В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Разыгрывание полной группы событийТребуется разыграть испытания, в каждом из которых наступаетодно из событий полной группы, вероятности которых известны.Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрываниюдискретной случайной величины.Правило. Для того чтобы разыграть испытания^ в каждом изкоторых наступает одно из событий Аи ^2» •••» An полной группы,вероятности которых pt» Рг* • "* Рп известны, достаточно разыграть(по правилу § I) дискретную случайную величину X со следующимзаконом распределения:X 1 2 . . . /IР Pi Р2 ••• Рп295Если в испытании величина X приняла возможное значение Xi = i,то наступило событие Л/.683.
Заданы вероятности трех событий: Л^, Ла, Лд,образующих полную группу: Pi = P (Ai) = 0,22, Ра === Р{А^) = 0,31 f Рз = Р(Лз)=0,47. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно из трехрассматриваемых событий.Р е ш е н и е . В соответствии с правилом настоящего параграфанадо разыграть дискретную случайную величину X с законом распределения:XI23р 0.22 0,31 0,47По правилу § 1 разобьем интервал (О, 1) на три частичных интервала: Ai—(0; 0,22), А2—(0,22; 0,43), Д3—(0,43; I).Выберем из таблицы приложения 9 пять случайных чисел, например 0,61; 0,19; 0,69; 0,04; 0,46.Случайное число Г|=0,61 принадлежит интервалу Лз» поэтомуХ = 3 и, следовательно, наступило событие Л».
Аналогично найдемостальные события. В итоге получим искомую последовательностьсобытий: As, Ai, А^, Аи Лд.684. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: /?, ==Р (^i) = 0,15, р^ = Р(А^ = 0,Ы\Р з = Я ( Л з ) - 0 , 0 5 , р, = Я(Л,)=0,16.Разыграть 10 испытаний, в каждом из которых появляется одно из рассматриваемых событий.У к а з а н и е . Принять для определенности случайные числа:0,37; 0,54; 0,20; 0,48; 0,05; 0,64; 0,89; 0,47; 0,42; 0.96.685. С о б ы т и я А и В н е з а в и с и м ы и совместны. Р а з ы г р а т ь четыре и с п ы т а н и я , в к а ж д о м и з к о т о р ы х в е р о я т ность п о я в л е н и я с о б ы т и я А р а в н а 0 , 7 , а с о б ы т и яВ—0,4.Р е ш е н и е . Возможны четыре исхода испытания:Ai=AB,причем в силу независимости событий Р{АВ) = Р {А)ХXP(fi) = 0,7 0,4 = 0,28;Л2 = Л 5 , причем Р ( А ^ ) = 0,7 0,6 = 0,42;As = AB^ причем Р(Л^5) = 0 , 3 0 , 4 = 0,12;А^=^АВ, причем Р ( У 4 В ) = 0,3*0,6 = 0,18.Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группычетырех событий: Ai с вероятностью Pi = 0,28, А2 с вероятностьюР2 = 0,42, As с вероятностью Рз = 0,12, А4 с вероятностью Р4=^0,\8,Эта задача в соответствии с правилом настоящего параграфасводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X с законом распределенияXрI0,2820,4230,1240,18Выберем из таблицы приложения 9 четыре случайных числа,например 0,32; 0,17; 0,90; 0,05.296Используя правило § 1, легко найдем искомую последовательность результатов четырех испытаний: Лг, Лх, А^, Ai.686.
События А и В независимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых вероятностьпоявления события А равна 0,6, а события В—0,8.У к_а 3 а н и^. Составить полную группу событий: Ai = AB,А2 = АВу А^ = АВ, А4 = АВ; для определенности принять случайныечисла: 0,69; 0,07; 0,49; 0,41; 0,38.687. События А, В И С независимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в каждом из которых вероятностьпоявления события А равна 0,6, события В — 0,2, события С —0,4.У к а з а н и е . Составить полную группу событии: А^ = АВС^^2^ ABC. Лз = Л"вС, Л4 = ЛВС, Лб = Л5С, Ав=АВС,Ат = АВС,As = АВСу для определенности принять случайные числа: 0,541;0,784; 0,561; 0,180; 0.993.688.
События А и В зависимы и совместны. Разыгратьпять испытаний, в каждом из которых заданы вероятности: Р(Л) = 0,5, P(fi) = 0,6, Р ( Л Б ) = 0,2.У к а з а н и е . Составить полную группу событий: i4i = ЛВ,Л 2 = А в , Л з = Л 5 , Л4="ЛЖ Учесть, что Р{Л2) = Р (/!) —Р (ЛВ),Р{А^)=Р(В)^Р(АВ),Р ( Л 4 ) = 1 - [ Р ( Л 1 ) + Р(>42) + Р(Лз)Ь Дляопределенности принять случайные числа: 0,66; 0,06; 0,57; 0,47; 0,17.§ 3.Разыгрывание непрерывной случайной величиныИзвестна функция распределения F (х) непрерывной случайнойвеличины X. Требуется разыграть X, т. е.
вычислить последовательность возможных значений д:/(/== 1, 2, . . . ) .А. Метод обратных функций. Правило 1. Для того чтобы разыграть возможное значение Х( непрерывной случайной величины X,зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число fi, приравнять его функции распределения и решить относительно Х{ полученное уравнение F(xi) = ri,Если известна плотность вероятности / (х), т используют правило 2.Правило 2. Для того, чтобы разыграть возможное значение дг/непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятностиf (х), надо выбрать случайное число г/ и решить относительно х/уравнение'|J /(x)dx = r/,— 00297или уравнениеJ/Wdx = fhаg^ а—наименьшее конечное возможное значение X»Б.
Метод суперпозиции. Правило 3. Для того чтобы разыгратьвозможное значение случайной величины Х, функция распределениякоторойF(x)^C,Fr(x)+CtF2lx)+...+CnFn(x).где Fii(x)—функции распределения (Л=1, 2, ..., л). С* > О, Ci ++ Cj-f-...+C„ = I, надо выбрать два независимых случайных числаri и г^ и по случайному числу Гх разыграть возможное значениевспомогательной дискретной случайной величины Z (по правилу 1):Z \2 ... ярCiCf...С„Если окажется» что Z = ^, то решают относительно х уравнениеЗ а м е ч а н и е 1. Если задана плотность вероятности непрерывной случайной величины X в виде/ W = Ci/i (дг)+С2/, (x) + ...
+ Cnfn (X),где fk(x) — плотности вероятностей, коэффициенты С^ положительны,их сумма равна единице и если окажется, что Zs=zk, то решают (поправилу 2) относительно х/ уравнениеV fk(x)dx^r2или урав-— сопение \fk(x)dx:=r2.а689. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, Ь), зная ее функцию распределения F{x) = {x—a)/{b—a)(a<x<b).Р е ш е н и е .
В соответствии с правилом 1 приравняем заданную функцию распределения случайному числу г,-:(д:/—а)/(/>—в)==г/.Решив это уравнение относительно х/, получим явную формулудля^ разыгрывания возможных значений X: Х(= (Ь—а) /'|*+^*690. Разыграть четыре возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (4, 14).298У к а з а н и е . Для определенности принять случайные числа:0,74; 0.02; 0,94; 0,36.691. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону, заданному функцией распределенияF(A:)=1—е-^^(л:>0).692. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины, заданной плотностью вероятности f{x)=b/{l+axYв интервале [О, 1/(6—а)]; внеэтого интервала /(л:) = 0.Р е ш е н и е .
Используя правило 2, напишем уравнениеорешив это уравнение относительно д:/, окончательно получимXi =ri/(b'-ari).693. Разыграть пять возможных значений непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности /(л:)= 10/(1+2А:)^ В интервале (О, 1/8); вне этогоинтервалаf{x)^0.У к а з а н и е . Для определенности принять случайные числа:0,186; 0,333; 0,253; 0,798; 0,145.694.
Найти явную формулу для разыгрывания равномерно распределенной случайной величины X, заданнойплотностью вероятности f{x) — 2 в интервале (0; 0,5);вне этого интервала f{x) = 0.695. Разыграть пять возможных значений непрерывной равномерно распределенной случайной величины X,заданной плотностью вероятности /(л:) = 0,1 в интервале(0; 10); вне этого интервала f{x) = 0.У к а з а н и е . Для определенности принять случайные числа:0,690; 0,749; 0,413; 0,887; 0,637.696.
Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, заданному плотностью вероятности/(л:) = Яе-^^ в интервале (О, оо); вне этого интервалаfix) = 0.697. Разыграть пять возможных значений непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону, заданному плотностью вероятности299/(jc) = 0,l е-**-'* в интервале (О, оо); вне этого интервалаУ к а з а н и е . Для определенности принять случайные числа:0,80; 0,33; 0,69; 0,45; 0,98.689. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, распределенной по закону Вейбулла, заданного плотностью вероятности/(х) == (п/А:о)А:''-^е-^''/^« при л:>0; f{x) = 0 при х<0.699.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
