В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Отдел технического контроля проверил п = 200партий одинаковых изделий и получил следующее эмпи279рическое распределение (в первой строке указано количество Xi нестандартных изделий в одной партии; вовторой строке—частота п,-, т. е. количество партий,содержащих Х/ нестандартных изделий);JC,.О1 234п^ 116 56 22 4 2Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьгипотезу о том, что число нестандартных изделий Xраспределено по закону Пуассона.Р е ш е н и е .
1. Найдем выборочную среднюю:^^в==(2^/^/)/л = ( 1 1 6 0 + 5 6 1 + 2 2 . 2 + 4 . 3 + 2 . 4 ) / 2 0 0 = 0 , 6 .2. Примем в качестве оценки параметра Я. распределения Пуассона выборочную среднюю: Х = 0,6. Следовательно, предполагаемыйзакон ПуассонаP „ ( 0 = A.'e-Vi!имеет вид^2oo(0 = (0.6)'e-o,e/n.3. Положив 1 = 0 , 1, 2, 3, 4, найдем вероятности Р/ появления I нестандартных изделий в 200 партиях:Po = /'2uo(О) = 0,5488; Pi = P«oo(l) =0,3293; Ра = Р2оо(2)=0,0988;Рз = Р2оо(3)==0,0198; Р4 = Р2оо(4) = 0,0030,4.
Найдем теоретические частоты по формулел;=л.Р,=200Р/.Подставив в эту формулу найденные в п. 3 значения вероятностей Р/, получим ni = 200 0,5488 = 109,76.Аналогично найдем: л^ =65,86; л^= 19,76; /1з=3,96; /1^ = 0,60.5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона. Для этого составим расчетную табл. 42. Учитывая замечание 1 (см.
§ 16), объединим малочисленные частоты( 4 + 2 = 6 ) и соответствующие им теоретические частоты ( 3 , 9 6 - г 0 ^ == 4,56), результаты объединения частот запишем в табл. 42.Т а б л и ц а 42121''/ :*01231165622622002803109,7665,8619.764,5646вл.-п;.{nr-iY(я.-п;.)>;.6.24—9.862.241,4438,937697.21965.01762,07360,35481,47620.25390,4547Х7,абл=2'^^Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение критерияПирсона: Х?,абл=2,54.По таблице критических точек распределения %^ (см.
приложение 5), по уровню значимости а = 0 , 0 5 и числу степеней свободы^ = 4—2 = 2 находим критическую точку правосторонней критическойобласти: х^р(0,05; 2) = 6.0.Так как Хнабл "^ ^кр—"^^ оснований отвергнуть гипотезу ораспределении случайной величины X по закону Пуассона.663. В итоге проверки на нестандартность 200 ящиков консервов получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество х,- нестандартных коробок консервов в одном ящике; во второйстроке—частота П/, т. е. число ящиков, содержащих лг/коробок нестандартных консервов):л:,.П;О1321 2343 20 342Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьгипотезу о том, что случайная величина X — число нестандартных коробок — распределена по закону Пуассона.У к а з а н и е .
Объединить малочисленные частоты двух последних групп.664. Для определения засоренности партии семянклевера семенами сорняков было проверено 1000 случайно отобранных проб и получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество JC/ семян сорняков в одной пробе; во второйстроке—частота П/, т.
е. число проб, содержащих JC/семян сорняков):Xi О1 23 4 5 6п^ 405 366 175 40 8 4 2Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что случайная величина X (число семянсорняков) распределена по закону Пуассона.Указание.двух групп.Объединить малочисленные частоты последних665. В результате эксперимента, состоящего из п == 1000 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число Xi появлений некоторого события, полученоследующее эмпирическое распределение (в первой строкеуказано количество х^ появлений события; во второй281строке—частота л^., т.
е. число испытаний, в которыхнаблюдалось Х/ появлений события):Xi ОHi 505133623125 244852Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X—число появлений события—распределена по закону Пуассона.У к а з а н и е . Объединить частоты двух последних групп.666. В результате проверки 500 контейнеров со стеклянными изделиями установлено, что число поврежденных изделий X имеет следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество Х/поврежденных изделий в одном контейнере: во второй строкечастота Л/, т. е.
число контейнеров, содержащих Х/поврежденных изделий):Xf Оп^ 19912 3 4 5 6 7169 87 31 9 3 1 1Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что случайная величина X—число поврежденных изделий — распределена по закону Пуассона.у К а з а н и е. Объединить частоты трех последних групп.667. Задача Борткевича. На основании 200 донесений, полученных в течение двадцати лет о количествекавалеристов прусской армии, которые погибли в результате гибели под ними коня, было получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество х^ погибших кавалеристов, указанныхв одном донесении; во второй строке—частота п,., т.
е.число донесений, в которых сообщено о гибели х^ кавалеристов):Xi О1 23 4пу 109 65 22 3 1Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьгипотезу о распределении случайной величины X (числапогибших кавалеристов) по закону Пуассона.У к а з а н и е . Объединить малочисленные частоты 3 и 1 в одну,282Глава четырнадр^атаяОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ§ 1 . Одинаковое число испытаний на всех уровняхПусть на количественный нормально распределенный признак Xвоздействует фактор F, который имеет р постоянных уровней Fi»f%f • • • t г p. На каждом уровне произведено по д испытаний.
Результаты наблюдений—числа(дг,7> где i — номер) испытания (f = l, 2, ...». . . , д). 1—номер уровня фактора (/ = 1» 2, . . . , р),—записываютв виде таблицы (табл. 43).Т а б л и ц а 43Номер испытания]Уровни фактораFti12•••1F.Xi%Х2%Групповая средняя х^рXqiXgt•^rpi-^rpi..."я...XlpXtp...XrppСтавится задача: на уровне значимости а проверить нулевуюгипотезу о равенстве групповых средних при допущении, что групповые генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но одинаковы.Для решения этой задачи вводятся: общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от общей средней1 = 1 «*=1факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней (характеризует рассеяние «между группами»)5ф8кт=^ 2 J (-^гр/—х)^;остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значенийгруппы от своей групповой средней (характеризует рассеяние «внутригрупп»)•^ост = S (^11 —^rpi)*+ 2 (Xit—lcrpt)^+ • • • + Л (^//^—^гр я)**Практически остаточную сумму находят по формуле283Для вычисления общей и факторной сумм более удобны следующие формулы:So6m = J i ^/ ~ [ I j Лу] '1(РЯЬгде Р / = 2Al—суммана уровне Ff\ R/=квадратов наблюдаемых значений признака^Xif—сумманаблюдаемых значений признакана уровне fy.Если наблюдаемые значения признака — сравнительно большиечисла, то для упрощения вычислении вычитают из каждого наблюдаемого значения одно и то же число С, примерно равное общейсредней.
Если уменьшенные значения y/j^Xij—С,тогде Q / = 2 iAi—сумма квадратов уменьшенных значений признакана уровне fy; Tj=:^ S У/у—сумма уменьшенных значений признакана уровне Fj.Разделив уже вычисленные факторную и остаточную суммы насоответствующее число степеней свободы, находят факторную и остаточную дисперсии:^ « • < т — Т И Т ' ^<х^^-р(^_1) •Наконец, сравнивают факторную и остаточную дисперсии покритерию Фишера—Снедекора (см.
гл. XIII, § 2).Если /^набл < ^кр — различие групповых средних незначимое.Если /^яабл > ^кр—различие групповых средних значимое.З а м е ч а н и е 1. Если факторная дисперсия окажется меньшеостаточной, то уже отсюда непосредственно следует справедливостьнулевой гипотезы о равенстве групповых средних, поэтому да^1ьнейшие вычисления (сравнение дисперсий с помощью критерия F) излишни.З а м е ч а н и е 2. Если наблюдаемые значения х//—десятичныедроби с k знаками после запятой, то целесообразно перейти к целим числамгде С — примерно среднее значение чисел \О^Х(у, При этом факторная и остаточная дисперсия увеличатся каждая в 10** раз, однакоих отношение не изменится,284668. Произведено по четыре испытания на каждомиз трех уровней фактора F.
Методом дисперсионногоанализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается,что выборки извлечены из нормальных совокупностейс одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 44.Т а б л и ц а 44Уровни фактораНомер испытания/FtF^Ft1 38 1 201234^гр/36351 3]24! 2630212231341 352527Р е ш е н и е . Для упрощения расчета вычтем из каждого наблюдаемого значения дг/у общую среднюю ж = 29, т. е. перейдем к уменьшенным величинам: у//=дг//—29.
Например, У11=дгл-—29=38 —— 29 = 9; y,i=JC2i—29=36—29 = 7 и т. д.Составим расчетную табл. 45.Т а б л и ц а 45Уровни фактораНомериспытанияFF4iУПу%У1г123497628149364—981—5 i 25—3911170Qj^^yhTj^^yij^i24576"/Я—8—7i251 УЬ6449425142116—16256 jИтоговы'йстолбецF.—8642Qy = 428sry-02 ? ' / = 896Используя итоговый столбец табл. 45, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений, учитывая, что число уровней285фактора рз=д, число испытаний на каждом уровне ^ = 4:S o 6 m - J j Q y - [ .
i j Гу1*/(р(7) = 428-0=«428;5ф«кт= [^ij ^ / ] / ^ - [Jlj Гу]'/р<7==896/4~0=224.Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:SocT = So6m —5факт = 428—224 = 204.Найдем факторную дисперсию; для этого разделим 5факт начисло степеней свободы р—1=3—1=2:«факт = 5 ф а к т / ( Р - 1) = 2 2 4 / 2 = 112.Найдем остаточную дисперсию; для этого разделимчисло степеней свободы p(q—1) = 3 ( 4 — 1 ) = 9 :SOCT-SOCT/P(^-1) = 204/9 = 22,67.Сравним факторную и остаточную дисперсии с помощью критерия Фишера—Снедекора (см.
гл. XIII, § 2). Для этого сначаланайдем наблюдаемое значение критерия:/'иабл = 4aKT/s2cT = 112/22,67 = 4,94.Учитывая, что число степеней свободы числителя ^ i ^ 2 , а знаменателя kt^9и что уровень значимости а==0,05, по таблицеприложения 7 находим критическую точкуFKP(0,05; 2; 9) ==4,26.Так как ^иабд > ^ир—нулевую гипотезу о равенстве групповыхсредних отвергаем. Другими словами, групповые средние «в целом»различаются значимо.вв9. Произведено по пять испытаний на каждомиз четырех уровней фактора F. Методом дисперсионногоанализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу о равенстве групповых средних x^j.
Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 46.Указание.Принять у/у=jc/y—58.670. Произведено по восемь испытаний на каждомиз шести уровней фактора. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 . проверить нулевуюгипотезу о равенстве групповых средних.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
