В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 36
Текст из файла (страница 36)
0 , 2 _ , ^Хяабл-5—Go0,1=48.Конкурирующая гипотеза имеет вид а* > Оо, поэтому критическая область—односторонняя (правило 1).Найдем по таблице приложения 5 критическую точку Хкр(0,05; 24)»=36,4. Имеем Хяа($л > xicpt следовательно, нулевую гипотезу отвергаем; станок не обеспечивает необходимую точность и требует подналадки.564. В результате длительного хронометража временисборки узла различными сборщиками устанозлено, чтодисперсия этого времени а2=:2мин*. Результаты 20 наблюдений за работой новичка таковы:время сборки одногоузла в минутахXiчастотаП/56 58 60 62 641 4 10 3 2Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что новичок работает ритмично (в том смысле, что дисперсия21£затрачиваемого им времени существенно не отличаетсяот дисперсии времени остальных сборщиков)?У к а з а н и е .
Нулевая гипотеза HQ, О' = ао = 2; конкурирующаягипотеза Ях: а^фо\. Принять ui^xi—60 и вычислить s«.565, Партия изделий принимается, если дисперсияконтролируемого размера значимо не превышает 0,2.Исправленная выборочная дисперсия, найденная по выборке объема п = 121, оказалась равной 5х == 0,3. Можноли принять партию при уровне значимости 0,01?Р е ш е н и е . Нулевая гипотеза Я©: а*=ао = 0,2. Конкурирую*щая гипотеза Нх* о^ > 0,2.Найдем наблюдаемое значение критерия:хХабл=(л-~1).5х/ао = 120.0,3/0,2=180.Конкурирующая гипотеза имеет вид а^ > 0,2, следовательно,критическая область правосторонняя. Поскольку в таблице приложения 5 не содержится числа степеней свободы ^=120, найдем критическую точку приближенно из равенства Уилсона — Гильферти:Хкр(а; k)^k[\-2/(9^)+га У^Щ]^Найдем предварительно (учитывая, что по условию а = 0,01) 2^ =s= 2о,о1 из равенстваФ(го.о1) = (1—2а)/2=(1—2.0,01)/2=:0,49.По таблице функции Лапласа (см. приложение 2), используя линей*ную интерполяцию, находим: Zo.oi = 2,326.
Подставив Л =120, г^ == 2,326 в формулу Уилсона —Гильферти, получим Хкр(^«0^« 120) == 158,85. (Это приближение достаточно хорошее: в более полныхтаблицах приведено значение 158,95). Так как Хнабл > Хкр — нулевую гипотезу отвергаем. Партию принять нельзя.5вв« Решить задачу 565, приняв уровень значимостиа == 0,05.§ 4.
Сравнение двух средних генеральныхсовокупностей, дисперсии которых известны(большие независимые выборки)Обозначим через пит объемы больших (п > 30, m > 30) независимых выборок, по которым найдены соответствующие выборочныесредние И и у. Генеральные дисперсии D (X) и D (У) известны.Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу Но: М(Х) = М(У) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями (в случае большихвыборок) при конкурирующей гипотезе Их: М {X) у^ М (К), надо213вычислить наблюдаемое значение^набл -критерияVD(X)/n+D{Y)/mи по таблице функции Лапласа найти критическую точку z^p изравенстваФ(^кр) = ( 1 - а ) / 2 .^^сли 12набл I '^ ^кр—'^^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если |ZHa6xl > ^кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 2.
При конкурирующей гипотезе Hi. М (X) > М (К)находят критическую точку г^р по таблице функции Лапласа изравенстваФ(гкр) = ( 1 - 2 а ) / 2 .Если Z^^^ji < гкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если 2вабд > ^кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hi: М (К) < М (У)находят €вспомогательную точкуъ z^p по правилу 2. Если 2набд > —^к р—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 2яабд<—^кр —нулевую гипотезу отвергают.567.
По двум независимым выборкам, объемы которыхп = 40 и m = 50, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей, найдены выборочные средние: х = 1 3 0 иу == 140. Генеральные дисперсии известны: D (X) = 80,D {У)= 100. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н^: М (X) = М (Y) при конкурирующей гипотезе Н^: М{Х)ФМ{У).Р е ш е н и е .
Найдем наблюдаемое значение критерия:х—у130—140'VO(X)ln+D(Y)lmV^80/40+100/50По условию» конкурирующая гипотеза имеет вид М(Х)Фпоэтому критическая область—двусторонняя.Найдем правую критическую точку из равенстваФ(гкр)=(1—а)/2 = (1—0.01)/2 = 0.495.М(У),По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находимгкр = 2,58.Так как 12набд | > ^кр» то в соответствии с правилом 1нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.568. По выборке объема п = 30 найден средний весх = 1 3 0 г изделий, изготовленных на первом станке; повыборке объема m = 40 найден средний вес у=\2Ът изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 60r*, D(K) = 80r*.
Требуется,214при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезуН^: М (X) = М (Y) при конкурирующей гипотезе М (Х) ФФМ{У). Предполагается, что случайные величины X иY распределены нормально и выборки независимы.569. По выборке объема п = 50 найден средний размерх==20,1 мм диаметра валиков, изготовленных автоматомJSfe 1; по выборке объема т = 50 найден средний размер(/=19,8 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом№ 2. Генеральные дисперсии известны: D ( X ) = 1,750 мм^,D (К) = 1,375 мм^. Требуется, при уровне значимости0,05, проверить нулевую гипотезу Н^: Л1(Х) = Л1(К) приконкурирующей гипотезе М (X) фМ (К). Предполагается,что случайные величины X иУ распределены нормальнои выборки независимы.§ 5. Сравнение двух среднихнормальных генеральных совокупностей,дисперсии которых неизвестныи одинаковы (малые независимые выборки)Обозначим через п и т объемы малых независимых выборок(п < 30, т < 30), по которым найдены соответствующие выборочныесредние х и у и исправленные выборочные дисперсии sx и sy.
Генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми.Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимостиа проверить нулевую гипотезу HQI М (X) = М (Y) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных совокупностей с неизвестнымиу но одинаковыми дисперсиями (в случаемалых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе Hii М(Х) ^Ф M(K), надо вычислить наблюдаемое значение критерияп__набл"х—у-^/ пт{п + т—2)л/'(/г —I)sA + (m—l)sy^п+ти по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помеш,енному в верхней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы /^ = п-{-т — 2 найтикритическую точку /двуст.кр(а; k).
Если | Г„абл I < ^двуст.кр(а; ^)—•нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если | Т'набл I >> ^двуст.кр (а*» ^) — нулевую гипотезу отвергают.Правило 2. При конкурирующей гипотезе М {X) > М (Y) находяткритическую точку /правост.кр («• ^) ^^ таблице приложения 6 поуровню значимости а, помещенному в нижней строке таблицы, ичислу степеней свободы k=:n-\-m—2. Если Г„абл < ^правост.кр — «^^оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если Гнабл > ^правост.кр —нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе М (X) < М{У) находятсначала критическую точку /правост.кр ^о правилу 2 и полагают215*левостр.кр—'правост.кр* Если/ цабл ^ний отвергнуть нулевую гипотезу.нулевую гипотезу отвергают.^правост.крнеш ОСНОва^Если '/'«абл <—^правост.кр —570. По двум независимым малым выборкам, объемыкоторых п = 1 2 и т==18, извлеченным из нормальныхгенеральных совокупностей X и К, найдены выборочныесредние: л: = 31,2, f/ = 29,2 и исправленные дисперсии:Sx = 0,84 и sV = 0,40.
Требуется при уровне значимости0,05 проверить нулевую гипотезу Н^: M{X) = M{Y) приконкурирующей гипотезе Н^:М{Х)ФМ{У).Р е ш е н и е . Исправленные дисперсии различны, поэтому проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий,используя критерий Фишера — Снедекора (см. § 2).Найдем отношение большей дисперсии к меньшей: /""цабл == 0,84/0,40=2,1. Дисперсия 5л значительно больше дисперсии sy, поэтому в качестве конкурирующей приме^м гипотезу Н^: D(X) > D{V).В этом случае критическая область — правосторонняя.
По таблицеприложения 7, по уровню значимости а = 0,05 и числам степенейсвободы ki = n—1 = 12—1=11 и k2 — fn — 1 = 1 8 — 1 = 1 7 находимкритическую точку Екр(0,05; И; 17) = 2,41.Так как /^набл < ^ р — "^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Предположение о равенствегенеральных дисперсий выполняется, поэтому сравним средние.Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:J.Х--У-./ П'т(п + т—2)У (п — 1) sx + irfi—l) SY'Подставив числовые значения входящих в эту формулу величин.получим Г„абл = 7 , 1 .По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) Ф yW (К),поэтому критическая область—двусторонняя. По уровню значимости0,05 и числу степеней свободы к=^п^т—2=12-|-18— 2 = 28 находим по таблице приложения 6 критическую точку /двуст кр (0»05; 28) == 2,05.Так как Т'набл > ^двуст.кр — нулевую гипотезу о равенстве средних отвергаем.
Другими словами, выборочные средние различаютсязначимо.571. По двум независимым малым выборкам, объемыкоторых м = 1 0 и т==8, извлеченным из нормальныхгенеральных совокупностей, найдены выборочные средние:jc= 142,3, у== 145,3 и исправленные дисперсии: s \ = 2,7и 5у = 3,2. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н^\ Л1(Х)==Л1(К) при конкурирующей гипотезе Я^:М{Х)фМ{у).У к а з а н и е . Предварительно проверить равенство дисперсий,используя критерий Фишера—Снедекора.216572. Из двух партий изделий, изготовленных на двуходинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых /г = 1 0 и т = 1 2 .
Получены следующие результаты:контролируемыйразмеризделий первого станка х^ 3,4 3,5 3,7 3,9частота (число изделий) п^ 234 1контролируемыйразмеризделий второго станка у,- 3,2 3,4 3,6частотат,. 228Требуется при уровне значимости 0,02 проверить гипотезу HQ. М {X) = М (У) о равенстве средних размеровизделий при конкурирующей гипотезе Я^: М {Х)ФМ (У).Предполагается, что случайные величины X я У распределены нормально.Р е ш е н и е .
По формуламнайдем выборочные средние: х = 3 , 6 , у =^3,5.Для упрощения вычислений исправленных дисперсий перейдемк условным вариантам Ui=lOxi—36,vi=\Oyi—35.По формуалам2Su =^niu]—[^niUiY/n—7^2и^Sv-=п— 1miv]—[^miVi]^/m-;—jт— Iнайдем 5и = 2,б7 и 5^ = 2,55. Следовательно,s^ =5^/102 = 2,67/100 = 0,0267, s'r = s'J/l 0^ = 2,55/100 = 0,0255.Таким образом, исправленные дисперсии различны; рас^сматриваемый в этом параграфе критерий предполагает, что генеральныедисперсии одинаковы, поэтому надо сравнить дисперсии, используякритерий Фишера—Снедекора.
Сделаем это, ариняв в качестве конкурирующей гипотезы Hii D{X) Ф £>(К) (см. § 2, правило 2).Найдем наблюдаемое значение критерия: /"набл^0,0267/0,0255 == 1,05. По таблице приложения 7 находим Fyg^^(^fi\\ 9; 11) = 4,63.Так как /^набл < ^кр—дисперсии различаются незначимо и, следовательно, можно считать, что допущение о равенстве генеральныхдисперсий выполняется.Сравним средние, для чего вычислим наблюдаемое значениет(п+т—2)критерия Стьюдента:K(n-l)sjc+(m-l)s^'^"+'"Подставив в эту формулу числовые значения входящих в нее величин, получим 7'„абл=1»45.По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М {X) Ф М (У),поэтому критическая область—двусторонняя. По уровню значимости2170,02 и числу степеней свободы Л = л + т — 2 = 1 0 + 1 2 — 2 = 2 0 находимпо таблице приложения 6 критическую точку ^двуст.кр (0,02; 20) =Так как Тдабл < (двуст.кр—нет оснований отвергнуть гипотезуо равенстве средних.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
