В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Составим расчетную табл. 10 (столбец 8 пока заполнять не будем, поскольку еще неизвестно, понадобится ли вычислять С).Используя расчетную таблицу, найдем:s* = ( 2 ^ | 5 / ) / ^ = ^59,4/34 = 4,688; Ig 12=0,6709;1^ = 2,303 [k IgT-^—2 ^/ ^g «n = 2,303 [34.0,6709—22,1886J = 1,43.По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,05 и числустепенен свободы / — 1 = 3 — 1 = 2 находим критическую точкуХкр (0.05; 2) = 6 , 0 .Так как V < Хкр. то подавно (поскольку С > l)i5„aбл=W^ < Хкри. следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий нет оснований.
Другими словами, выборочные дисперсииразличаются незначимо.593. По данным задачи 592 требуется оценить генеральную дисперсию рассматриваемых генеральных совокупностей.232Т а б л и ц а 10sf^^?Iffs?3.23,86.325,6 0,5051 4.040845,6 0,5798 6,957688,2 0,7993 11,19024НомервыборкиОбъемвыборкиЧислостепенейсвободыИсправленныедисперсии i1''i^•I2391315812Z114Аг = 34763,1521159,4^Igs?1 S\/k.22,1886Р е ш е н и е . Поскольку в результате решения предыдущей задачиустановлена однородность дисперсий, то в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степеней свободы:D?=:$2 = ( 2 М ) / ^ = 159,4/34 с^ 4,7.594. Можно ли воспользоваться критерием Бартлеттадля проверки гипотезы об однородности дисперсий повыборкам объема ^1 = 3, п^ = 2, п^=20?595.
По четырем независимым выборкам, объемы которых Ml = 17, ^2 = 20, Пз = 15, ^4=^16, извлеченным изнормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 2,5;3,6; 4,1; 5,8. Требуется: а) при уровне значимости 0,05проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оценить генеральную дисперсию.596. Четыре исследователя параллельно определяютпроцентное содержание углерода в сплаве, причем первыйиcCv^eдoвaтeль произвел анализ 25 проб, второй — 33, третий— 29, четвертый — 33 проб. «Исправленные» выборочные средние квадратические отклонения оказались соответственно равными 0,05; 0,07; 0,10; 0,08.Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу об однородности дисперсий, в предположении, чтопроцентное содержание углерода в сплаве распределенонормально.У к а з а н и е .
Для упрощения вычислений принять г/ = 100 s/.233597. Сравниваются четыре способа обработки изделий.Лучшим считается тот из; способов, дисперсия контролируемого параметра которого меньше. Первым способомобработано 15, вторым — 20, третьим — 20, четвертым —14 изделий. Исправленные выборочные дисперсии s? соответственно равны: 0,00053; 0,00078; 0,00096; 0,00062.Можно ли отдать предпочтение одному из способов, приуровне значимости 0,05? Предполагается, что контролируемый параметр распределен нормально.У к а 3 а II и е. Для упрощения вычислений принять r f = 100000s?*598.
Требуется сравнить точность обработки изделийна каждом из трех станков. С этой целью на первомстанке было обработано 20, на втором—25, на третьем —26 изделий. Отклонения X, У и Z контролируемого размера от заданного оказались следуюш.ими (в десятыхдолях мм):отклонения для изделийпервого станка Х/ 2 4 6 8 9частота П/ 5 6 3 2 4отклонения для изделийвторого станка (// 1 2 3 5 7 8 12частота т^ 2 4 4 6 3 5 1отклонения для изделийтретьего станка г^ 2 3 4 7 8 10 14частота р; 3 5 4 6 3 23а) Можно ли считать, что станки обеспечивают одинаковую точность при уровне значимости 0,05 в предположении, что отклонения распределены нормально?б) Исключив из рассмотрения третий станок (дисперсия отклонений этого станка — наибольшая), с помощьюкритерия Фишера—Снедекора убедиться, что первый ивторой станки обеспечивают одинаковую точность обработки изделий.§ 10.
Сравнение нескольких дисперсийнормальных генеральных совокупностейпо выборкам одинакового объема.Критерий КочренаПусть генеральные совокупности Xi, Хг, ...» Xi распределенынормально. Из этих совокупностей извлечены / независимых выборок одинакового объема п и по ним найдены исправленные выбороч234ные дисперсии si, S2, ...» s/, все с одинаковым числом степеней свободы k = n — I. Требуется при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий, т.
е. гипотезу о равенствемежду собой генеральных дисперсий:Щ: D (Х|) = D (Х2) = . . . = D (X,).В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена—отношение максимальной исправленной дисперсиик сумме всех исправленных дисперсий:sl+4+...+syРаспределение этой случайной величины зависит только от числастепеней свободы k=^n—1 и количества выборок 1. Для проверкинулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область.Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия^набл == Smax/(si + sf + .
. . + S?)и по таблице критических точек распределения Кочрена (см. при»ложение8) найти критическую точку G^cp (а; k; /). Если (/„абл < ^кр—'нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 0„абл > ^кр —нулевую гипотезу отвергают.З а м е ч а н и е .
При условии однородности дисперсий независимых выборок одинакового объема в качестве оценки генеральнойдисперсии принимают среднюю арифметическую исправленных дисперсий.599. По четырем независимым выборкам одинаковогообъема п = 17, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 0,21; 0,25; 0,34; 0,40.Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверитьнулевую гипотезу об однородности дисперсий (критическая область—правосторонняя); б) оценить генеральнуюдисперсию.Р е ш е н и е , а) Найдем наблюдаемое значение критерия Кочрена—отношение максимальной исправленной дисперсии к суммевсех дисперсий:Онабл=0,40/(0,21+0,25 + 0 , 3 4 + 0 , 4 0 ) = - 1 - .Найдем по таблице критических точек распределения Кочрена(см.
приложение 8) по уровню значимости 0,05, числу степеней свободы k = n — 1 = 1 7 — 1 = 1 6 и числу выборок/ = 4 критическую точкуСкр(0,05; 16; 4) =0,4366.Так как С/„абл < ^кр — "^т оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.2356) Поскольку однородность дисперсий установлена, в качествеоценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическуюисправленных дисперсий:Dr = (0,21+0,25 + 0,34 + 0,40)/4=0,3.600.
По шести независимым выборкам одинаковогообъема п = 37, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии: 2,34; 2,66; 2,95; 3,65; 3,86; 4,54.Требуется проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий: а) при уровне значимости 0,01; б) приуровне значимости 0,05.601. Доказать^ что наблюдаемое значение критерияКочрена не изменится, если все исправленные дисперсии умножить на одно и то же постоянное число.602. По пяти независимым выборкам одинаковогообъема п==37, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей, найдены «исправленные» средние квадратические отклонения: 0,00021; 0,00035; 0,00038; 0,00062;0,00084.Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий.У к а з а н и е . Умножить предварительно все средние квадратические отклонения на 10*.603.
Четыре фасовочных автомата настроены на отвешивание одного и того же веса. На каждом автоматеотвесили по 10 проб, а затем эти же пробы взвесили паточных весах и нашли по полученным отклонениям исправленные дисперсии: 0,012; 0,021; 0,025; 0,032: а) можноли при уровне значимости 0,05 считать, что автоматыобеспечивают одинаковую точность взвешивания? б) оценить генеральную дисперсию.Предполагается, что отклонения зарегистрированноговеса от требуемого распределены нормально.604. Каждая из трех лабораторий произвела анализ10 проб сплава для определения процентного содержанияуглерода, причем исправленные выборочные дисперсииоказались равными 0,045; 0,062; 0,093: а) требуется приуровне значимости 0,01 проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оценить генеральную дисперсию.Предполагается, что процентное содержание углеродав сплаве распределено нормально.605.
Проверяется устойчивость (отсутствие разладки)работы станка по величине контролируемого размера236изделий. С этой целью каждые 30 мин отбирали пробуиз 20 изделий; всего взяли 15 проб. В итоге измеренияотобранных изделий были вычислены исправленные дисперсии (их значения приведены в табл. 11).Т а б л и ц а 11НомерпробыИсправленнаядисперсияI23450,0820,0940,1620,1430.121Номерпробы6781910Исправлемиая 1 Номердисперсияпробы0,1090,1210,0940,1560,11011111211314Исправленнаядисперсияi ^^0,1120,1090,1100,1560,1641Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, чтостанок работает устойчиво (разладка не произошла)?Предполагается, что контролируемый размер изделийраспределен нормально.У к а з а н и е .
Используя таблицулинейную интерполяцию.приложения 8, выполшиь§ 11. Сравнение двух вероятностейбиномиальных распределенийПусть в двух генеральных совокупностях производятся независимые испытания: в результате каждого испытания событие А можетпоявиться в первой совокупности с неизвестной вероятностью PJ, аво второй—с неизвестной вероятностью р*- По выборкам, извлеченным из первой и второй совокупностей, найдены соответственныечастоты:Wi{A)=milni\i W2{A) = m2/n2,где mi, т2 — числа появлений события А\ Пх, «2 — количества испытаний.В качестве оценок неизвестных вероятностей примем относительные частоты: pi с^ w^ и Рг ^^ ^2- Требуется при заданном уровнезначимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, чтовероятности pi и Рг равны между собой: Я©: P i = P 2 - Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаютсяотносительные частоты Wi и w^Предполагается, что выборки имеют достаточно большой объем.Правило 1.
Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу HQI p | = p 2 = p о равенстве вероятностей появления события в двух генеральных совокупностях (имеющихбиномиальные распределения) при конкурирующей гипотезе Н^: р^фр^,237надо вычислить наблюдаемое значение критерия^11абл =mx/tii — /П2/Л2mi+m2 I ^ mx-\-ni2\ / J, 1_\/Л1+Л2 \/11+^2 / \ Л 1Пг )и по таблице функции Лапласа найти критическую точку i/^p поравенству ф(|/цр) = (1—а)/2. Если | б^набл I < "кр—^^^ основанийотвергнуть нулевую гипотезу.
Если |^/набд1>^кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 2. При конкурирующей гипотезе Я^: pi > р% находяткритическую точку правосторонней критической области по равенству ф(//^р) = (1—2а)/2. Если £/пабл < "кр—'^^''^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если б^иабл > "кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hyi Pt < Рг находяткритическую точку (/^р ^^ правилу 2, а затем полагают границулевосторонней критической области </кр== — «кр» Если (/набл >—^кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
