В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 56
Текст из файла (страница 56)
С в о й с т в о 1.При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимнаякорреляционная функция не изменяется:Rxy(tu tt)^RyAtt.h).С в о й с т в о 2. Прибавление к случайным функциям X(t) иУ (t) неслучайных слагаемых ф (/) и ф (О не изменяет их взаимнойкорреляционной функции: еслиXi(/) = X ( / ) + 9 ( 0 , К 1 ( 0 = К ( / ) + ф ( / ) ,то/?x,y,(^. tt)^R^y(tt.t^).С в о й с т в о 3.
При умножении случайных функций X(t) иУ (О на неслучайные множители, соответственно ф(/) и ф(/), вэаим*пая корреляционная функция умножается на произведение ф {t{) ф (i^y.еслиXt{t) = X(t)<p(t). К1(0 = К ( 0 ф ( 0 .тоRx^y^(h. t^^Rxyitu/1)-ф{^£)*(/,).С в о й с т в о 4. Абсолютная величина взаимной корреляционнойфункции двух случайных функций X(t) ы У (i) не превышает среднегогеометрического их дисперсий:\Rxy(tu tt)\^Vo^(H)Dy(tt).Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(i) и У (О называют неслучайную функцию двухнезависимых аргументов tf и /«:^о^ (tt) Оу (/,)VD^ (tг) VOy (U)Абсолютная величина нормированной взаимной корреляционнойфункции не превышает единицы: \Pxyihi ^ t ) l ' ^ b333756.
Случайная функция X (/) = (/* +1)17, где f/—случайная величина, возможные значения которой принадлежат интервалу (0,10). Найти реализации функцииX (t) в двух испытаниях, в которых величина U приняла значения; а) «1 = 2; б) и, = 3,5.757. Случайная функция X {t) = U smt, где U—случайная величина. Найти сечения X{t), соответствующиефиксированным значениям аргумента: а) t^ = n/6;6) / , == я/2.758.
Доказать, что неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания:М[Х(0-Ф(0] = Ф(0-/п^(0.759. Найти математическое ожидание случайной функции X ( 0 = f^e^ где и—случайнаявеличина, причемM(U) = 5.7в0. Доказать, что математическое ожидание суммыдвух случайных функций равно сумме математическихожиданий слагаемых:У к а з а н и е . Принять во внимание, что при любом фиксированном 31|ачении аргумента сечение случайной функции есть случайная величина.761. Найти математическое ожидание случайной функции: a)'X(t) = Ut^ + 2t + U б) X{t) =Usin4t+Vcos4t,где и и V—случайные величины, причем М (U) = M(y) == 1.762. Доказать, что корреляционная функция случайной функции X (/) равна корреляционной функции центрированной случайной функции: X{t) = X{t)—т^Ц).763.
Доказать, что при равных между собой значенияхаргументов корреляционнаи функция случайной функцииX\t) равна ее дисперсии: /С^с(Лt)^Dx(t).У к а з а н и е . Принять во внимание, что, по опрег^1ению дисперсии случайной величины X, Dj^ = Af[(X—/Лл)*] = Л1 [(Х)*).764. Доказать, что от прибавления к случайной функции X (/) неслучайной функции ф (/) корреляционнаяфункция не изменяется: если Y(t) = X{t)+^{t),тоРешение. Найдем математическое ожидание:my{t)=^M[X (/)+Ф(01 = т* ( 0 + 9 ( 0 .Найдем центрированную функцию:^ ( 0 = К(0-т»(0=Г'^(О+ф(0]-('Пх(О+ф(0]===Л(/)-т;,(0=А:(0.334Таким образом, У^ ( 0 = ^ ( 0 Найдем корреляционную функцию *>:Итак,Ку^Кх*765. Известна корреляционная функция Кх случайной функции X{t). Найти корреляционную функциюслучайной функции К (О = Х (/) + /*.766.
Доказать, что при умножении случайной функции X (t) на неслучайный множитель ф(/) корреляционная функция умножается на произведение ф(^1)*ф(/2)'767. Известна корреляционная функция Кх случайнойфункции X{t). Найти корреляционную функцию случайной функции: а) К (/) = X (/)•(<+ 1); б)Z{t)=CX(t),где С—постоянная.768. Пусть X (t)—случайная функция, ф(/)—неслучайная функция. Доказать: если К(/) = X (/) + Ф(/), ТОР е ш е н и е . П е р в ы й с п о с о б . При любом фиксированномзначении аргумента сечение X (t)—случайная величина, ф(0—постоянное число.
Известно, что прибавление к случайной величинепостоянного числа не изменяет ее дисперсии, поэтому D^ (t) =«О1Х(0+Ф(/Л = ^х(0.В т о р о й с п о с о б . Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого не изменяет корреляционной функции: К у (/i, tt)'^^= /Cx(^i»^2)- При равных значениях аргументов получим лjy (/,/) ==^= Л^х{Л О» или окончательно Dy(i)^=^Dx(t),769. Известна дисперсия Dj^{i) случайной функцииX (/).
Найти дисперсию случайной функции К(0==-Х(0+2.770. Дано: X{t),— случайная функция, ф(0 — неслучайная функция. Доказать: если К (/) = Х(/)-ф(/), то D^(t)=771. Известна дисперсия случайной функции X{t).Найти дисперсию случайной функции К (/) = (/+3) X (/).772.
На вход усилительного звена подается случайнаяфункция Х(/), математическое ожидание и корреляционная функция которой известны: т^^ (/) = /, Kxi^i* '«) === е"°^<^-'»>* ( а > 0 ) . Найти:, а) математическое ожидание;б) корреляционную функцию выходной случайной функции Y {(), если коэффициент усиления fe = 5.Указание.Учесть, что выходная функция / ( 0 = 5Х(/).*) В этой задаче и в ряде последующих задач для простотызаписи скобки (ii, t^ опущены^335773.
Доказать, что корреляционная функция произведения двух центрированных некоррелированных случай^ных функций равна произведению корреляционных функций сомножителей.Р е ш е н и е . Пусть Z(/) = J^(/)^ (/). Математическое ожиданиепроизведения некоррелированных функций равно произведению математических ожиданий сомножителей, поэтому m2(t) = mo(()mo (/).Математическое ожидание любой центрированной функции равнонулю, поэтому ntg (/) = 0-0 = 0 и, следовательно, i (i) ^ X (t) Р' (i).Искомая корреляционная функцияK^^Mli (tt) t (/,)! = М {\к (tt) f" (ti)] ik (tt) ^ Иг)}.Перегруппируем сомножители под знаком математического ожидания:Kz^M{[ Mti) * (^j)l & (ti) P (tt)]yУчитывая, что заданные функции не коррелированы, получим/ С , - М [к Иг) к (/,)! М [^ (tt) V(/,)!,или Kg==^KxKy*Корреляционная функция случайной функции равна корреляционной функции центрированной функции (см.
задачу 762), поэтомуокончательно имеем Kg^K^K».Xу774. Доказать, что корреляционная функция произведения трех центрированных независимых случайныхфункций равна произведению корреляционных функцийсомножителей.775. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функцииXit) = иcos2t,где U—случайная величина, причемAf((/) = 5, D((/) = 6.Р е ш е н и е , а) Найдем искомое математическое ожидание (неслучайный множитель cos 2/ вынесем за знак математического ожидания):М [X (/)] :=M[U cos 2/J == cos 2/Af (6/)=5 cos 2/,6) Найдем центрированную функцию:k(t)^X (i)—mjc (() = ^ cos 2/—5 cos 2/ = (U —5) cos 2/.Найдем искомую корреляционную функцию:Кх (iu tt)^М[к (/i) к (/,)! = Af {[(^~5) cos 2ii] [(U — 5) cos 2/,!} == cos2^,cos2/,Af (U —5)«.Учитывая, что M{U—5)*=D(f/)=6,окончательно имеемКх (tif ^«)=6 cos 2/i cos 2/,.a) Найдем искомую дисперсию, для чего положим ti^i2^tiDj,(t)^Kx(t» 0 = 6 cos» 2Л33677в.
Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функцииX{t)^UsinSt,тле ^ и—случайная величина, причемM{U)= 10, D ({/)=-0,2.777. Известна корреляционная функция /CxCi» tt) —= titt + ^titl случайной функции X{t). а) Убедиться напримере при 1^=1, t^=2 что абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений; б) найтинормированную корреляционную функцию и вычислитькоэффициент корреляции сечений, соответствующих значениям аргументов <i==l, /, = 4.778. Задана корреляционная функция KxiU* ^t) == /i/,e-i'«-M случайной функции X(t).
Найти нормированную корреляционную функцию.779. Найти взаимную корреляционную функцию двухслучайных функций: X{t) = t*U и Y{t) = t^U, где i/ —случайная величина, причем D((/) = 5.Р е ш е н и е . Найдем математические ожидания:ntj, {/) = М (t*U) = /*me. ту (t) = М (tW) = t^nia.Найдем центрированные функции:Найдем взаимную корреляционную функцию:Rxy^MlS[{ti)l^(tt)]^М{[tl(У-та)][tl(U-ma)]}=^tltlM HU—ma)^]-=-titlD{U)^Stltl.«Итак. /?^y=5/M780. Доказать, что взаимная корреляционная функцияслучайных функций X{t) и К(/) равна взаимной корреляционной функции центрированных функций X (t) иY{t).78Ь Доказать, что при одновременной перестановкеиндексов и аргументов взаимная корреляционная функция двух случайных функций не изменяется: Rxyi^if t^) =782.
Задана взаимная корреляционная функцияRxyitif '2) = cos(a<i-f PQ. Написать взаимную корреляционную функцию Ryxitif ^t)*337783. Найти нормированную взаимную корреляционнуюфункцию случайных функций X (t) — Ш н Y(t) = (t + l)U^где и—случайная величина, причем дисперсия D{U)==i= 10.§ 2. Характеристики суммы случайных функцийТеорема 1. Математическое ожидание суммы конечного числаслучайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых.С л е д с т в и е . Математическое ожидание суммы случайнойфункции и случайной величины равно сумме их математических ожиданий.Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух коррелированныхслучайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемыхи взаимной корреляционной функции, которая прибавляется дважды(с разным порядком следования аргументов): если Z{t) = X{t) ++ У (О.
тоКгОи /2) = /Сх(^Ь t^)+Ky(tuU)+Rxyi^Ut^)+Rxyltt./i).Теорема обобщается на п попарно коррелированных функций:если К (О = 2Х / ( / ) . тогде пары индексов ((, /) второго слагаемого есть размещения изчисел 1, 2л, взятых по два.С л е д с т в и е 1. Корреляционная функция суммы некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых.С л е д с т в и е 2. Корреляционная функция случайной функциии некоррелированной с ней случайной величины равна сумме корреляционной функции случайной функции и дисперсии случайной величины.784. Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X(t) и Y (t).
Найтикорреляционную функцию случайной функции Z(t)=^== X(t) + Y (t), если рассматриваемые функции: а) коррелированы; б) не коррелированы.785. Известны математические ожидания rrij^ (t) = 2t ++ 1, /Пу(/) = < — 1 и корреляционные функции Кх==^^2>/С==е~*^^«~^»>' некоррелированных случайных функцийл ( / ) и К (О- Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию случайной функции Z{t)^X{t)+786.
Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X (/) и У (t). Найти338взаимную корреляционную функцию случайных функций(/(0 = аХ(/)+6у(0 и V(/) = cX(0 + dK (О, гдеа, 6. с. d—постоянные действительные числа.787. Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X(t), У (t), Z{t). Найтикорреляционную функцию случайной функции II (t) == Х(/) + К(/) + 2(<), если рассматриваемые функции:а) попарно коррелированы; б) попарно не коррелированы.п788. Доказать, что формулу /С„= 2 ^ * / + 2 Rx,x, дляотыскания корреляционной функции суммы У (t) =— ^Xi (t) п коррелированных случайных функций можнозаписать в виде /Су = S Кж-х^/«Г789. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X{t)^^Ut+Vt^,где и 1Л V—некоррелированные случайныевеличины, причем Л1((/) = 4, УИ(1/) = 7, D(£/)«0,1.D{V)^2.У к а з а н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
