В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Предполагается,что выборки извлечены из нормальных совокупностейс одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 47.У к а з а н и е . Принять у/у =ж/у —100.286ТаблицаНомериспытания46Уровни фактораFt''•''»12345364750586756616466665257595879*гр/51.662.661,0{F»!395763616557,0ТаблицаНомериспытанияi1234678^ГРУУровни фактораFt100101126128133141147148б14712811РшFtF^F^921021041151191221281467487889394101102105688083879697106127648383849096101111116939389 1F.69711 80808182869981671. Произведено по четыре испытания на каждом изтрех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу о равенстве групповых средних.
Предполагается,что выборки извлечены из нормальных совокупностейс одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 48.287Т а б л и ц а 48Уровни фактораНомер испытанияif^tFtFs1234353231303024262021223431^гр/322527У к а 3 а II и е. Припять tjfj = xij—28.672. Произведено по семь испытаний на каждом изчетырех уровней фактора. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу о равенстве групповых средних.
Предполагается,что выборки извлечены из нормальных совокупностейс одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 49.Таблица49Уровни фактораНомер испытанияfFtF,Ft1234567515953596369725258666Э70725656585870747854586264666769^гр/60,965,964.362,9Указание.нием 1.74Принять y^j^Xi/—63.1'F,Воспользоваться замеча*673. Произведено по четыре испытания на каждом изтрех уровней фактора.
Методом дисперсионного анализапри уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезуо равенстве групповых средних. Предполагается, что288выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведеныв табл. 50.Т а б л и ц а 50Уровни фактораНомер испытания11234^гр/'F,'^lFt272329292420263022213637272529У к а з а н и е .
Принять yii^=^xij—27. Использовать замечание 1«§ 2. Неодинаковое число испытанийна различных уровняхЕсли число испытаний на уровне F^ равно qu на уровне Fj —^—<72» •••! на уровне Fp—Щр^10о6т:^^:^^^^щ квадратов отклоненийвычисляют, как и в случае одинакового числа испытаний на всехуровнях (см. § 1). Факторную сумму квадратов отклонений находят1Ю формуле^^«-'фактГ2IЯ\/г>21 ' 2j ^\Г'Яг2 Г?/=1Ярпгде 1 = ^ 1 + ^ 2 + • • •+7;? — общее число испытаний.Остальные вычисления производят, как и в случае одинаковогочисла испытаний:«факт = 5 ф а к г / ( Р — О »SOCT =5OCT/(^"—Р)-674. Произведено 13 испытаний, из них 4—на первом уровне фактора, 4 — на втором, 3 — на третьем и2—на четвертом.
Методом дисперсионного анализа приуровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезуо равенстве групповых средних. Предполагается, чтовыборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведеныв табл. 51.289Т а б л и ц а 51Уровни фактораНомер испытанияiFt1234i^гр/^Pf1,381.381.421,421 1,411,401.431,421.441.45^^41.321,331,341,311,331.331.32Р е ш е н и е . Используя замечание 2 (см.
§1), перейдем к целымчислам у/^=а10*дг/у—138. Составим расчетную табл. 52.Т а б л и ц а 52Уровни фактораНомерислытннияi1234F, 1/'i 1УIX у\^0041616*rtАгyf34679J63649—6327l—4ПО82064400«1.1 «и'I*3625164925—7—577—15225ИтоговыйстолбецР*Ft742С?/ = 293—12144Используя итоговый столбец и нижнюю строку табл.
52, найдемобщую и факторную суммы квадратов отклонений:5общ=2 <?/—Г2 ^/1*/я » 293—1VI3=293—0,08=292,92;71 . rj , Г, , Г«^фмт = Q\ ' Яг ' Яп ' Я4п« 64/4 + 400/4 + 225/3 +144/2—0,08 = 262,92.Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:^ост = 5общ—5факт = 292,92—262,92 « 30.Найдем факторную и остаточную дисперсии:5факт==5факт/(Р—1) = 262,92/(4—1)=:262,92/3 = 87,64;«^«5ост/(п—р)=:30/{13—4) = 30/9 = 3,33.+ +290mjjiСравним факторную и остаточную дисперсии с помощью критерия F (см.
гл. XIII, § 2). Для этого сначала вычислим наблюдаемоезначение критерия:/"набл = «факт/ S^CT = 8 7 . 6 4 / 3 , 3 3 = 2 6 , 3 2 .Учитывая, что число степеней свободы числителя A'i = p—1 == 4 — 1 = 3 , знаменателя k2 = n—р=13—4 = 9 и что уровень значимости а = 0 , 0 5 , по таблице приложения 7 находим критическую точку/'крСО.Об; 3; 9) = 3,86.Так как /^набл > ^кр—нулевую гипотезу о равенстве групповыхсредних отвергаем. Другими словами, групповые средние различаются значимо.675. Произведено 14 испытаний, из них 5—на первомуровне фактора, 3—на втором, 2—на третьем, 3—начетвертом и 1—на пятом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу о равенстве групповых средних.
Предполагается,что выборки извлечены из нормальных совокупностейс одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 53.ТаблицаУровни фактораНомер испытанияi12345лггр/Указание.53Рпf".'^s5,47,17.46,48.17.99,59.67,16,637,25F,ff7,37,68,38,38,47,989,07,1Принять у(/ = \Oxij — 78.676. Произведено 13 испытаний, из них 4—на первомуровне фактора, 6—на втором и 3—на третьем. Методомдисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних.Предполагается, что выборки извлечены из нормальныхсовокупностей с одинаковыми дисперсиями.
Результатыиспытаний приведены в табл. 54.291ТаблицаНомериспытанияi123456^гр/54Уровни фактораР.РгРь374740606086679295986910098468389У К а з а н и е. Принять yfj == л:// — 73.677. Произведено 14 испытаний, из них 7—на первом уровне фактора, 3 — на втором и 4 — на третьем.Методом дисперсионного анализа при уровне значимости0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповыхсредних. Предполагается, что выборки извлечены изнормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.Результаты испытаний приведены в табл. 55.ТаблицаУровни фактораНомер испытания/1234567Д^гр/55ГхF.'^а30.5632,6634,7835,5036,6340,2042,2843,4447,5153,8031,3636,2033,3842,2036, ОЭ48,2535,54У к а з а н и е .
Принять у,у = 100^/диил^у • -3900.678. Произведено 26 испытаний, из них 7—на первомуровне фактора, 5—на втором, 8—на третьем и 6—начетвертом. Методом дисперсионного анализа при уровнезначимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве груп292новых средних. Предполагается, что выборки извлеченыиз нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведеныв табл. 56.Таблица56Уровни фактораНомер испытанияtF^Рг^3РА1234567816G01610165016801700170018С01580164016401700175014601550160016201640166017401820151015201530157016001680^гр/1677166216381568Указание.1 (см. § 1),Принять yij:=Xij —1630. Использовать замечаниеЧасть четвертаяМОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНГлава пятнадцатаяМОДЕЛИРОВАНИЕ (РАЗЫГРЫВАНИЕ]СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО§ 1.Разыгрываниедискретной случайнойвеличиныСущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуетсянайти значение а некоторой изучаемой величины.
С этой целью выбирают такую случайную величину X, математическое ожиданиекоторой равно а: М(Х) = а.Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) пвозможных значений Xi случайной величины X, находят их среднееарифметическоеи принимают И в качестве оценки (приближенного значения) а*искомого числа а:а с^ а* = х>Таким образом, для применения метода Монте-Карло необходимоуметь разыгрывать случайную величину.В этом параграфе требуется разыграть дискретную случайнуювеличину X, т. е.
вычислить последовательность ее возможных значений Xi(i=l,2, ...)» зная закон распределения X.Введем обозначения: R—непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 1); /-у(/ = 1, 2, ...)—случайные числа (возможные значения /?).Правило. Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину X, заданную законом распределенияXХ\Р PiХ2»• «XfiР2 •»• Рпнадо:1. Разбить интервал (О, 1) оси Or на п частичных интервалов:Ai—(0; Pi). А2—(Pi; Р1 + Р2). .
. . . А л — ( P i + P 2 + . . . + p « - i ; i).2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел) случайноечисло гу.Если гJ попало в частичный интервал А/, то разыгрываемаявеличина приняла возможное значение дг/.679. Разыграть шесть возможных значений дискретнойслучайной величины X, закон распределения которойзадан в виде таблицы:X21018р 0,22 0,17 0,61294Р е ш е н и е . Разобьем интервал (О, 1) оси Or точками с координатами 0,22; 0,22 + 0,17 = 0,39 на три частичных интервала:Л,—(0; 0,22), Ла—(0,22; 0,39), Дз~(0;39, 1).2.
Выпишем из таблицы приложения 9 шесть случайных чисел,например 0,32; 0,17; 0,90; 0,05; 0,97; 0,87 (ш^тая строка таблицы снизу).Случайное число ri = 0,32 принадлежит частичному интервалу Да»поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина принялавозможное значение Х2==10; случайное число /•а = 0,17 принадлежитчастичному интервалу Ai, поэтому разыгрываемая величина принялавозможное значение JCI = 2.Аналогично получим остальные возможные значения.Итак, разыгранные возможные значения таковы: 10; 2; 18; 2;18; 18.680. Разыграть восемь возможных значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы:X381223р 0,2 0,12 0.43 0.23У к а з а н и е . Для определенности принять случайные числа:0,33; 0,18; 0,51; 0,62; 0,32; 0,41; 0,94; 0,15.681.
Разыграть пять опытов по схеме Бернулли: опытсостоит из трех независимых испытаний, в каждом изкоторых вероятность появления события А равна 0,4.У к а з а н и е , а) Составить сначала закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений события Л в трехнезависимых испытаниях, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,4; б) принять для определенности случайные числа: 0,945; 0.572; 0,857; 0,367; 0,897.682. Разыграть шесть опытов по схеме Бернулли:опыт состоит из четырех испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5.У к а з а н и е . Принять для определенности случайные числа:0,1009; 0,7325; 0,3376; 0,5201; 0,3586; 0,3467 (первая строка таблицыприложения 9).§ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
