В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 44
Текст из файла (страница 44)
6 9 26 25 30 26 21 24 20 8 5637. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 установить, с*1учайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами п,- и теоретическимичастотами п\, которые вычислены, исходя из гипотезыо нормальном распределении генеральной совокупности X:п,. 8 16 40 72 36 18 10п\ 6 18 36 76 39 18 7Р е ш е н и е . Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона:Хнабл = 2 ^'^'—n'iYln\. Составим расчетную табл. 19.Из табл. 19 находимнаблюдаемое значение критерия:Хнабл-3,061.253По таблице критических точек распределения у^ (см. приложение 5), по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы Аг = 5—— 3 = 7—3 = 4 находим критическую точку правосторонней критической области Хкр(0,01; 4 ) = 13,3.Так как Хнабл < Хкр—нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотаминезначимо (случайно).Т а б л и ц а 19/"/123456781640723618102/г =200п^^п\618367639187{пг-\У2—24—4—3—3(H.-./I;)V/I;0,6670,2220,4440.2110,231—1,2864416169—9Хнабл = 3,061638.
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами/г^ и теоретическимичастотами п\, которые вычислены исходя из гипотезыо нормальном распределении генеральной совокупности X:а) п, 5 10 20 8 7п\ 6 14 18 7 58 13 15 20 16 10 7 5б) п, 6п\ 5 9 14 16 18 16 9 6 7в) я,- 14 18 32 70 20 36 10«; 10 24 34 80 18 22 12г) rt/ 57 15 14 21 16 9 7 66 14 15 22 15 8 8 6п\ 6Б. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и COOTBCTCIвующих им частот.Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательностиинтервалов (дс/, JC/+I) и соответствующих им частот л/ (п/—суммачастот, которые попали в i^•й интервал):( X i , х%)(X2tД^з) • • •(^s*«^5+1)Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезуо том, что генеральная совокупность X распределена нормально.254правило 2.
Для того чтобы при уровне значимости а проверитьгипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:1. Вычислить, например методом произведений, выборочнуюсреднюю 1с и выборочное среднее квадратическое отклонение ав, причем в качестве вариант х* принимают среднее арифметическое концов интервала:x}^(Xi + Xi + t)/2.2. Пронормировать X, т, е. перейти к случайной величинеZ « (X—1?)/а*, и вычислить концы интервалов:zi==(Xi—х*)/о*,^/ + 1==(-^/+1—х*/о*, причем наименьшее значение Z, т. е.
Zj. полагают равным —00, а наибольшее, т. е. Zs + i, полагают равным оо.3. Вычислить теоретические частотыn'l^nPi,где п—объем выборки (сумма всех частот); P^=0(zi + ^) — Ф (г/) —вероятности попадания X в интервалы (х/, JC/ + I); Ф (Z) — функцияЛапласа.4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона, Для этого:а) составляют расчетную таблицу (см. табл. 18), по которойнаходят наблюдаемое значение критерия Пирсонанабл=^^(п1Хнабл— ni) lni\б) по таблице критических точек распределения у^^, по заданномууровню значимости а и числу степеней свободы k=s—3 (s — числоинтервалов выборки) находят критическую точку правостороннейкритической области Хкр (а*. ^)»Если Хнабл < Хкр — «^^ оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Если Хпабл > Хкр—гипотезу отвергают.З а м е ч а н и е 2. Интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты («/ < 5), следует объединить, а частоты этих интервалов сложить. Если производилось объединение интервалов, то приопределении числа степеней свободы по формуле /f = s — 3 следуетв качестве s принять число интервалов, оставшихся после объединения интервалов.639.
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Xс эмпирическим распределением выборки объема п = 1 0 0 ,приведенным в табл. 20.Р е ш е н и е 1. Вычислим выборочную среднюю и выборочноесреднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этогоперейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты х* сред255Т а б л и ц а 20ГраницаинтервалаНомеринтервала234границаинтервалаНомерЧастота я . интервалаЧастот*»"'1'^•^i+i381318131823^15!15401^i + i283338232833787/7=100нее арифметическое концов интервала: JC*=Cv, + jr| + i)/2.
В итоге получим распределение:«/5,5610.5815,51520.54025.51630,5835.57Выполнив выкладки по методу произведении, найдем выборочнуюсреднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение: л* =20,7,о* = 7,28._2. Найдем интервалы (2/, 2/+i), учитывая, что л-*=20.7, о* == 7.28. 1/о*==0,137. Для этого составим расчетную табл. 21 (левыйKOFieu первого интервала примем равным ~^оо, а правый конец последнего интервала оо).3.
Найдем теоретические вероятности Р/ и теоретические частотыn / = / i P , = 100P/. Для этого составим расчетную табл. 22.ТаблицаГраницыинтервалаГраницы интервала/12345G7256— 1^1^i+l381318232833813182328333821Xj-X-12.7— 7,7- 2.72.37,312,3V—Т*' / + 1 •*—12,7— 7.7— 2,72,37,312,3"—*'""ж. *•а*100-1.741—1,06—0,370,321,001,69-\ +1 "^Г1+1'1о*-1.74— 1,06—0,370,321,001.6900Т а б л II ц а 221Границыинтервалаi^•12345671 Ф(^/)^^ ^ ( ^ / + i)л^=100Я.^/ + 10.04090,10370,21110,26980,21580.11320.0455—1.74 —0,5000 —0.4591-1.74 —1,06 —0,4591 —0,3554— 1 ,0S —0.37 —0,3554 —0,14431—0,37 0,32| —0,14430,12550,321,000,34130,12551,00 1.690,34130,45451,690,50000,454524,0910.3721.1126.9821.5811.324.5511004.
Сравним эмпирические и теоретические частоты, испо«1ьзуякритерий Пирсона:а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этогосоставим расчетную табл. 23. Столбцы 7 и 8 служат для контролявычислений по формулеК о н т р о л ь : 2 {пЬпд—п=113.22—100= 13,22 = Хнабл. Вычисления произведены правильно;б) по таблице критических точек распределения х* (приложение 5), по уровню значимости а = 0,05 и числуТ а б л и ц а 23'1 ^13("/"i123456768154016874.0910,3721,1126,9821,5811,324,552100 1001 4 15«.-«;. (п.^п'.)23,64811,91—2.375,6169—6.11 37,332113,02 169,5204—5,58 31,1364—3,32 11,0224;2,456,00251^67(л,.-п;)2/,1;.-?"£/"/0,89200,54161,76846,28331,44280,97371.319236642258,80196,171610,658459,305211,86285,653710,7692Х ^ б л = 13,2216002566449113,22степеней свободы fc==s—3 = 7 — 3 = 4 (s — число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической областиХкр(0,05; 4) = 9,5.257Так как Хнабл > Хкр—отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X; другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.
Это означает,что данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальномраспределении генеральной совокупности.640. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X сзаданным эмпирическим распределением.а)ГраницаинтервалаНомеринтервалаi'1234'/*/+!—20—10010—10010201 НомерЧастота 1 интервалаГраницаинтервала1 '*/*/+«в203040304050204780897Частота401в8п-ЗООб)Номеринтервала/123456Границыинтервала'/11 3^1Частотап,Номеринтервалаi*/+!357911132471018201011вГраницыинтервала'/*/+113151719211517192123Частота16И751л=100258в)ГраницыинтервалаНомеринтер*вала«1112345Номеринтервала'i*/ + !6162636461626364656границыинтервала7163515Частота«1112345Частота^1*| + 151015202510152025307151823НомеринтервалаграницыинтервалаЧастота1'678^1*| + 1566676667686865п==^100Номеринтервала671 89границыинтервала'/*1+13035404535404550Частота1914106/1=120б) У к а з а н и е .
Объединить малочисленные частоты первыхдвух и последних двух интервалов, а также сами интервалы.§ 17. Графическая проверка гипотезыо нормальном распределении генеральной совокупности.Метод спрямленных диаграммА. Сгруппированные данные.
Пусть эмпирическое распределениевыборки из генеральной совокупности X задано в виде последовательности интервалов (JCQ, Х^)^ (JCI, X2)t .*., (Xk-i*-Xk) и соответствующих им частот /1/ (П|—число вариант» попавших в i-й интервал).Требуется графически проверить гипотезу о нормальном распределении X.Предварительно введем определение р-квантили случайной величины X, Если задана вероятность р, то р-квантилый (квантилем) Xназывают такое значение аргумента Up функции распределения F(x),для которого вероятность события X < Uj^ равна заданному значению р. Например, если величина X распределена нормально ир =0,975, то w^, = «0,976= Ь9в.
Это означает, что Р {X < 1,96)=0,975.259Заметим» что поскольку функции распределения общего и нормированного нормальных распределений связаны равенством F(x)='то f (x^) = Fo I—j и, следовательно, Up^iXp—aya.I. Для того чтобы графически проверить гипотезу онормйльном распределении генеральной совокупности X по эмпирическому распределению, заданному в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот, надо:1. Составить расчетную табл.
24. Квантили находят по таблице (см. приложение 10).Т а б л и ц а 2412345G7ОтносительнаянакопленнаячастотаОтноси.тельнаянакопленнаячастота, %Квантилир^.юо»/;Up.НомеринтервалаПравыйконецинтервалаЧастотаНакопленнаячастотаi'.•'»/i"'В столбце 6 табл. 24 относительные накопленные частоты умножены на 100, так как в таблице приложения 10 эти частоты указаны в процентах.а)б)Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
