В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Приняв во внимание, что центрированная функцияJC ( / ) = X (О—т^ (/) = е»' cos 2/—5е»' cos 2/ = е«' cos 2/ (U —5),имеемКх=^М {[е»^ cos 2/i (С/—5)1 [е»^ cos2tt {U—b)\ =*^ е» <'»•*'^«> cos 2/i cos 2/,. М (U —5)«.345По условию, D(6^) = M (6/—5)* = 1, следовательно»Кх = е» <^ + ^> cos 2/1 cos 2/,.Найдем искомую корреляционную функцию:Ку (ti, ^1) = 5 S ®' ^*»+*«> cos 2si cos 2s, dsi ds^*Выполнив интегрирование, окончательно имеемKy(ti, /,) = (l/169)[e'^(2sin2/i+3cos2/i)—3] [e»42sln2/e ++3cos2/,)—3].в) Найдем искомую дисперсию:Dy(i)^Ky{t, О = (1/169) [e»42sin2/+3cos20—31».822.
Найти дисперсию интеграла Y (t) = ^ X (s) ds,озная случайную функцию: а) X(/) = ^cos2/, где U —случайная величина, причем iM((/) = 5, D(U)=^6;б) X(t) = Us\nt, причем Л! ((/)== 2, D(U) = 3.823. Задана корреляционная функция /Сх = е-<'«+'«>.Найти корреляционную функцию случайной функцииК (/) = / 5 X (S) ds.У к а з а н и е . Найти сначала корреляционную функцию интеграла, а затем использовать свойство 3 корреляционной функции (§ 1).824. Задана случайная функция X{t) = Ucos3t, гдеи —случайная величина, причем М (U) == 1, D (U) = 1.Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционнуюфункцию; в) дисперсию случайной функцииУ{П=ЦХ{8)й8.825*.
Задана /корреляционная функция Кх =в е«<'»+'•>cos p/j cosp/,. Найти дисперсию случайной функции K ( 0 = o U f ^ ( s ) d s .=ц826*. Задана корреляционная функция /Cj^~De-''«-M.Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию интеграла K(0 = JX(s)ds.346Р е ш е н и е . Используем формулуГ)0 0001. Пусть ti < /,. Тогда внутренний интеграл/tfi/t00ftВыполнив интегрирование» найдеми[Подставив (••) в (•):0После интегрирования получим корреляционную функцию при tx < i%:Ky{tu ^ ) » 0 1 2 / t + e - ^ + e - ^ — e - i ^ - ^ > — I J .(•••)2.
Пусть /t < ^1* Используя свойство симметрии (при нерестановке аргументов корреляционная функция не изменится)» сразуполучим корреляционную функцию интеграла при ^t < iiiКу(/,./^)«DI2/.+e•^+e-^-e-<^-^>-.|l.3. Объединив эту формулу с формулой (***)» окончательно име*ем для любых ti п itKyUu U)^Dl2mln(iu/.)+e-<t+e-^—е-Иа-^t—IJ.где min(/t» i%)—наименьшее из чисел ti и (%.Найдем искомую дисперсию:Dy(i)^Ky(i./)«2D(/+e-<—I).827*. Заданы математическое ожидание т^^ (/) =» 3 + 4/,корреляционная функция /С^г^Юе'**^**'^!. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию интегралаK(/)-JX(s)ds.о828. Доказать, что если известна корреляционная,функция случайной функции X(Ot то взаимные корреляционные функции случайных функций X(t) и УО)^347= ^ X (s) dsоа)выражаютсяинтегралами:Rxy = I К^ (tu S) ds; б) / ? , , = J /С, (S, /.) ds.ооР е ш е н и е .
По определению взаимной корреляционной функции, Rxif'=^Ml^ (h)^ (^ш)]- Найдем центрированную функцию:/it (/) « К (t)—my (0 = J ^ W d«—J >Wx («) <i««00« f [X (s)—mj^ (s)l ds = J * (s) ds.00Следовательно,Rxy ^M[k(/,) f^ (/,)) = Л1 ^ (/i) J Д: (s) ds =.= M 5*(/,)*(s)ds .Операции нахождения математического ожидания и интегрированияможно менять местами, поэтомуииЛ^У = J М [;f (/О к (s)l ds « J /Сх (/i. s) ds.006) Доказать самостоятельно.829. Найти взаимные корреляционные функции слуtчайных функций X(t)и Y(t) = \X(s)As,если известнакорреляционная функция Кх случайной функции X{i)iа) /C;, = 2 / i / , + l; б) /Cx = cos/iCOs/,; в) /C^ = Mie'*^'*.Глава семиадрчатаяСТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЯНЬЯБ ФУНКЦИИ§ 1 . Характаристмкм стацмоиарирй случайной функцииСтационарной называют случайную функцию Х(/), математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента /и корреляционная функция которой завесит только от разностиаргументов /«—/д.
Отсюда следует, что:3481. Корреляционная функция стационарной случайной функцииесть функция одного аргумента т = / 2 — i v2. Дисперсия стационарной случайной функции постоянна привсех значениях аргумента / и равна значению корреляционнойфункции в начале координат (T = 0):D;^ (/)=/fjf (0).Корреляционная функция стационарной функции обладает следующими свойствами.С в о й с т в о 1. Корреляционная функция стационарной случайной функции —четная функция:kx{i)=kx(—i).С в о й с т в о 2. Абсолютная величина корреляционной функциистационарной случайной функции не превышает ее значения в началекоординат: \ kx (т) | < kx (0).Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называют неслучайную функцию аргумента т:Рх(т) = ^х(т)/Лх(0).Абсолютная величина нормированной коорреляционной функциине превышает единицы: 1р;с('^)1<1-830.
Задана случайная функция Х(/) = со5(/ + ф),где ф—случайная величина, распределенная равномернов интервале (0,2 л). Доказать, что X{t) — стационарнаяфункция.Р е ш е н и е . Найдем математическое ожидание X (/):mx{t)=M [cos (/+ф))==Л1 [cos / созф—sin / sin ф] =»= c o s t'M [со$ф] — sin t*M [sinф].Учитывая, что (см. гл.
VI, § 3)2я2лМ [со8ф] = (1/2п) \ со5фс1ф = 0, А![81Пф] =(1/2я) ^ sinфdф = 0,ооокончательно получим т ; ^ ( / ) = 0 .Найдем корреляционную функцию случайной функции X (/).Приняв во внимание, что центрированная функция Х ( / ) = Х ( / ) —— гпх (О == X (О— cos (/ + ф), имеемКх^М [к Иг) X (/2)1 = >М [cos (ii + ^)cos (/а + Ф)]Выполнив элементарные выкладки, найдем/Cx = ( l / 2 ) c o s ( / 2 - / l ) + ( l / 2 ) Л f [ c o s ( / a + / l + 2ф)^Легко убедиться, что математическое ожидание второго слагаемогоравно нулю, поэтому окончательно получим /Cj^ = (l/2)cos (/2 — /j).Итак, математическое ожидание функции X (/) постоянно привсех значениях аргумента и корреляционная функция зависит толькоот разности аргументов.
Следовательно, X (/)—стационарная случайная функция.831. Задана случайная функция X(/) = sin(/ + 9).где ф—случайная величина, распределенная равномерно349в интервале (О» 2я). Доказать, что X(t)—стационарнаяфункция.832. Доказать» что если X{t)—стационарная случайпая функция, Y—случайная величина, не связаннаяс X(Ot то случайная функция Z(/) = X(/) + K стационарна.833.
Доказать, что если X{t)—стационарная случайная функция, К==Х(/о)—случайная величина, то случайная функция Z{t) = X{t) + Y нестационарна.834. Стационарна ли случайная функция X (i) == и cos2t, где и—случайная величина?835. Является ли стационарной случайная функцияX {t) = U s\nt + Vcost, где U иУ—некоррелированныеслучайные величины, причем т д = т ^ = О, De=D^=D?836. Задана случайная функция X (/) = /* + (У sin / ++ Kcos/, где и и V—случайные величины, причемAf(t/) = Af(F) = 0. M(UV)^0; D(t/) = D(K)'= 10.
Доказать, что: а) X (О — нестационарная функция; б) ^ ( / ) —стационарная функция.837. Будет ли стационарной случайная функцияX (/) = asin((o/ + 9), где а, со—положительные постоянные числа: ф—случайная величина, плотность распределения которой /(ф) = со8ф в интервале (О, я/2)?838*. Доказать нестационарность случайной функцииХ(0=*л^51п(о)/+ф), где а, со—положительные числа;Ф—нормально распределенная случайная величина, плотность вероятности которой /(ф)==(1/|/^)е^-^^а).Р е ш е н и е .
Найдем математическое ожидание заданной функции:mx{t)^M[а sin {(at -^-^Ц^^ а sin Ы -М (созф)-^+ а cos ш/ -М (sin ф),(•)Математическое ожиданиеtoМ(81пф)===--1= Г 81пфе-^^*/*>с!ф==0,(••)— CDтак как пределы интегрирования симметричны относительно началакоординат и подынтегральная функция—нечетная.Найдем математическое ожидание:М (COS 9 ) = — i = f cos фв- <»*'») d9.350Введем в рассмотрение интеграл, зависящий от параметра а:/ ( а ) = : J со8(аф)е-<^*/«><1ф.— соЗаметим,что при а = 0 получиминтеграл Пуассона0D»/(0)«»ООС е-<••/•> д ф = К 5 я . При о = 1 и м е е м / ( ! ) = J cos <pe-<»*/*» ёф.Следовательно,М (cos tp) = / (1)/ / 2 я .(*••)Продифференцируем / ( а ) по параметру а:00Г ( а ) = — J ф8ш(аф)е~^^*/2>с1ф.— 00Интегрируя по частям, приняв u = sin (аф), получим / ' (а) = - - а / (а).Об^цее решениеэтогодифференциального уравнения /(а)=Се~^^'^^^*Положив (х»0, учитывая, что / ( 0 ) » V^2ji, имеем С ~ {/"гд; следовательно,_/(а)«>^"5?.е-<«*/*>, / ( l ) = j / ^ / / e .В силу (•••)_Л1(со8ф)=г/(1)/К2я=1//е.{••••)Подставив (••) и (****) в (*), окончательно получимТаким образом, ntxit) зависит от аргумента /, поэтому X (/)•-•нестационарная функция, что и требовалось доказать.839*.
Найти дисперсию случайной функции X (/) =»«=а81п(<о/ + ф), где а и со—положительные числа, ф —нормально распределенная случайная величина с плотностью вероятности /(ф)=(1/1/^)е^<^*/*>.У к а з а н и е . Использовать задачу 838. Принять во внимание,чтоJ cos2q>e-<">*/»>dq) = / ( 2 ) .840.
Доказать, что корреляционная функция стационарной случайной функции есть четная функция.Р е ш е н и е . Корреляционная функция любой случайной функции при перестановке аргументов не изменяется. В частности, длястационарной функции, корреляционная функция которой зависиттолько от разности аргументов, поменяв местами аргументы, получим**(^t—'i)=^x(^i—^«)- Положив T = / t — / i , окончательно имеем351841. Известна корреляционная функция kjg(t) стационарной функции X{t). Доказать, что если К(/)«аХ(0#то Л|,(т) = а«Л^(т).842.
Известна корреляционная функция kjg{x)» De^^*^стационарной случайной функции X {t). Найти корреляционную функцию случайной функцииY{t)^4X{t).843. Доказать, что дисперсия стационарной случайнойфункции X (t) постоянна и равна значению корреляционной функции в начале координат: Djs(t)^kjf{0).Р е ш е н и е . Дисперсия любой случайной функции равна значению ее корреляционной функции при равных значениях аргументов.В частности, для стационарной функции, корреляционная функциякоторой зависит только от разности аргументов, получим^>x(0«/Cx(^ 0 « * х ( / - 0 « * * ( 0 ) .844.
Доказать, что абсолютная величина корреляционной функции стационарной случайной функции не превышает ее значения вначале координат: |i^x('^)J^ii^ir(0).Указание. Использовать задачу 343 и свойство 4 корреля«>ционной функции (гл. XVI, § 1).845. Найти нормированную корреляционную функцию,зная корреляционную функцию стационарной случайнойфункции Х(/): a)ft^(x) = 3e-^6)*^(T)«D^-i'i.<l+|x|).§ 2. Ствциоиарио свяэашпм случайные фу|11С1|ммСтационарно связанными называют две случайные функции X (Ои Y (/), взаимная корреляционная функция которых зависит толькоот разности аргументов T=s/t—^i- 'c,y*"^WНе всякие две стационарные 4^нкции стационарно связаны;с другой стороны, две нестационарные функции могут быть стационарно связанными.84в.
Доказать» что взаимные корреляционные функциидвух стационарно связанных случайных функций X{t)и К (О» взятых в различных порядках, связаны равенством г^у{х) = г^^{х).У к а з а н и е . Использовать задачу 781*847. Доказать, что для стационарных и стационарносвязанных случайных функций X{t) и К(/) абсолютнаявеличина взаимной корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий этих функций:352У к а з а н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
