В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В табл. 62приведены результаты шести испытаний, включая первое.Используя табл. 62. найдем искомые величины: а) среднее числообслуженных за 30 мин заявок "Л'обсл = 93/6е= 15,5.б) среднее время оСслуживания одной заявки 7обсл == 4»49/6 === 0.748.в) вероятность обслуживания Робел = 3,974/6=0,662,г) вероятность отказа Р^^^=::\—Робсл = 1—0,662=0,338.Таким образом, примерно 66% заявок будут обслужены, а 34%получат отказ.733. В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновскии поток заявок.Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону /(т) = 0,5е"^'^^315ТаблицаНомерзаявкиiСлучайноечислоl-inR.Длительностьобслуживаниязаявки1 ^11234567 i8 1910И121314151617181920212222,301.540,092,411,610,730,250,321,390.210,930,740,180,443,08i.n0,270,654,600,350,860,341,050,151.080,700,100,720,670,350,480,401.050,730,270,700,49' ~ \Счетчик= 0.67(-.1п/?,.) поступ начала оконча обслу отказовления обслунияжензаявки жива обслуныхнияжива заявокния0,100.330,760,520.01Момент6100,463,784,675,786,997,177,758.0510,1310,4711,7812,4613,6114.6320,3823,2624,1024,3526,6429,0229,93~~177Г~ ~•01.5413.785,3915,786,995,997.921111118,0510,1310,4711,788.7910,3110,91!14,86111111120,38 21,0823,26 23,3624.10 24,82 J111 126,64 26,9129,02 29,7230,42111~~1—9время обслуживания случайное и распределено по закону/ i ( 0 = 2e~*'.
Найти методом Монте-Карло за времяГ = 20 мин: а) среднее число обслуженных заявок;б) среднее время обслуживания одной заявки; в) вероятность обслуживания; г) вероятность отказаУ к а з а н и е . Произвести шесть испытаний. Для определенностибрать случайные числа с двумя десятичными знаками после запятойиз таблицы приложения 9 при разыгрывании т/, начиная с первойстроки снизу» а при разыгрывании ti—начиная с первой строкисверху.316Та б л и ц а62Номер Посту [Обслу Длитель среднее время • Вероятность Вероятностьобслуживания обслуживанияиспы пиложеноностьотказатания заявок заявок обслужиР.в/ отк^ /орел"/обсл"*/вания/пост /обсл=1Я,^__ ^/обсл/обсл/обсл/обсл"лГ^io6c.л/постJ12345622251 2422202713171615131921409311,718.8013,4612,1911,999.570.900.520,840,810,920,500.5910,6800,6670,6820,6500,7044,493.9740.4090.3200.3330,3180,3500,296§ 8.
Вычисление определенных интеграловметодом Монте-КарлоА. Способ усреднения.ьВ качестве оценки определенного интеграла / = J (p(x)dx принимают«лгде /I — число испытаний, Xf — возможные значения случайнойвеличины X, распределенной равномерно в интервале интегрирования (а, 6); их разыгрывают по формулегде г, — случайное число.Дисперсия (т^ усредняемой функции (Ь'-а)(р(Х) равна:'=(b--a)l(pHx)dxJij(p(x)^^317в качестве оценки интеграла / == \ \ /(дс, y)dx6i/,где областьDинтегрирования D принадлежит единичному квадрату0 < у < 1 ) , принимают(0<х<\щгде S—площадь области интегрирования; Л^—число случайныхточек (х/, ^/), принадлежащих области интегрирования.Если вычислить площадь S трудно, то в качестве ее оценкиможно принять S*=iN/n; в этом случае формула (*) имеет вид'^где п—число испытаний.пВ качестве оценки интеграла / =: \ \ V / (дг, у^ г) dx 6у dz, гдеVобласть интегрирования И принадлежит единичному кубу ( 0 < х < 1 ,0<у<\^ 0 < 2 < 1 ) , цринимаютNil^v.i^—Л•(••)где V—объем области интегрирования, N—число случайных точекi^h У1* ^/)t принадлежащих области интегрирования.Если вычислить объем трудно, то в качестве его оценки можнопринять V*=iN/n; в этом случае формула (**) имеет видh.где п—число испытаний.Б.
Способ существенной выборки, использующий свспомогатель-*ную плотность распределения». В качестве оценки интеграла / аifа I «р (X) dic принимаюта, . _ 1 уф(дг/:где п—число испытаний: f{x)—плотность распределения свспомоьгательной» случайной величины X, причем \ / ( x ) d x » l ; х/—воаа318можные значения X, которые разыгрывают по формуле5 /(х)ск=г/.Функцию f(x) желательно выбирать так, чтобы отношениеf(x)/ip{x) при различных значениях х изменялось незначительно.В частности, если f(x) = \/(b — а), получим оценку I*.В, Способ, основанный на истолковании интеграла как площади.Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена:0 < ф ( д с Х с , а двумерная случайная величина (X, К) распределенаравномерно в прямоугольнике D с основанием (Ь—а) и высотой с.Тогда двумерная плотность вероятности f (х, t/)=:l/(b—а) с для точек, принадлежащих D; f (х, у ) = 0 вне D,ьВ качестве оценки интеграла / = Кц>{х)йх принимаюта1з^1Ь—а)с(п1/п),где п—общее число случайных точек (х/, ^/), принадлежащих D;rii — число случайных точек, которые расположены под кривойу = Ф(х).Г.
Способ «выделения главной частиз». В качестве оценки инbтеграла / = \ ф (л:) dx принимаютап/: = ^^h[ф (Xi)^g {Xi)]+ 5 f! ix) 6X,1=1aгде X/—возможные значения случайной величины X, распределенной равномерно в интервале интегрирования (а, Ь), которые разыгрывают по формуле Xi=-a+{b—а) г,-; функция ^(дг)сь-ф (х), причемbинтеграл \ g (х) 6х можно вычислить обычными методами.а734. Вывести формулупi:=(b-a)2Ф (xi)где Xi = a + (b—с) г^, для оценки определенного интеbграла / == 5 ф (л:) их,аР е ш е н и е . Введем в рассмотрение случайную величину X,распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, Ь) сплотностью /(дс) = 1/(6 — а).
Тогда математическое ожиданиеbbМ [ф (Х)\ = J ф W / (ж) с 1 х = - ^ 4 ^ J ф (л:) dAT,аа319Отсюда^ip(x)dx =(b-a)M[(p(X)].Замевив натеиатяческое ожидание Af (ф(Х)) его оценкой—выборочной средней, получим оценку искомого интегралаS «Р (XI)где х/-^возможные значения X. Так как случайная величина Xраспределена равномерно в интервале {а, Ь) с плотностью f(x) == 1/(6—а), то X/ разыгрывают по формуле г---— i dx=sr/ (см. § 3,аправило 2). Отсюда х/=а+(6—о)/-/, где г/—случайное число.735.
Найти: а) оценку определенного интеграла3/=J (x+l)dx; б) абсолютную погрешность |/—/?|;в) дисперсию (т^ усредняемой функции (6—а)ф(А^.Решение, а) Используем формулуя/ Г = ( 6 - а ) -^^^^^.пПо условию д = 1,6=3, ф ( х ) = х + 1 . Примем для простоты 4ислоиспытаний л=: 10. Тогда оценка/f=(3~l)1010<-1i-l1010где возможные значения Xf разыгрывают по формулеХ/=а+(6~-а)г,= 1 + ( 3 - 1 ) г , = 1+2г;.Результаты десяти испытаний приведены в табл. 63. Случайные числа Vf взяты из первой строки приложения 9.Таблица 63Номериспытания /12345б789100,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,8761,200 2,946 1,506 1,752 2,040 U 7 0 2,726 1,934 1,708 2,752<piXi)=-Xi-h\ 2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752Xf=l-f2r,.320Из табл. 63 находим Еф(х^)=29,834.
Искомая оценка10б) Найдем абсолютную погрешность |/—/*|.Приняв во внимание, что3/=J(x4-l)dx=6,получим искомую погрешность:| / - / * | = |6-5,967|=0,033.в) Найдем дисперсию а^ усредняемой функции ф—а)(р(Х)== (3-1)(ЛГ+1)=2АГ+2 по формулеЬГЬ-|2По условию а=1, 6=3, <р(х)=х+1, следовательно,3^2ГЗ= ( 3 - 1 ) J (х+1)^(Ьс-М (jc+l)dxT.Выполнив выкладки, получим искомую дисперсию (7^=-.Заметим, что <т^ можно было вычислить непосредственно,используя свойства дисперсии:D(X+Q=D(X),D(CX)^C^D(X),Действительно,Поскольку случайная величина X распределена равномерно в интервале (1; 3), то ее дисперсия (см.
задачу 315)12123Следовательно,(7^=4Z)(JS0=-.3736. В качестве приближенного значения интеграла / == f cosxdx принята оценка /f=(6—а)^оусредняемой функции (Ь-а)(р(Х)'-. Найти дисперсию а^п321Решение. Используем формулуа^ = (Ь-а)1 cp^(x)dx-U(p(x)dxj.По условию а = 0 , 6 = - , ^(JC)=COSJC.Следовательно,<т^=- j cos^xdx— J cosjcdx=- Jdjc— J cosxdx.Выполнив выкладки, получим искомую дисперсию:(т2=,--1=0,23.8^737. В качестве приближенного значения интеграла/=2=1 sinxdx принята оценка /f.
Найти дисперсию а^ усредняемойофункции - sin X,738. Найти: а) оценку определенного интеграла / = J x^dx поданным десяти испытаний; б) дисперсию <т^ усредняемой функцииЗА^.Указание. Для определенности взять случайные числа г, изпервой строки табл. 63.},739. Найти: а) оценку / f определенного интеграла / = j e'dx пооданным десяти испытаний; б) дисперсию усредняемой функции740. Найти оценки Ц определенных интегралов:a)/=Jtg^xcb:;6)/=fпо данным десяти испытаний.djcп2741.
Найти оценку /у определенного интеграла / = J cosxdx пооданным десяти испытаний. Случайные числа г, взять из первойстроки табл. 63.Решение. Разыграем 10 возможных значений JTno формулех~0+322Г;=1,571г,.Результаты испытаний- приведены в табл. 64.Таблица 64Номериспытания /123456789100,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,8760,157 1,529 0,398 0,591 0,817 0,212 1,356 0,734 0,556 1,376<p(x,)=cosx,. 0,988 0,042 0,922 0,830 0,684 0,978 0,213 0,742 0,849 0,194Х, = (7С/2)Г,Учитывая, что E(p(jc,)=6,442, найдем искомую оценку интеграла:/Г=(я/2)(6,442/10)=1,01.742. В качестве приближенного значения определенного интег(p(x)dx принята оценка If=(b—a). Доказать, чтодисперсия а^ усредняемой функции {b—a)q>{X) равнас^^{Ь-а)\(p\x)dxS\(p(x)/(x)dxT.Решение.
Учитывая, что D{CX) — C^D(X), получимИспользуем формулу (**) (гл. VI, § 3)/)[Ф(J50]=l срНх)&Х'-[МЫт^.аПо формуле (*) (гл. VI, § 3)аСледовательно,D[cp{X)]^\ (p\x)f{x)doc-M<p{x)f{x)^^.Так как случайная величина X распределена равномерно в интервале (а, 6), то ее плотность/(х)=, а значит{Ь-а)3231ВИВ (**) в (*), окончательно получим<T^ = (b-a)](p^(x)dx-U<p(x)f(x)dxY.743.
Найти оценку /* интеграла /Произвести 10 испытаний.=M(x + y)dy.Р е ш е н и е« Область интегрирования ограничена линиями9j=^x^ ^ = 1, дг=»0 и, очевидно, принадлежит единичному квадрату*Площадь области интегрирования (прямоугольного треугольника)S=(l.l)/2=0,5.Используем формулуS/(^f/. Уд/•==S/si^f(Xi.=0.59i)fsi(•)где Л^—число случайных точек (х/, ^/), которые принадлежат области интегрирования; у этих точек ^/^лг/ (при каждом испытании,в котором дто условие выполняется в счетчик N записывают единицу)« Пары независимых случайных чисел (дг/, ^/) берем из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху. Результаты10 испытаний приведены в табл. 65.Т а б л и ц а 65Номериспытания i12345678910*/10,1000.2530,5200.8630,3540.8090.9110,5420,0560,474СчетчикУ10.9730,3760.1350,4670,8760.5900,7370.0480,4890,296SИз табл.
65 находим V = 4. 2111,0730.629I1.230I0.54543.477/(•*/» У/) =» 3.477* Подставив эти/siчисла в формулу (•), получим искомую оценку:/ • = 0 . 5 . (3.477/4) =0.435.324/(*£. !'/)«*/+V/Сравнительно большое расхождение полученной оценки с точным значением / = 0 , 5 объясняется малым числом испытаний.744.
Найти оценку /* интегралов:B)|dxj^e'/.di,;r) j d ^ J d i ^ j j ^ ^11Д) ^dx [dyl^x^yJxyz dz.Произвести no 10 испытаний. Случайные числа брать изтаблицы приложения 9 с тремя знаками после запятой,начиная с первой строки сверху.п745.Вывестиформулуll^ — YL ?тгг для оценкиbопределенного интеграла I = ^fp{x)dx,где f(x)—плот-аность распределения свспомогательной» случайной величины X в интервале интегрирования (а, 6); Х/—возможные значения X, разыгранные по известной плотностиf(x)\ п—число испытаний.Р е ш е н и е .
Пусть / {х)—плотность распределения некоторойслучайной величины X в интервале интегрирования (а, Ь)^ т. е.ьV/(x)dX8l. Представим интеграл У так:J fix) ^(x)dx.Таким образом, интеграл / представлен в виде математическогоожидания функции ^ ( л ) в ф ( Х ) / / ( Х ) . В качестве оценки этого ма«тематического ожидания, а следовательно равного ему интеграла /»примем выборочную среднююУ:—± V у<^/)где JT/^возможные значения случайной величины X, которые разыг*рввают по известной плотности / {х)\ п—число испытаний.
Искомаяоценка получена.325Заметим, что желательно выбрать /(х) так, чтобы по возмож«ности отношение /(дг)/|ф(х)|а= const.1746. Найти оценку /J интеграла / = Je*(ijc.оР е ш е н и е . Так как е * « 1 + ^ + « * . , то в качестве плотностираспределения свспомогательной» случайной величины X примемфункцию f(x)^C(1+JC).Изусловияс с (1 + х ) djTss 1 найдемС = 2 / 3 . Итак. / (JC) = (2/3) ( х + 1 ) .Запишем искомый интеграл так:'iIе*(2/3) ( х + 1 )(2/3)(Af+I)dJC.Таким образом, интеграл / представлен в виде математическогое^ожидания функш1и .^.^^ ^—т-ггт. В качестве искомой оценки примем(J/d)(X-f-i)выборочную среднюю (для простоты ограничимся десятью испытаниями):1010^«=Т^Х(Ш)Ьн=Т)=^-^^ SijqiT'С)где Xi—возможные значения Л, которые надо разыграть по извест^ной плотности /(д:)=(2/3)(д:+1). По правилу 2 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
