В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Производительность труда двух смен заводахарактеризуется выборками объемов /2^ = 9 и п , = 10:первая смена 28 33 39 40 41 42 45 46 47вторая смена 34 40 41 42 43 44 46 48 49 52Используя критерий Вйлкоксона, при уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу об одинаковойпроизводительности обеих смен, приняв в качестве конкурирующей гипотезу: производительность труда сменразлична.У к а з а н и е . При вычислении наблюдаемого значения критерия Вйлкоксона учесть, что ранги совпадающих вариант р а з л и ч ных в ы б о р о к равны среднему арифметическому порядковыхномеров вариант в общем вариационном ряде, составленном из варианг обеих выборок.630.
Эффективность каждого из двух рационов (Л и В)откорма скота характеризуется выборками объемов/ i i = 1 0 и rtj==12 (в первой строке приведен вес (в кг)животных, которых откармливали по рациону А, вовторой строке—по рациону В):Xi 24 26 27 27 30 32 33 34 35 36iji 21 21 22 23 25 25 25 25 27 27 29 31Используя критерий Вйлкоксона, при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об одинаковойэффективности рационов А и В, приняв в качестве конкурирующей гипотезу: рацион А эффективнее рациона В(Н,: FAx)<F,ix),т.е.X>Y).У к а з а н и е . Критическая область — правосторонняя.Б.
Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем хотя бы однойиз выборок превосходит 25. 1. При конкурирующей гипотезе/^i (дг) т^9^ ^ш (^) нижняя критическая точка^'иижн.кр (Q» Лх, Яг) =- [2^«^Р VГ2J •^>249где (3=а/2; г^р находят по таблице функции Лапласа с помощьюравенства Ф(гкр)==(1—а)/2; знак [а\ означает целую часть числа а.В остальном правило 1, приведенное в п. А, сохраняется.2.
При конкурирующих гипотезах Fi (х) < ^2 W и Fi {х) > ^2 (х)нижнюю критическую точку находят по формуле (*), положивQ = a ; соответственно ^кр находят по таблице функции Лапласас помощью равенства Ф(гкр = (1—2а)/2. В остальном правила2 — 3 , приведенные в п. А, сохраняю?ся.631. При уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу об однородности двух выборок объемов: 1X^ = 40и Aij = 50 при конкурирующей гипотезе Н^: F^ {х) Ф F^ (х),если известно, что в общем вариационном ряду, составленном из вариант обеих выборок, сумма порядковыхномеров вариант первой выборки и^набл== ^800.Р е ш е н и е . По условию, конкурирующая гипотеза имеет зид^ i W = ^2(-^)» поэтому критическая область — двусторонняя.Найдем г^р с помощью равенстваФ (гкр) = ( 1 —а)/2 = (1 —0,05)/2 =0.475.По таблице функции Лапласа (см.
приложение2) находим гкр=1,9б.Подставив п, = 4 0 , Л2 = 50, гкр=1,96, Q =0,05/2 = 0,025 в формулу^нижн.кр (Q . «1. «2)=2^^^ У12I•п о л у ч и м 0У„ижн.кр=1578.Найдем верхнюю критическую точку: ^верхн кр = (^1 + ^2+ О ^i—— г1Униж.1.кр=(40+50+1).40—1578=2062. Так как а'„„жн.кр< и^иабл<< ^верх11.кр( J578 < 1800 < 2062), то нет оснований отвергнуть нулевуюгипотезу об однородности выборок.632.
При уровне значимости 0,01 проверить нулевуюгипотезу об однородности двух выборок объемов: п^ == 40и «2 = 60 при конкурирующей гипотезе Н{, F^ {х)фР^{х)^если известно, что в общем вариационном ряду, составленном из вариант обеих выборок, сумма порядковыхномеров вариант первой выборки и^набл = 3020.633. При уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу об однородности двух выборок объемов ni = 25и Па = 30 при конкурирующей гипотезе Н^.
F^{x)^^F^(x)\варианты пер- 12 14 15 18 21 25 26 27 30 31 32 35 38вой выборки 41 43 46 48 52 56 57 60 65 68 73 75варианты вто- 11 13 16 17 19 20 22 23 24 26 28 29рой выборки 33 34 36 37 39 40 42 44 45 47 49 5153 55 58 61 63 66250§ 16. Проверка гипотезы о нормальном распределениигенеральной совокупности по критерию ПирсонаА. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. Пустьэмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:XiXiХ2 .
- .Л//Ij/I2 . * *^ЛГflj^.Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезуо том. что генеральная совокупность X распределена нормально.Правило I. Ду1Я того чтобы при заданном уровне значимости апроверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:1.*^ Вычислить непосредственно (при малом числе наблюдений)или упрощенным методом (при большом числе наблюдений), например методом произведений или сумм, выборочную среднюю х^ и выборочное среднее квадратическое отклонение Од.2. Вычислить теоретические частотыnh , .где п—объем выборки (сумма всех частот), к-^-шаг (разность междудвумя соседними вариантами),аву 2713. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона.
Для этого:а) составляют расчетную таблицу (см, табл. 18J, по которойнаходят наблюдаемое значение критерияХнабл — >;.б) по таблице критических точек распределения х^, по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы k^=^s—3^(s —число групп выборки) находят критическую точку Хкр (а; k) правосторонней критической области.Если Хнабл < Хкр — нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами,эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо(случайно), Если Хнабл > Хкр—гипотезу отвергают. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.З а м е ч а н и е 1.
Малочисленные частоты (л,- < 5) следует объединить; в этом случае и соответствующие им теоретические частотытакже надо сложить. Если производилось объединение частот, топри определении числа степеней свободы по формуле k=^s—3 следует в качестве s принять число групп выборки, оставшихся послеобъединения частот.251634. Почему при проверке с помсщью критерия Пирсона гипотезы о нормальном распределении генеральнойсовокупности число степеней свободы находят по формуле k = s — 3?Р е ш е н и е .
При использовании критерия Пирсона число степеней свободы k~s—1—г,где г — число параметров, оцениваемыхпо выборке. Нормальное распределение определяется двумя параметрами: математическим ожиданием а и средним квадратнческимотклонением а. Так как оба эти параметра оценивались по выборке(в качестве оценки а принимают выборочную среднюю, в качествеоценки а—выборочное среднее квадратическое отклонение), то г - 2следовательно, k~s — 1—2=^s—3.,635.
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Xс эмпирическим распределением выборки объема /i==200;Xi 5 7 9 11 13 15 17 19 21tii 15 26 25 30 26 21 24 20 13Р е ш е н и е 1. Используя метод произведений, найдем выборочную среднюю х „ = 12,63 и выборочное среднее квадратическоеотклонение Ов —4,695.2. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что л =^200,Л = 2, 08^4,695, по формулеСоставим расчетную табл. 17 (значения функции Ц>(и) помешеныв приложении 1).Т а б л и ц а 17__£123456789^15791113>5171921'^1-.^—1,62—1,20—0,77—0,350,080.510.931,361,78Ф (Ui)я^=:85.2.ф(//^.)0,10740,19420,2Я660,37520,39770,35030,25890,15820,081816,525,332,033,929,822,013,59,117,03.
Сравним эмпирические и теоретические частоты,а) Составим расчетную табл. 18, из которо.й найдемнаблюдаемое значение критерия252Таблица1"^i 1шш1ттттттттшт.штттт1о345G789215262530I262!241 2013200"/-<-—---___9,116,55,99,51 25,3—0,3-2,0-7,9—8,832.033,929,822.013,57,012,06,56,0{п-^п\У'34,8190,250,094,0062,4177,444,0042,2536,0018(.. •.;.)v<.3,85,50,00,11,82,е0,23,15,1у;набл=22,2Из табл. 18 находим Хнабл = 22,2.б) По таблице критических точек распреде«1ения х^ (^м- приложение 5), по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободыfe--=s—3 = 9—3 = 6 находим критическую точку правосторонней критической областиХкр(0,05; 6) =12,6.Так как Хнабл > Хкр — гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Другими словами, эмпирическиеи теоретические частоты различаются значимо.636. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Xс эмпирическим распредеаением выборки объема п = 200:Xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3п,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
