В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Индекс 1 = 1 указывает, что рассматриваетсяоценка студента, который занимает по тесту А в ряду (*) первоеместо (эта оценка равна 95); из условия видно, что по тесту В студент получил оценку 92, которая в (**) расположена на второмместе. Таким образом, ранг yi = 2.Найдем ранг у2* Индекс i = 2 указывает, что рассматриваетсяоценка студента, который занимает по тесту А в ряду (*) второеместо; из условия видно, что студент получил по тесту В оценку 93,которая в (**) расположена на первом месте.
Таким образом,ранг У2=1Аналогично найдем остальные ранги: Уз=3, ^4 = ^» Уб=9»«/в==в, 4^7 = 10, (/8 = 5, ^9 = 7, «/10=6.Выпишем последовательности рангов jc/ и у(: ,JC/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10У/ 2 1 3 4 9 810 5 76Найдем разности рангов: d i = x i — ^ 1 = 1—2=—1; ^2 = ^а—^2== 2 — 1 = 1 . Аналогично получим: 4з = 0» d^ = 0, ^5 = —*» ^в = —2,^7 = —3, ^ 8 = 3 , ^9 = 2, d i o = 4 .Вычислим сумму квадратов разностей рангов:2 4 = 1 + 1 + 1 6 + 4 + 9 + 9 + 4 + 1 6 = 60.Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции Спирмена,учитывая, что л = 10:.^S^?,6-60__^Итак, рв=0,64.541. Два преподавателя оценили знания 12 учащихсяпо стобалльной системе и выставили им следующиеоценки (в первой строке указано количество баллов,выставленных первым преподавателем, а во второй —вторым):98 94 88 80 76 70 63 61 60 58 56 5199 91 93 74 78 65 64 66 52 53 48 62Найти выборочный коэффициент ранговой корреляцииСпирмена между оценками двух преподавателей.542.
Тринадцать цветных полос расположены в порядке убывания окраски от темной к светлой и каждойполосе присвоен ранг—порядковый номер. В итоге получена последовательность рангов;с; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13202При проверке способности различать оттенки цветов,испытуемый расположил полосы в следующем порядке:у,. 6 3 4 2 1 10 7 8 9 5 11 13 12Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между«правильными» рангами х^ и рангами j^/, которые присвоены полосам испытуемым.543.
Два товароведа расположили девять мотковпряжи в порядке убывания толщины нити. В итоге былиполучены две последовательности рангов:л:^1 2 3 4 5 6 7 8 91/,. 4 1 5 3 2 6 9 8 7Найти коэффициент ранговой корреляции Спирменамежду рангами Х/ и у^.544. Специалисты двух заводов проранжировали11 факторов, влияющих на ход технологического процесса. В итоге были получены две последовательностирангов:х. 1 2 3 4 5 6 78 9 10 111/^ 1 2 3 5 4 9 8 11 67 10Определить, согласуются ли мнения специалистов различных заводов, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмена.545. Три арбитра оценили мастерство 10 спортсменов,в итоге были получены три последовательности рангов(в первой строке приведены ранги арбитра Л, во второй— ранги арбитра В» в третьей—ранги арбитра С):Xs \2 3 4 5 6 7 89 10У/ 3 10 7 2 8 5 6 91 4г^б2 1 3 9 4 5 710 8Определить пару арбитров, оценки которых наиболеесогласуются, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмена.546. Два контролера Л и В расположили образцыизделий, изготовленных девятью мастерами, в порядкеухудшения качества (в скобках помещены порядковыеномера изделий одинакового качества):(A) 1 2 (3, 4, 5) (6, 7, 8, 9)(B) 2 1 4 3 5 (6, 7) 8 9Найти выборочный коэффициент ранговой корреляцииСпирмена между рангами изделий, присвоенными имдвумя контролерами.203Решение.равны среднему(3 + 4 + 5)/3 = 4,следовательностиУчитывая, что ранги изделий одинакового качестваарифметическому порядковых номеров изделий:(6 + 7 + 84-9)/4 = 7.5, (6+7)/2==6,5, напишем порангов, присвоенные изделиям контролерами:;с/ 1 2 4 4 4 7,5 7,5 7.5ir/ 2 1 4 3 5 6,5 6,5 87,59Найдем выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, учитывая, что 2 ^ ? "=8,5, п = 9:Итак, р в = 0 , 9 3 .547.
Два инспектора А и В проверили 12 водителейна быстроту реакции и расположили их в порядке ухудшения реакции (в скобках помещены порядковые номераводителей с одинаковой реакцией):(A) 1 (2, 3, 4) 5 (6, 7, 8)9 10 11 12(B) 3 1 2 6 4 5 7 811 10 9 12Найти выборочный коэффициент ранговой корреляцииСпирмена между рангами водителей, присвоенными имдвумя инспекторами.Б. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла.Можно оценивать связь между двумя качественными признаками,используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла.
Пусть рангиобъектов выборки объема п (здесь сохранены все обозначения п. А):по признаку А Xi Х2 . . . Хппо признаку В yt У2 . . . УпДопустим, что справа от ух имеется /?i рангов, больших у^;справа от у2 имеется /?2 рангов, ббльших у2\ справа о т ^ ^ . х имеется^/|->1 рангов, ббльших Уп-v Введем обозначение суммы рангов:/?=:/?1 + / ? а + . . . + / ? „ - ! .Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла находят по формулегде п—объем выборки, /?—сумма рангов /?/ (/ = 1, 2, . . . , п—1).Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Кендалла не превышает единицы: | Т в 1 < 1 *Для обоснованного суждения о наличии связи междукачественными признаками следует проверить, значим ливыборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла(см.
гл. XIII, § 14).204548. Знания 10 студентов проверены по двум тестам:А и В. Оценки по стобалльной системе оказались следующими (в первой строке указано количество балловпо тесту Л, а во второй — по тесту В):95 90 86 84 75 70 62 60 57 5092 93 83 80 55 60 45 72 62 70Найти выборочный коэффициент ранговой корреляцииКен да л ла между оценками по двум тестам.Р е ш е н и е . При решении задачи 540, условие которой совпадает с условием настоящей задачи, были получены две последовательности рангов (в первой строке приведены ранги по тесту Л, вовторой — по тесту В):X/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10У/ 2 1 3 4 9 8 10 5 7 6Справа от yi=2 имеется /?i = 8 рангов (3, 4, 9, 8, 10, 5, 7, 6),больших ^ 1 = 2 ; справа от (/2 = 1 имеется /?2=в рангов, больших(/2 = 1.
Аналогично получим: /?я = 7, /?4 = б, /?5 = Ь Лв==1# /?7=0»R^=2, /?9=0. Следовательно, сумма рангов/ ? = = / ? , + / ? а + . . . + ^9 = 8 + 8 + 7 + 6 + 1 + 1 + 2 = 33.Найдем коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая,что /? = 33, л = 10:4;?. 433 ,^.-^в=;Г(;^^П[)~^=То:9~^==^'^^Итак, Тв = 0,47.549. Два контролера расположили 10 деталей в порядке ухудшения их качества. В итоге были полученыдве последовательности рангов:А:; 1 2 3 4 5 6 78 9 10(/,. 1 2 4 3 6 5 7 10 98Используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить, согласуются ли оценки контролеров.550.
Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по условию задачи 542.551. По условию задачи 544, используя коэффициентранговой корреляции Кендалла, определить, согласуютсяли мнения специалистов различных заводов.552. По условию задачи 545, используя коэффициентранговой корреляции Кендалла, определить пару арбитров,, оценки которых наиболее совпадают.553.
Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла по условию задачи 547.205Глава тринадцатаяСТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ§ 1 . Основные сведенияСтатистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу HQ.Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Ни котораяпротиворечит нулевой.Различают гипотезы, которые содержат одно и более одногопредположен ий.Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечногоили бесконечного числа простых гипотез.В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двухродов.Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза.
Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обэзначают через а.Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через р.Статистическим критерием (или просто критерием) называютслучайную величину /С, которая служит для проверки гипотезы.Наблюдаемым (эмпирическим) значением /Снабл называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.Областью принятия гипотззы (областью допустимых значений)называют совокупность значений критерия, при которых нулевуюгипотезу принимают.Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области,то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерияпринадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.Критическими точками (границами) Лкр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.Правосторонней называют критическую область, определяемуюнеравенством К > k^^p, где /гкр—положительное число.Левосторонней называют критическую область, определяемуюнеравенством К < Лкр, где Агкр—отрицательное число.Двусторонней называют критическую область, определяемуюнеравенством К < k^ К > k2, где ^2 > ^i- ^ частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении,что ^кр > 0)К < —^KptК > ^кр»или равносильным^ неравенством|/С|>^кр.206Для отыскания критической области! задаются уровнем значимости а и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:а) для правосторонней критической областиР{К> ^кр) = а(^кр>0);б) для левосторонней критической областиР{К < М = а ( ^ к р < 0 ) ;в) для двусторонней симметричной областиР(К> ^кр)-(а/2)Мощностью критериярия в критическую областьрующая гипотеза.
Другимиятность того, что нулеваяконкурирующая гипотеза.(^кр > 0), Р(К< ~ ^ к р ) = а / 2 .называют вероятность попадания критепри условии, что справедлива конкурисловами, мощность критерия есть верогипотеза будет отвергнута, если верна§ 2. Сравнение двух дисперсийнормальных генеральных совокупностейПо независимым выборкам, объемы которых п^ Пг. извлеченнымиз нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленныевыборочные дисперсии s\ и s\.
Требуется сравнить эти дисперсии.Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу HQ: D ( X ) = D ( K ) О равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Hi: D(X)>D(V),надо вычислить наблюдаемое значениекритерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей)/^набл = 5Б/5Ми по таблице критических точек распределения Фишера—С недекора,по заданному уровню значимости а и числам степеней свободыki=:ni—1,^2 = ^2—1 (ki—число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку fup(<^'* ^i» ^2)* Вели^набл < ^ к р — ^ ^ ^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
