.
29. Сразу укажем, что при заполнении столбца 4 принято из суммы частот вычитать 1/2; значения квантилей для заполнения столбца 7 находят по таблице (см.приложение 10).2. Построить в прямоугольной системе координат точки {xi\ Wj),(*2» «а). • • •» (xii\ Uk) (значок p при и опущен для простоты записи).Если эти точки лежат вблизи некоторой прямой (в случае справедливости гипотезы о нормальном распределении X уравнение этойпрямой i/ss(jc—Д^)/Ов), то нет оснований отвергнуть гипотезу о нор264Т а б л и ц а 2912Номер Варивариактаантыi3Ча.стота456НакопленнаячастотаОтносительная накопленная частотаОтносительная накопленная ча<стота, %17Квантили«1хюомальном распределении генеральной совокупности X; в противномслучае гипотезу отвергают.З а м е ч а н и е 4.
Замечания 1 —3, приведенные выше для сгруппированноГ! по интервалам выборки, остаются в силе.645. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 50, несгруппированная по интервалам(в первой строке указаны варианты, а во второй — соответствующие частоты):1,40 1,52 1,63 1,69 1,73 1,78 1,89 1,92 1,951112111111.98 1,99 2,03 2.07 2,12 2,16 2.20 2,23 2,26 2.31Xi11 21 321 1 13п,2,36 2,40 2,44 2,47 2.50 2.52 2.55 2.60 2,64Xi3311111132,71 2.74 2,78 2,86 2,93 3,02 3,30Xi1 21 2111п,Требуется: а) методом спрямленных диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении X; б) оценитьграфически математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X.Р е ш е н и е . I.
Составим расчетную табл. 30.2. Построим в прямоугольной системе координат точки (дг/, и/)(рис. 18). Построенные точки лежат вблизи прямой, поэтому нетоснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении X; данные выборки согласуются с этой гипотезой.б) Найдем графически, используя рис. 18, оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения предполагаемого нормального распределения.В качестве оценки математического ожидания а примем абсциссуJri = 2,30 точки L пересечения построенной прямой с осью Ох.265Т а б л и ц а 30•HoMipвяри^анта256частота минусОтносительная накопленная частотаОтносительная накопленная частота, %Вари Чаанта стота 'i1234б-б7891011 i1213—141516—1819—2021222324—2627—2930—3233343536373839—41424344—454647—484950431«11.401,521,631,691.73 i1.781.891.921.951.981.992,032,072,122,162,202,232,262,312,362,402,442,472,502,522,552,602,642,712,742,782,862.933,023,301111211111i121321113331111113112121I \12'0,5».52.53,55,56,57,58,59,510,511,513,514,517.519,520,521,522,525,528.531,532,533,534,535,536,537,540,541,542,544,545,547,548,549,51!j!17Квантяли''Piхюо0,010.030,050,070,110,130.150,170.190,210,230,270,290,350,390,410,430,450.510.570,630,650,670,690.710.730.750.810,830.850,890,910,950,970,99135i711131517192123272935394143455157636567697173758183858991959799—2,326—1,881—1,645—1,476—1.227—IJ26—1,036-0,954—0,878—0,806—0,739—0,613—0,553—0,385—0,279—0,228—0,176—0,1260,0250,1760.3320,3850.4400.4960,5530,6130,6740,8780,9541,0361,2271,3411,6451,8812,326Оценим а, для чего проведем через точку М (0; —1) вертикальной оси прямую и = —1 до пересечения с построенной прямой линиейв точке Л'; опустим из точки Л^ перпендикуляр на ось Ох; абсциссаоснования этого перпендикуляра дг^=1,90.
В качестве оценки266среднего квадратического отклонения о примем разность абсцисс;о=Ж£—хлг =2,30—1,90=0,40.Рис. 18646. Из генеральной совокупности X извлечена выборка объема п = 50. Обставлены следующие таблицы(в первой строке указаны варианты, а во второй—соответствующие частоты):JC, —20.0 —17.0 —14,1 —11,5 —10.5п,1I111X, —9,0 —8,0 —6,5 —5.5п,1111•X, —4.0 —3,0 —1,5 —1,0 0,0 0,5п,\11112 :X, 1,0 1,5 2,0 2.5 3,5 4,0 4.5Л/ 1121 121•Xi 5,0 6,0 6,5 7,0 7,5 8.5 9,5 10,0 10,5 11,0 12,0 12,5п, 2 1 1 2 2 2 11 1111«/ 13,0 14,0 14.5 17,0 18,0 19,0 19,5 21,0 23.5111111111Требуется: а) методом спрямленных -диаграмм проверить гипотезу о нормальном распределении генеральнойсовокупности Х\ б) оценить графически математическоеожидание и среднее квадратическое отклонение X.У к а з а н и е . Использовать таблицу квантилей (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
