В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 52
Текст из файла (страница 52)
У) dx - (V4) у^\х^х^ооИтак, /t(у) = ( 3 / 8 ) у ^ ф < у < 2).Разыграем У по правилу 2 (§ 3):(з/в) у\(Ve) \ У^^У^П.305Отсюда получим явную формулу для вычисления возможныхвначений у:718. Найти явные формулы для разыгрывания двумерной непрерывной случайной величины (X, К), заданной плотностью вероятности f {х, у)^4хув области,ограниченной прямыми х = 0, у = 0, х = 1 , | / = 1 .719. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, Y), еслисоставляющая X задана плотностью вероятности /^ (х) == х/2 в интервале (0; 2); составляющая Y равномернораспределена в интервале'(Х;,Х/+3) с плотностью/,(у)= 1/3,где дс/—разыгранное возможное значение X.. Р е ш е н и е . Разыграем составляющую Л по правилу 2 (§ 3):[ (х/2)dx^n.Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений X:Xi^2\rri.С)Найдем условную функцию распределения составляющей К,учитывая, что ве^шчина Y распределена равномерно в интервале(Xi.
х/+3).Используем правило 1 (§ 3): (у/—Х{)1^=^г\, где г\—случайноечисло.Рент в это уравнение относительно ^/, получим явную формулудля вычисления возможных значений у:yi:=3/i+Xi,где JC/ находят по формуле (•).720. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, К), если составляющая X задана плотностью вероятности /^ (х)=(2х)/9в интервале (О, 3); составляющая Y равномерно распределена в интервале (х^ —2, Х/ + 2) с плотностью /, (у) = 1/4,где Xf—разыгранное возможное значение X.721.
Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, К), заданнойплотностью вероятности /(;с, у) = 6у в области, ограниченной прямыми у = 0, у — х, х = 1 .Решение.Найдем плотность вероятности составляющей X:XX/i(*) = $/(*. у) dy=65ydy=3*MO<«<l).306Разыграем X по правилу 2 (§ 3):'/3 Cx2d;c = r/.оОтсюда получим явную формулу для вычисления возможныхзначений X:ж/=И^г/.(•)Найдем условную плотность вероятности составляющей К:* (I/ U) = / {X. y)lh {X) = фу)1(гх^) = (2у)1х\Разыграем Y по правилу 2 (§ 3):{2lx^)^y6y^rlоОтсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений Yiyt^XiV^i.где X/ находят по формуле («).722. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, К), заданнойплотностью вероятности /(х, у) = 3у в области, ограниченной прямыми х = 0, у = х, у=1.У к а з а н и е .
Найти сначала плотность вероятности составляющей К и разыграть К; найти условную плотность распределениясоставляющей Х- и разыграть X.723. Найти явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, К), заданнойплотностью вероятности f(x^ у) = 4х в области, ограниченной линиями i/ = xS y = Ot x=l.§ 6.
Оценка надежности простейших системметодом Монте-Карло724. Система состоит из двух блоков, соединенныхпоследовательно. Система отказывает при отказе хотябы одного блока. Первый блок содержит два элемента:Л, В (они соединены параллельно) и отказывает приодновременном отказе обоих элементов. Второй блок содержит один элемент С и отказывает при отказе этогоэлемента, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности (вероятности безотказной работы) системы, знаявероятности безотказной работы элементов: Р(Л) = 0,8,307Р (В) = 0,85, Р(С) = 0,6; б) найти абсолютную погрешность \Р — Р*|, где Р — надежность системы, вычисленнаяаналитически. Произвести 50 испытаний.Р е ш е н и е , а) Выберем из таблицы приложения 9 три случайных числа: 0,10, 0,09 и 0,73; по правилу *> (если случайное числоменьше вероятности события, то событие наступило; если случайноечисло больше или равно вероятности события, то событие не наступило) разыграем события А, В, С, состоящие в безотказной работесоответственно элементов >!, В, С.
Результаты испытания будемзаписывать в расчетную табл. 57.Поскольку Р ( Л ) = 0 , 8 и 0,10 < 0,8, то событие А наступило,т. е. элемент А в этом испытании работает безотказно. Так какР (В) =50,85 и 0,09 < 0,85, то событие В наступило, т. е. элемент Вработает безотказно.Таким образом, оба элемента первого блока работают; следовательно, работает и сам первый блок. В соответствующих клеткахтабл. 57 ставим знак плюс.Т а б л и ц а 57НомерБлокСлучайные числа, ыоделирующие элементыИСПЫТАНИЯ1234АвПервыйВторой0,100,09Первый! Второй0,25ПерныйВторой0,52ПервыйВторой0,86С0,730,330,760,010,350,340,67Заключение о работеэлементовАВС+ ++ ++ +—+—+—-блоков+—-+—++++—Так как Я (С) = 0 , 6 и 0,73 > 0,6, то событие С не наступило,т.
е. элемент С получает отказ; другими словами, второй блок, азначит и вся система, получают отказ. В соответствующих клеткахтабл. 57 ставим знак минус.Аналогично разыгрываются и остальные испытания. В табл. 57приведены результаты четырех испытаний.Произведя 50 испытаний, получим, что в 28 из них системаработала безотказно.
В качестве оценки искомой надежности Р при*мем относительную частоту Р* = 28/50 =0,56.308б) Найдем надежность системы Р аналитически. Вероятностибезотказной работы первого и второго блоков соответственно равны:Pi = l — Р ( Л ) Я ( Б ) = 1—0,2.0,15==0.97,P2=-P{C) = 0fi.Вероятность безотказной работы системыP = P i .
P 2 = 0,97 0,6=0,582.Искомая абсолютнаяпогрешность\Р — Я* | =0,582—0,56 = 0,022.725. Система состоит из двух блоков, соединенныхпоследовательно. Первый блок содержит три элемента:А, В, С, а второй — два элемента: D, Е. Элементы каждого блока соединены параллельно, а) Найти методомМонте-Карло оценку Р* надежности системы, зная вероятности безотказнойработы элементов: Р(Л) = 0,8,Р(5) = 0,9, Р (С) = 0,85, P(D) = 0,7, Р(£') = 0,6; б) найтиабсолютную погрешность \Р—Р*|, где Р — надежностьсистемы, вычисленная аналитически. Произвести 20 испытаний.У к а з а н и е . Для определенности брать случайные числа изтаблицы приложения 9, начиная с шестой строки сверху.726. Система состоит из трех блоков, соединенныхпоследовательно. Первый блок содержит два элемента:Л, В, второй—три элемента: С, D, Е, третий—одинэлемент F.
Элементы первого и второго блоков соединеныпараллельно, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р *надежности системы, зная вероятности безотказной работыэлементов: Я (Л) = 0,8; Р (В) = 0,9; Р (С) = 0,7; Р (D)=0,75;Р ( £ ) = 0,8; P ( f ) = 0,6;б) найти абсолютную погрешность \Р — Я*|, где Р —надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 30 испытаний.У к а з а н и е . Для определенности брать случайные числа изтаблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху.727. Устройство состоит из двух узлов, соединенныхпоследовательно. Первый узел содержит два элемента:Л, В, которые соединены параллельно.
Второй узел содержит один элемент С. Время безотказной работы элементов распределено по показательному закону с параметрами, соответственно равными 0,04; 0,05; 0,10. Найтиметодом Монте-Карло: а) оценку Р* вероятности безотказной работы устройства за время длительностью 10 ч;б) среднее время безотказной работы устройства. Произвести 50 испытаний.309Р е ш е н и е , а) Разыграем время (в ч) безотказной работы элементов по формулам:^Л = - ( 1 / 0 .
0 4 ) 1 п г , = 2 5 ( - 1 п г 1 ) ,^j5=— (1/0,05) In г,==20 (— In Г2).^с = - 0 / 0 , 1 0 ) 1 п г , = 1 0 ( - 1 п г з ) .где г^, Tj, Га—случайные числа. Например, для первого испыганиявозьмем из таблицы приложения 9 три случайных числа: О, 10, 0,09,0,73 и по ним разыграем время безотказной работы элементов:/ ^ = 2 5 ( — I n 0 , 1 0 ) = 2 5 2,30=57,50,/^=20(—1п0,09)=20.2.41 =48,20,/с=10(—1п0,73) = 10.0,32=3.2.Элементы Л, В первого узла соединены параллельно, поэтомудля его работы достаточно, чтобы работал хотя бы один элемент.Следова1ельно, в первом испытании первый узел будет работатьmax (57,50; 48,20) = 57,50 ч.Первый и второй узлы соединены последовательно, поэтомуустройство работает, если оба узла работают одновременно.
Следовательно, в первом испытании устройство будет работать min (57,50;3^)=3^ч.Составим расчетную табл. 58.Т а б л и ц а 58Номер Случайные чясяа, мояслыта- делирующие элементА1 ^ 1^1340.100.250.520.860.090.330.010.34Время беэоткааяой работыустройстваузловмемевтовС первого второгоЛВ0.73 57.50 48.20 3.2 57,500.76 34.75 22.20 2,7 1 34,750.35 16,25 92,00 10.5 92,000,67 3.75 21,60 4.0 21,603.22.710.54.03.22,710,54.0В табл.
58 приведены результаты только четырех испытаний.Если произвести 50 испытаний, то окажется, что в 18 испытанияхустройство работало 10 ч (и более).Искомая оценка надежности устройства (вероятности его безотказной работы за время длительностью 10 ч) Р ^ = 18/50=0,36.Для сравнения приведем аналитическое решение. Вероятностибезотказной работы элоиентов:RA (10)=е-»-**'** ==:е-®* =0,67,RB (10) « © - • • • » " = е - * * = 0 . 6 1 ,/ ? c ( 1 0 ) « e - ® " - ^ * = е - * =0.37.Вероятность безотказной работы первого узла за время длительностью 10 чр , = 1_(1_0.67)(1—0,61)=0,87.Вероятность безотказной работы устройства за время длительностью 10 ч/> = Pj./j^(10)=0,87.0,37 = 0,32,310Абсолютная погрешность | Я — Р * | = | 0,32—0,361 = 0,04.б) Найдем среднее время безотказной работы устройства, учитывая, что в 50 испытаниях оно работало безотказно всего 450 ч:Г* = 450/50 = 9.Для сравнения приведем аналитическое решение.
Среднее времяработы элементов: 7 ^ = 1/0,04=25, 7 д = 1/0,05 = 20. 7r==j/0,10 = 10.Среднее время работы узлов: 7i = niax(25, 20) = 25, t2=^0.Среднее время работы устройства: / = min(25, 10) = 10.Абсолютная погрешность \t — /• | = 10 — 9 = 1 .728. Устройство состоит из трех узлов, соединенныхпоследовательно. Первый узел содержит два элемента:Л, В, которые соединены параллельно. Второй узел содержит один элемент С, третий узел — один элемент D.Время безотказной работы элементов (в ч) распределенопо показательному закону с параметрами, соответственноравными 0,02; 0,05; 0,08; 0,01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
